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原文地址: https://blog.csdn.net/zijin0802034/article/details/77685438/

因為做目標檢測和人臉識別時，當前比較流行的是anchor-based方案，會涉及到邊框回歸的問題，在此記錄為了從原理入手，加深自己的理解。首先提出如下幾個問題：

1. 為什么要做邊框回歸？

2. 什么是邊框回歸？

3. 邊框回歸怎么做？

4. 邊框回歸的寬高為什么要設(shè)計成這個樣子？

5. 為什么邊框回歸只能微調(diào)，在離ground truth近的時候才能生效？

1. 為什么要做邊框回歸？

Fig 1

上圖中綠色的框表示Ground Truth, 紅色的框為Selective Search提取的Region Proposal。那么即便紅色的框被分類器識別為飛機，但是由于紅色的框定位不準(IoU<0.5)，那么這張圖相當于沒有正確的檢測出飛機。如果我們能對紅色的框進行微調(diào)，使得經(jīng)過微調(diào)后的窗口跟Ground Truth 更接近，這樣豈不是定位會更準確。確實，Bounding-box regression 就是用來微調(diào)這個窗口的。

2. 什么是邊框回歸？

對于窗口一般使用四維向量 $（x,y,w,h）$ 來表示，分別表示窗口的中心點坐標和寬高。對于圖 2, 紅色的框 P 代表原始的Proposal, 綠色的框 G 代表目標的 Ground Truth，我們的目標是尋找一種關(guān)系使得輸入原始的窗口 P 經(jīng)過映射得到一個跟真實窗口 G 更接近的回歸窗口 $\hat{G}$ 。

Fig 2

邊框回歸的目的既是：給定 $(P_{x}, P_{y},P_{w},P_{h} )$ 尋找一種映射 $f$ ，使得 $f(P_{x}, P_{y},P_{w},P_{h} )=(\hat{G} _{x}, \hat{G} _{y},\hat{G} _{w},\hat{G} _{h} )$ 并且 $(\hat{G} _{x}, \hat{G} _{y},\hat{G} _{w},\hat{G} _{h} )\approx (G_{x},G_{y},G_{w},G_{h})$

3. 邊框回歸怎么做？

那么，經(jīng)過何種變換才能從Fig 2中的窗口 $P$ 變成窗口 $\hat{G}$ 呢？比較簡單的思路是：平移 + 尺度縮放

3.1 先做平移 $(\Delta x, \Delta y)$ ，其中 $\Delta x=P_{w} d_{x} (P)$ , $\Delta y=P_{h} d_{y} (P)$ ，這是論文中的：

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? $\hat{G}_{x} =P_{w}d_{x}(P) +P_{x} ,$ (1)

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? $\hat{G}_{y} =P_{h}d_{y}(P) +P_{y} ,$ (2)

3.2 再做尺度縮放 $（S_{w},S_{h}）$ ，其中 $S_{w} =exp(d_{w} (P))$ ， $S_{h} =exp(d_{h} (P))$ ，對應(yīng)論文中的：

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? $\hat{G} _{w} =P_{w} exp(d_{w} (P)),$ (3)

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? $\hat{G} _{h} =P_{h} exp(d_{h} (P)),$ (4)

觀察(1)-(4)我們發(fā)現(xiàn)，邊框回歸學(xué)習(xí)就是 $d_{x} (P)$ ， $d_{y} (P)$ ， $d_{w} (P)$ ， $d_{h} (P)$ 這四個變換。下一步就是設(shè)計算法那得到這四個映射。線性回歸就是給定輸入的特征向量 X, 學(xué)習(xí)一組參數(shù) W, 使得經(jīng)過線性回歸后的值跟真實值 Y(Ground Truth)非常接近. 即 $Y\approx WX$ 。那么 Bounding-box 中我們的輸入以及輸出分別是什么呢？

Input

Region Proposal → $P=(P_{x}, P_{y},P_{w},P_{h} )$ ，這是什么？輸入就是這四個數(shù)值嗎？其實真正的輸入時這個窗口對應(yīng)的CNN特征，也就是R-CNN中Pool5 feature（特征向量）。（注：訓(xùn)練階段輸入還包括Ground Truth，也就是下邊提到的 $t^* =(t_{x},t_{y},t_{w},t_{h})$ 。

Output

需要進行的平移變換和尺度縮放 $d_{x} (P)$ ， $d_{y} (P)$ ， $d_{w} (P)$ ， $d_{h} (P)$ 或者說是 $\Delta x, \Delta y$ ， $S_{w},S_{h}$ 。我們的最終輸出不應(yīng)該是 Ground Truth 嗎？是的，但是有了這四個變換我們就可以直接得到 Ground Truth，這里還有個問題，根據(jù)(1)~(4)我們可以知道， P 經(jīng)過 $d_{x} (P)$ , $d_{y} (P)$ , $d_{w} (P)$ , $d_{h} (P)$ 得到的并不是真實值 $G$ ，而是預(yù)測值 $\hat{G}$ 。的確，這四個值應(yīng)該是經(jīng)過 Ground Truth 和 Proposal 計算得到的真正需要的平移量 $（t_{x},t_{y}）$ 和尺度縮放 $（t_{w},t_{h}）$ 。這也就是 R-CNN 中的(6)~(9)：

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? $t_{x} =\frac{(G_{x} - P_{x})}{P_{w} } ,$ (5)

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? $t_{y} =\frac{(G_{y} - P_{y})}{P_{h} } ,$ (6)

??????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?? $t_{w} =\lg (\frac{G_{w} } {P_{w} } ) ,$ (7)

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? $t_{h} =\lg (\frac{G_{h} } {P_{h} } ) ,$ (8)

那么目標函數(shù)可以表示為 $d_{*}(P)=\omega ^T\phi _{5} (T)$ ， $\phi _{5} (P)$ 是輸入Proposal的特征向量， $\omega _{*}$ 是要學(xué)習(xí)的參數(shù)（*表示x，y，w，h，也就是每一個變換對應(yīng)一個目標函數(shù)）， $d_{*}(P)$ 是得到的一個預(yù)測值，我要讓預(yù)測值與真實值 $t_{*} =(t_{x},t_{y},t_{w},t_{h})$ 差距最小，得到的損失函數(shù)為：

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? $Loss=\sum_{i}^N(t_{*}^i- \hat{w} _{*}^T\phi _{5}(P^i ) ) ^2$

函數(shù)優(yōu)化目標為：

???????????????????????????????????????????????????????????????????????? $Loss=argmin_{\omega _{*} } \sum_{i}^N(t_{*}^i- \hat{w} _{*}^T\phi _{5}(P^i ) ) ^2 +\lambda ||\hat{w} _{*} ||^2$

利用梯度下降法或者最小二乘法就可以得到 $w_{*}$

為什么寬高尺度設(shè)計成這種形式？

這里重點需要解釋下為什么設(shè)計的 $t_{x}$ , $t_{y}$ 為什么要除以寬高，為什么 $t_{w}$ , $t_{h}$ 會有 $log$ 形式??！

首先CNN具有尺度不變性，以下圖為例：

Fig 3

x,y 坐標除以寬高

上圖的兩個人具有不同的尺度，因為他都是人，我們得到的特征相同。假設(shè)我們得到的特征為?1,?2，那么一個完好的特征應(yīng)該具備?1=?。ok，如果我們直接學(xué)習(xí)坐標差值，以x坐標為例，xi,pi分別代表第i個框的x坐標，學(xué)習(xí)到的映射為f,f(?1)=x1?p1，同理f(?2)=x2?p2。從上圖顯而易見，x1?p1≠x2?p1。也就是說同一個x對應(yīng)多個y，這明顯不滿足函數(shù)的定義。邊框回歸學(xué)習(xí)的是回歸函數(shù)，然而你的目標卻不滿足函數(shù)定義，當然學(xué)習(xí)不到什么。

寬高坐標Log形式

我們想要得到一個放縮的尺度，也就是說這里限制尺度必須大于0。我們學(xué)習(xí)的tw,th 怎么保證滿足大于0呢？直觀的想法就是EXP函數(shù)，如公式(3), (4)所示，那么反過來推導(dǎo)就是Log函數(shù)的來源了。

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邊框回歸（Bounding Box Regression）

邊框回歸（Bounding Box Regression）

介紹

1. 為什么要做邊框回歸？

2. 什么是邊框回歸？