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有兩種無(wú)窮級(jí)數(shù)：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

級(jí)數(shù)的概念和斂散性
概念：給定一個(gè)無(wú)窮數(shù)列 $u_1,u_2,...,u_n,...$ ，將其各項(xiàng)用加號(hào)連起來(lái)得到的記號(hào) $\sum_{n=1}^{\infty}u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$
稱(chēng)其為無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)級(jí)數(shù)，其中 $u_n$ 叫做該級(jí)數(shù)的通項(xiàng)。
若 $u_n$ 是一個(gè)常數(shù)而不是函數(shù)，那么稱(chēng)其為常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。
部分和：就是在無(wú)窮數(shù)列中取n項(xiàng)求和，稱(chēng)為部分和
有了部分和，就可以使用極限來(lái)求無(wú)窮項(xiàng)和：1.寫(xiě)出部分和 $S_n$ ；2.寫(xiě)成部分和表達(dá)式后求極限 $\lim_{n\to\infty}S_n$ 。
斂散性：如果 $\lim_{n\to\infty}S_n=S$ ，則 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收斂，并稱(chēng) $S$ 為該收斂級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 的和；而如果 $\lim_{n\to\infty}S_n$ 不存在或?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cpm%5Cinfty" alt="\pm\infty" mathimg="1">，則稱(chēng) $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 發(fā)散

例題
判斷幾何級(jí)數(shù)(也稱(chēng)等比級(jí)數(shù))
$\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1} = a + aq + aq^2+\cdots+aq^{n-1}+\cdots$
的斂散性，其中 $a\ne 0$
解： $S_n=\frac{a(1-q^n)}{1-q}$
i. 當(dāng) $|q|\lt 1$ 時(shí)， $\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a}{1-q}$
ii. 當(dāng) $|q|\gt 1$ 時(shí)， $\lim_{n\to\infty}S_n$ 不存在
iii. 當(dāng) $q=1$ 時(shí)， $\lim_{n\to\infty}S_n$ 不存在
當(dāng) $q=-1$ 時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)部分和等于a，偶數(shù)項(xiàng)部分和等于1， $\lim_{n\to\infty}S_n$ 不存在

性質(zhì)：
性質(zhì)1：若級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty u_n,\sum_{n=1}^\infty v_n$ 均收斂，且其和分別為 $S,T$ ，則任給常數(shù) $a,b$ ，有：
$\sum_{n=1}^\infty(au_n+bv_n) = aS+bT$
這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為收斂級(jí)數(shù)的線性性質(zhì)。
m項(xiàng)后余項(xiàng)：去掉級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 的前m項(xiàng)，將得到de的 $\sum_{n=m+1}^\infty u_n=u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots$ 稱(chēng)為該級(jí)數(shù)的m項(xiàng)后余項(xiàng)
性質(zhì)2：如果級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收斂，則其任意m項(xiàng)后余項(xiàng) $\sum_{n=m+1}^\infty u_n$ 也收斂；反之，如果存在m項(xiàng)后余項(xiàng) $\sum_{n=m+1}^\infty u_n$ 收斂，則 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 也收斂
性質(zhì)3： $\color{red}{(重要等級(jí)三顆星)}$
如果 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收斂，則 $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ ，這個(gè)性質(zhì)是級(jí)數(shù)收斂的必要條件

證明
由于 $u_n=S_n-S_{n-1}$ ，故 $\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}(S_n-S_{n-1}) = \lim_{n\to\infty}S_n-\lim_{n\to\infty}S_{n-1}=S-S=0$

正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法
正項(xiàng)級(jí)數(shù)：若通項(xiàng) $u_n\ge 0,n=1,2,\cdots$ ，則稱(chēng) $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)

正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂原則：正項(xiàng)級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列{ $S_n$ }有界
所以判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法一般是對(duì)其部分和進(jìn)行一個(gè)放縮，然后再做進(jìn)一步的判斷

例題1：
判斷級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的斂散性
$S_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\gt n\cdot \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}$
故 $\lim_{n\to\infty} S_n\gt \lim_{n\to\infty}\sqrt{n} = +\infty$
故{ $S_n$ }無(wú)界
級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ 發(fā)散
例題2：
判斷級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}$ 的斂散性
$S_n=1+\frac{1}{1*2}+\frac{1}{1*2*3}+\cdots+\frac{1}{n!}$
$S_n\lt 1+\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\cdots+\frac{1}{n*(n-1)}$
$S_n\lt 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}\lt 2$
故{ $S_n$ }有界
級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}$ 收斂

比較判別法：給出兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 和 $\sum_{n=1}^\infty v_n$ ，如果從某項(xiàng)起有 $u_n\le v_n$ 成立，則
1.若 $\sum_{n=1}^\infty v_n$ 收斂，則 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 也收斂
2.若 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 發(fā)散，則 $\sum_{n=1}^\infty v_n$ 也發(fā)散

例題
判斷級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 的斂散性
由基本不等式 $x\gt \ln(x+1),(x\gt 0)$ 得， $\frac{1}{n}\gt \ln(1+\frac{1}{n})$
$\ln(1+\frac{1}{n}) = \ln\frac{n+1}{n} = \ln(n+1)-\ln n$
所以級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty\ln(1+\frac{1}{n})$ 的部分和為
$S_n=\ln2 -\ln1 + \ln3-\ln2+\cdots+\ln (n+1)-\ln n = \ln(n+1)$
$\lim_{n\to\infty}S_n=+\infty$
故級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty\ln(1+\frac{1}{n})$ 發(fā)散
而 $\frac{1}{n}\gt \ln(1+\frac{1}{n})$
故級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 也是發(fā)散的

$\color{red}{p-級(jí)數(shù)}：\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}\begin{cases}|p|\gt 1，收斂\\|p|\le 1，發(fā)散\end{cases}$
$\color{red}{廣義p級(jí)數(shù)}：\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\ln n)^p}\begin{cases}p\gt 1,收斂\\p\le 1,發(fā)散\end{cases}$

比較判別法的極限形式
一般的比較判別法通常是使用不等式來(lái)對(duì)級(jí)數(shù)進(jìn)行放縮，但是這種方法存在一定的局限性。
而比較判別法的極限形式作為比較判別法的一個(gè)推論，有著更大的應(yīng)用范圍
前面提到過(guò)，級(jí)數(shù)收斂的必要條件是 $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ ，所以可以通過(guò)比較兩個(gè)無(wú)窮小的階來(lái)使用比較判別法：
給定兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 和 $\sum_{n=1}^\infty v_n,v_n\ne 0$ ，且 $\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=A$ ，則
1.若A=0，則當(dāng) $\sum_{n=1}^\infty v_n$ 收斂時(shí)， $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 也收斂
2.若A=+ $\infty$ ，則當(dāng) $\sum_{n=1}^\infty v_n$ 發(fā)散時(shí)， $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 也發(fā)散
3.若0<A< $+\infty$ ，則 $\sum_{n=1}^\infty v_n$ 和 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 有著相同的斂散性

例題
判斷級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n})$ 的斂散性
$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^3}} = \frac{1}{6}$
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E3%7D" alt="\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}" mathimg="1">是p=3的p級(jí)數(shù)，故級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3}$ 是收斂的
故級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n})$ 也是收斂的

比值判別法(也稱(chēng)達(dá)朗貝爾判別法) $\color{red}{(重要等級(jí)一顆星)}$
給定一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty u_n$ ，如果 $\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$ ，則
$\begin{cases}\rho\lt 1\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty u_n收斂\\\rho\gt 1\Rightarrow \sum_{n=1}^\infty u_n發(fā)散 \end{cases}$
若 $\rho=1$ 則這個(gè)方法失效
比值判別法一般用于通項(xiàng)表達(dá)式中有 $n!$ 或者 $a^n$ 的情況

例題
判斷級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|a|^nn!}{n^n}$ 的斂散性，其中a為非零常數(shù)
記 $u_n=\frac{|a|^nn!}{n^n}$
則 $\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}$
$=\lim_{n\to\infty}\frac{|a|^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{|a|^nn!}$
$=\lim_{n\to\infty}|a|(\frac{n}{n+1})^n$
$=|a|e^{\lim_{n\to\infty}\ln(\frac{n}{n+1})^n}$
$=\frac{|a|}{e}$
i. 當(dāng) $|a|\gt e$ 時(shí)，該級(jí)數(shù)發(fā)散
ii. 當(dāng) $|a|\lt e$ 時(shí)，該級(jí)數(shù)收斂
iii. 當(dāng) $|a| = e$ 時(shí)
$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{e}{(1+\frac{1}{n})^n}$
記 $e_n=(1+\frac{1}{n})^n$ ，則
$\sqrt[n+1]{e_n}=\sqrt[n+1]{1\cdot(1+\frac{1}{n})\cdots(1+\frac{1}{n})}$
$\lt\frac{1+n(1+\frac{1}{n})}{n+1}$
$=1+\frac{1}{n+1}=\sqrt[n+1]{e_{n+1}}$
$\color{red}{(\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\le\frac{a_1+\cdots+a_n}{n})}$
故數(shù)列{ $e_n$ }是單調(diào)增加趨向于e
即 $e_n\lt e$
因此 $\frac{u_{n+1}}{u_n}\gt 1$
$u_n\ge u_1=e$
$u_n\ne 0$
故當(dāng)|a| = e時(shí)，該級(jí)數(shù)發(fā)散

根值判別法(也稱(chēng)為柯西判別法)
給出一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty u_n$ ，設(shè) $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$ ，則
1. $\rho\lt 1\Rightarrow \sum_{n=1}^\infty u_n收斂$
2. $\rho\gt 1\Rightarrow \sum_{n=1}^\infty u_n發(fā)散$
和比值判別法一樣，當(dāng) $\rho =1$ 時(shí)，該方法失效
根值判別法一般用于 $n^n$ 或者 $a^n$ 的情況

例題
判別級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty(n\sin\frac{1}{n})^{n^3}$ 的斂散性
記 $u_n=(n\sin\frac{1}{n})^{n^3}$ ，則
$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}$
$=\lim_{n\to\infty}(n\sin\frac{1}{n})^{n^2}$
$=e^{\lim_{n\to\infty}n^2(n\sin\frac{1}{n}-1)}$
$=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}\sin\frac{1}{n}-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^3}}}$
$=e^{-\frac{1}{6}}\lt 1$
故該級(jí)數(shù)是收斂的

交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性判別方法
交錯(cuò)級(jí)數(shù)：若級(jí)數(shù)各項(xiàng)正負(fù)相間出現(xiàn)，稱(chēng)這樣的級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，一般寫(xiě)為：
$\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n = u_1-u_2+\cdots+(-1)^{n-1}u_n+\cdots$
交錯(cuò)級(jí)數(shù)只有一種判別方法，稱(chēng)為萊布尼茨判別法
萊布尼茨判別法：給出一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n,u_n\gt 0$ ，若{ $u_n$ }單調(diào)不增且 $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ 則該級(jí)數(shù)收斂
$\color{red}{這類(lèi)型的題考察的點(diǎn)一般是如何構(gòu)造(-1)^n，并且判斷u_n的單調(diào)性}$

例題1：判斷級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\cdot\frac{1}{n}$ 的斂散性
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0$
$u_n=\frac{1}{n}\gt u_{n+1} = \frac{1}{n+1}$
故該級(jí)數(shù)收斂
例題2：
判斷級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty\sin(\pi\sqrt{n^2+a^2})$ 的斂散性，其中a為非零常數(shù)
此題需要用到一個(gè)公式 $\color{red}{\sin(\alpha+n\pi) = (-1)^n\sin\alpha}$
$u_n=\sin(\pi\sqrt{n^2+a^2})$
$= \sin(\pi\sqrt{n^2+a^2}-n\pi+n\pi)$
$=(-1)^n\sin((\sqrt{n^2+a^2}-n)\pi)$
$=(-1)^n\sin(\frac{a^2}{\sqrt{n^2+a^2}+n}\pi)$
記 $a_n=\sin(\frac{a^2}{\sqrt{n^2+a^2}+n}\pi)$
則 $\lim_{n\to\infty} a_n=0$
$a_n\gt a_{n+1}$
故該級(jí)數(shù)收斂

任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別
對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別并沒(méi)有一個(gè)獨(dú)立的判別方法
絕對(duì)收斂：設(shè) $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，若 $\sum_{n=1}^\infty|u_n|$ 收斂，則稱(chēng) $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 絕對(duì)收斂
條件收斂：設(shè) $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，若 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收斂，但 $\sum_{n=1}^\infty |u_n|$ 發(fā)散，則稱(chēng) $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 條件收斂
定理1：若任意項(xiàng)級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 絕對(duì)收斂，則 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收斂
定理2：收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所得的新級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變
定理3：若原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，不論將其各項(xiàng)如何重新排列，所得的新級(jí)數(shù)也依然絕對(duì)收斂，且其和不變。即絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)具有可交換性。

例題
如果常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收斂，則下列級(jí)數(shù)必然收斂的是
A. $\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{u_n}{n}$
B. $\sum_{n=1}^\infty u^2_n$
C. $\sum_{n=1}^\infty(u_{2n-1}-u_{2n})$
D. $\sum_{n=1}^\infty(u_n+u_{n+1})$
解：
選項(xiàng)A，設(shè) $u_n=(-1)^n\frac{1}{\ln n}$ ，則 $\sum_{n=1}^\infty(-1)\frac{u_n}{n} = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n\ln n}$ ，為發(fā)散的廣義p級(jí)數(shù)
選項(xiàng)B，設(shè) $u_n=(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}$ ，則 $\sum_{n=1}^\infty u^2_n=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ ，為發(fā)散級(jí)數(shù)
選項(xiàng)C，設(shè) $u_n=(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$ ，則 $\sum_{n=1}^\infty(u_{2n-1}-u_{2n})=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ ，為發(fā)散級(jí)數(shù)
選項(xiàng)D， $\sum_{n=1}^\infty(u_n+u_{n+1})=\sum_{n=1}^\infty u_n+\sum_{n=1}^\infty u_{n+1}$ ，依然收斂
故，答案選D

冪級(jí)數(shù)

冪級(jí)數(shù)及其收斂域
函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：設(shè)函數(shù)列{ $u_n(x)$ }在定義區(qū)間 $I$ 上，稱(chēng)
$u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots$
為定義在區(qū)間 $I$ 上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，記為 $\sum_{n=0}^\infty u_n(x)$ ，當(dāng) $x$ 取固定值 $x_0$ 時(shí)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)變?yōu)槌?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
冪級(jí)數(shù)：若 $\sum_{n=0}^\infty u_n(x)$ 的一般項(xiàng) $u_n(x)$ 是n次冪函數(shù)，則稱(chēng) $\sum_{n=0}^\infty u_n(x)$ 為冪級(jí)數(shù)，它是一種特殊且常用的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
其一般形式為：
$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n = a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots$
其標(biāo)準(zhǔn)形式為：
$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+\cdots$
其中 $a_n$ 為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)
收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn)：若給定 $x_0\in I$ ，有 $\sum_{n=0}^\infty u_n(x_0)$ 收斂，則稱(chēng)點(diǎn) $x_0$ 為該級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)；若給定 $x_0\in I$ ，有 $\sum_{n=0}^\infty u_n(x_0)$ 發(fā)散，則稱(chēng)點(diǎn) $x_0$ 為該級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)。
收斂域：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) $\sum_{n=0}^\infty u_n(x)$ 的所有收斂點(diǎn)的集合稱(chēng)為它的收斂域
收斂域的求法
對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)冪級(jí)數(shù)，其收斂域求法為：
1.設(shè) $\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$ ，則 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的收斂半徑R的表達(dá)式為
$R=\begin{cases}\frac{1}{\rho},\rho\ne 0\\+\infty,\rho=0\\0,\rho=+\infty\end{cases}$
則開(kāi)區(qū)間 $(-R,R)$ 為冪級(jí)數(shù) $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的收斂區(qū)間；
2.單獨(dú)考察冪級(jí)數(shù)在 $x=\pm R$ 處的斂散性從而確定其斂散域
對(duì)于一般冪級(jí)數(shù)，其收斂于求法為：
1.令 $\lim_{n\to\infty}\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|}\lt 1$ 或 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n(x)|}\lt 1$
解上列不等式得到區(qū)間 $x\in (a,b)$ ，稱(chēng)該區(qū)間為此冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間
2.單獨(dú)考察 $x=a$ 和 $x=b$ 處的斂散性，從而給出完整的收斂域

例題（標(biāo)準(zhǔn)冪級(jí)數(shù)的收斂域）
求冪級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}$ 的收斂域
$\rho=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim_{n\to\infty}|\frac{1}{n+1}|\cdot|n|=1$
故收斂區(qū)間為(-1,1)
當(dāng)x=1時(shí)，該冪級(jí)數(shù)為 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ ，為發(fā)散的
當(dāng)x=-1時(shí)，該冪級(jí)數(shù)為 $\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{1}{n}$ ，為收斂的
故收斂域?yàn)閇-1,1)

抽象型問(wèn)題
結(jié)論1：根據(jù)阿貝爾定理，已知 $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ 在某點(diǎn) $x_1(x_1\ne x_0)$ 的斂散性，則可以分以下三種情況來(lái)判斷該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑：
1.若在 $x_1$ 處收斂，則收斂半徑 $R\ge |x_1-x_0|$
2.若在 $x_1$ 處發(fā)散，則收斂半徑 $R\le |x_1-x_0|$
3.若在 $x_1$ 處條件收斂，則收斂半徑 $R=|x_1-x_0|\color{red}{(重要考點(diǎn))}$
結(jié)論2：已知 $\sum a_n(x-x_1)^n$ 的斂散性信息，要求討論 $\sum b_n(x-x_2)^m$ 的斂散性
對(duì)于 $(x-x_1)^n$ 與 $(x-x_2)^m$ 的轉(zhuǎn)化，一般通過(guò)初等變形來(lái)完成，包括平移收斂區(qū)間；提出或者乘以因式 $(x-x_0)^k$ 等
對(duì)于 $a_n$ 與 $b_n$ 之間的轉(zhuǎn)化，一般通過(guò)微積分變形來(lái)完成，包括對(duì)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)；對(duì)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分等
在以下三種情況下，收斂半徑不會(huì)改變，而收斂域則需要具體問(wèn)題具體分析
1.對(duì)級(jí)數(shù)提出或者乘以因式 $(x-x_0)^k$ ，或者作平移等，收斂半徑不變
2.對(duì)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)，收斂半徑不變，收斂域可能縮小
3.對(duì)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分，收斂半徑不變，收斂域可能擴(kuò)大

例題
設(shè) $\sum_{n=1}^\infty a_n(x+1)^n$ 在點(diǎn) $x=1$ 處條件收斂，求冪級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty na_n(x-1)^n$ 在點(diǎn) $x=2$ 處的斂散性。
解
對(duì)于級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty a_n(x-(-1))^n$ 其收斂半徑為 $R=2$ ，收斂中心為 $x=-1$
所以其收斂區(qū)間為 $(-3,1)$
現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行平移，得到 $\sum_{n=1}^\infty a_n(x-1)^n$ ，其收斂區(qū)間為 $(-1,3)$
再對(duì)級(jí)數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得到 $\sum_{n=1}^\infty na_n(x-1)^{n-1}$ ，其收斂區(qū)間依然為 $(-1,3)$
最后再乘以因式 $(x-1)$ ，得到 $\sum_{n=1}^\infty na_n(x-1)^n$ ，其收斂區(qū)間為 $(-1,3)$
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=x%3D2%5Cin%20(-1%2C3)" alt="x=2\in (-1,3)" mathimg="1">
故該級(jí)數(shù)在 $x=2$ 處絕對(duì)收斂

冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)
在收斂域上，記 $S(x) = \sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ ，并稱(chēng) $S(x)$ 為 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 的和函數(shù)
和函數(shù)的運(yùn)算法則：若冪級(jí)數(shù) $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 與 $\sum_{n=0}^\infty b_nx^n$ 的收斂半徑分別為 $R_a,R_b,R_a\ne R_b$ ，則
1. $k\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty ka_nx^n,|x|\lt R_a$ ，k為常數(shù)
2.兩個(gè)冪級(jí)數(shù)相加滿足：
$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\pm\sum_{n=0}^\infty b_n x^n=\sum_{n=0}^\infty (a_n\pm b_n)x^n,|x|\lt R=\min\lbrace R_a,R_b\rbrace$
兩個(gè)冪級(jí)數(shù)相加必須滿足其下標(biāo)相同，并且次數(shù)也相同；
如果出現(xiàn)不滿足條件的情況，則可以通過(guò)下面三種變換使其滿足相加的條件：
1.通項(xiàng)、下標(biāo)一起變： $\sum_{n=k}^\infty a_nx^n=\sum_{n=k+l}^\infty a_{n-l}x^{n-l}$
2.只變下標(biāo)不變通項(xiàng)： $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+\cdots+a_{k-1}x^{k-1}+\sum_{n=k}^\infty a_nx^n$
3.只變通項(xiàng)不變下標(biāo)： $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=x^{l}\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n-l}$

例題：將 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n}+\sum_{n=0}^\infty b_{n+1}x^{2n+2}$ 寫(xiě)成通項(xiàng)和的形式
$\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n}+\sum_{n=0}^\infty b_{n+1}x^{2n+2}$
$=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n}+\sum_{n=1}^\infty b_nx^{2n}$
$=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_nx^{2n}+\sum_{n=1}^\infty b_nx^{2n}$
$=a_0+\sum_{n=1}^\infty(a_n+b_n)x^{2n}$

和函數(shù)的性質(zhì)：

和函數(shù)在其對(duì)應(yīng)冪級(jí)數(shù)的收斂域上連續(xù)
和函數(shù)在其對(duì)應(yīng)冪級(jí)數(shù)的收斂域上可積，且有逐項(xiàng)積分公式
$\int_0^xS(t)dt=\int_0^x(\sum_{n=0}^\infty a_nt^n)dt=\sum_{n=0}^\infty a_n\int_0^xt^ndt=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_nx^{n+1}}{n+1}(x\in I)$
逐項(xiàng)積分后所得到的冪級(jí)數(shù)與原來(lái)的級(jí)數(shù)有著相同的收斂半徑，但是收斂域可能會(huì)擴(kuò)大
和函數(shù)在其對(duì)應(yīng)冪級(jí)數(shù)的收斂域上可導(dǎo)，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式
$S'(x)=(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n)'=\sum_{n=0}^\infty(a_nx^n)'=\sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1}(|x|\lt R)$
逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的級(jí)數(shù)和原來(lái)的級(jí)數(shù)有著相同的收斂半徑，但是收斂域可能會(huì)縮小

例題1 $\color{red}{(n在分母上，先導(dǎo)后積)}$
求 $\sum_{n=1}\frac{x^n}{n}$ 的和函數(shù)
最容易想到的展開(kāi)公式是 $\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x},|x|\lt 1$
所以需要對(duì)其進(jìn)行變形，使其能夠使用上面的展開(kāi)式
顯而易見(jiàn)，如果對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行一次逐項(xiàng)求導(dǎo)就能對(duì)其使用展開(kāi)公式，但是為了使原式不變，還需要對(duì)其積分，所以最容易想到的方法是
$\int(S(x))'dx=S(x)+c\ne S(x)$
所以這里要使用定積分
$\color{red}{\int_{x_0}^x(S(t))'dt = S(x)-S(x_0)}$
$\color{red}{S(x)=S(x_0)+\int_{x_0}^x(S(t))'dt}$
令 $S(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$ ，則
$S(x) = S(0)+\int_0^x (S(t))'dt$
$S(x) = \int_0^x(\sum_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n})'dt$
$=\int_0^x(\sum_{n=1}^\infty t^{n-1})dt$
$=\int_0^x\frac{1}{1-t}dt$
$=-\ln(1-x),(-1\le x\lt 1)$

例題2 $\color{red}{(n在分子上，先積后導(dǎo))}$
求級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty nx^n$ 的和函數(shù)
同樣的，需要對(duì)其進(jìn)行變形使其能夠使用展開(kāi)公式
$\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}$
可以直接使用先積分后求導(dǎo)的方法進(jìn)行變形，即
$S(x) = (\int S(x)dx)'$
令 $S(x) = \sum_{n=1}^\infty nx^n$ ，則
$S(x) = x\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}$
$=x(\int\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1})'$
$=x(\sum_{n=1}^\infty x^n)'$
$=x(\frac{1}{1-x})'$
$=\frac{x}{(1-x)^2}$

函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)
泰勒級(jí)數(shù)：如果函數(shù) $f(x)$ 在 $x=x_0$ 處存在任意階導(dǎo)數(shù)，則稱(chēng)
$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x-x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\cdots$
為函數(shù) $f(x)$ 在 $x_0$ 處的泰勒級(jí)數(shù)
特別地，當(dāng) $x_0=0$ 時(shí)，稱(chēng)這個(gè)級(jí)數(shù)為麥克勞林級(jí)數(shù)
如果該級(jí)數(shù)收斂，則 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
求一個(gè)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)有兩種：
一種是直接按照公式進(jìn)行計(jì)算，這種方法太麻煩，一般不用
另一種方法是利用已知的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，通過(guò)變量代換、四則運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分和待定系數(shù)等方法得到函數(shù)的展開(kāi)式

例題
求函數(shù) $f(x)=\arctan x$ 在 $x=0$ 處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)
由于常用的展開(kāi)公式中并沒(méi)有 $\arctan x$ 的展開(kāi)，所以需要進(jìn)行一定的處理
$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1-(-x^2)}$
$=\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n$
$=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}$
故 $f(x) = f(0)+\int_0^x(f(t))'dt$
$=\int_0^x\sum_{n=0}^\infty(-1)^nt^{2n}dt$
$=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$
由于 $\sum_{n=0}^\infty (-x^2)^n$ 的收斂域?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%7C-x%5E2%7C%5Clt%201%2C%7Cx%7C%5Clt%201" alt="|-x^2|\lt 1,|x|\lt 1" mathimg="1">
所以此函數(shù)展開(kāi)的冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 $(-1,1)$ ，然后討論端點(diǎn)的斂散性
當(dāng) $x=-1$ 時(shí)， $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{3n+1}}{2n+1}$ ，是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)
當(dāng) $x=1$ 時(shí)， $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}$ ，同樣是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)
故此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5B-1%2C1%5D" alt="[-1,1]" mathimg="1">