題目

給定一個整數(shù)數(shù)組 nums，處理以下類型的多個查詢:

計算索引 left 和 right（包含 left 和 right）之間的 nums 元素的 和，其中 left <= right
實(shí)現(xiàn) NumArray 類：

• NumArray(int[] nums) 使用數(shù)組 nums 初始化對象
• int sumRange(int i, int j) 返回數(shù)組 nums 中索引 left 和 right 之間的元素的 總和，包含 left 和 right 兩點(diǎn)（也就是 nums[left] + nums[left + 1] + ... + nums[right] ）

示例 1：

• 輸入：
  ["NumArray", "sumRange", "sumRange", "sumRange"]
[[[-2, 0, 3, -5, 2, -1]], [0, 2], [2, 5], [0, 5]]
• 輸出：
  [null, 1, -1, -3]
  
  
• 解釋：
  NumArray numArray = new NumArray([-2, 0, 3, -5, 2, -1])
numArray.sumRange(0, 2); // return 1 ((-2) + 0 + 3)
numArray.sumRange(2, 5); // return -1 (3 + (-5) + 2 + (-1))
numArray.sumRange(0, 5); // return -3 ((-2) + 0 + 3 + (-5) + 2 + (-1))

方法一：前綴和

思路及解法

最樸素的想法是存儲數(shù)組 的值，每次調(diào)用 時，通過循環(huán)的方法計算數(shù)組 從下標(biāo) 到下標(biāo) 范圍內(nèi)的元素和，需要計算 個元素的和。由于每次檢索的時間和檢索的下標(biāo)范圍有關(guān)，因此檢索的時間復(fù)雜度較高，如果檢索次數(shù)較多，則會超出時間限制。

由于會進(jìn)行多次檢索，即多次調(diào)用 ，因此為了降低檢索的總時間，應(yīng)該降低 的時間復(fù)雜度，最理想的情況是時間復(fù)雜度 。為了將檢索的時間復(fù)雜度降到 ，需要在初始化的時候進(jìn)行預(yù)處理。

注意到當(dāng) 時， 可以寫成如下形式：

由此可知，要計算 ，則需要計算數(shù)組 在下標(biāo) 和下標(biāo) 的前綴和，然后計算兩個前綴和的差。

如果可以在初始化的時候計算出數(shù)組 在每個下標(biāo)處的前綴和，即可滿足每次調(diào)用 的時間復(fù)雜度都是 。

具體實(shí)現(xiàn)方面，假設(shè)數(shù)組 的長度為 ，創(chuàng)建長度為 的前綴和數(shù)組 ，對于 都有 ，則當(dāng) 時， 表示數(shù)組 從下標(biāo) 到下標(biāo) 的前綴和。

將前綴和數(shù)組 的長度設(shè)為 的目的是為了方便計算 ，不需要對 的情況特殊處理。此時有：

代碼

class NumArray {
    
    var sums: [Int]

    init(_ nums: [Int]) {
        sums = Array.init(repeating: 0, count: nums.count + 1)
        for i in 0..<nums.count {
            sums[i + 1] = sums[i] + nums[i]
        }
    }
    
    func sumRange(_ left: Int, _ right: Int) -> Int {
        return sums[right + 1] - sums[left]
    }
}

復(fù)雜度分析

• 時間復(fù)雜度：初始化 ，每次檢索 ，其中 是數(shù)組 的長度。
  初始化需要遍歷數(shù)組 計算前綴和，時間復(fù)雜度是 。
  每次檢索只需要得到兩個下標(biāo)處的前綴和，然后計算差值，時間復(fù)雜度是 。

• 空間復(fù)雜度：，其中 是數(shù)組 的長度。需要創(chuàng)建一個長度為 的前綴和數(shù)組。