這篇文章只會(huì)大概解釋一下，具體內(nèi)容需要參考文中提到的連接。Haskell語言學(xué)習(xí)可以看這個(gè)教程，這篇文章不會(huì)介紹Haskell語言的具體細(xì)節(jié)。
范疇論的介紹，這篇東西到functor那里都不錯(cuò)：haskell和category theory
幾個(gè)概念：
`object`，`morphism`（object之間的態(tài)射，函數(shù)就是集合元素（object）上的態(tài)射），`composition`（函數(shù)復(fù)合）。id morphism是自己映射到自己的特殊morphism。
Hask是haskell關(guān)注的范疇，它是由haskell的所有類型（object）和函數(shù)（morphism）組成的。
functor（函子）是兩個(gè)范疇的關(guān)系，它包含兩點(diǎn)，（1）將一個(gè)范疇的object映射到另外一個(gè)范疇的object。（2）將一個(gè)范疇的morphism映射到另外一個(gè)范疇的morphism。而且要滿足兩個(gè)約束（1）A范疇的id morphism通過functor映射到B范疇的morphism必須是B范疇的id morphism。（2）對于一個(gè)范疇的兩個(gè)morphism f 和 g，還有一個(gè)functor F，必須有F(f . g) = F(f) . F(g)，其中 . 表示函數(shù)復(fù)合。
在haskell中，functor實(shí)際上由兩部分完成，一部分是typeconstructor（映射對象到對象），另一部分是Functor（映射函數(shù)到函數(shù)）
class Functor (f :: * -> *) where
? ? fmap :: (a -> b) -> f a -> f b ? ? ? -- f 是某個(gè)類型的 typeconstructor
然后是natual transformation（自然變換）：看這里的natual transformation部分
A?natural transformation?natural transformation??is a mapping between functors that preserves the structure of the underlying categories.
因?yàn)閒unctor由兩部分組成，所以自然變換也由兩部分組成：（1）另個(gè)范疇之間object的映射。（2）另個(gè)范疇之間morphism的映射。而且自然變換需要滿足以下兩個(gè)過程結(jié)果等價(jià)：（1）一個(gè)對象在自己的范疇做映射后，再根據(jù)自然變換映射到另外一個(gè)范疇。（2）一個(gè)對象先根據(jù)自然變換映射到另外一個(gè)范疇，再做映射（這里的映射也是根據(jù)原來的映射進(jìn)行自然變換得到的），這個(gè)約束那篇鏈接有清晰的解釋。
Monad
在范疇 X 上的Monad由一個(gè)Endofunctor T：X -> X?和 兩個(gè)自然變換join和unit組成。
unit：Ix -> T （Ix是范疇X上的幺元）
join：T 。T -> T
兩個(gè)自然變換需要滿足一些條件，看上面的“具體參考”。
Monad也可以換到群上面來解釋。
Monad是自函子范疇上的一個(gè)含幺半群。這個(gè)范疇的object是自函子（Endofunctor），它的morphism是自函子上的自然變換。這個(gè)含幺半群的集合是自函子，笛卡爾積是自函子復(fù)合，二元運(yùn)算（也就是求笛卡爾積）是自函子復(fù)合，二元運(yùn)算結(jié)果的值由 自然變換join：T。T -> T來決定，幺元是自然變換unit（還是identity Endofunctor？現(xiàn)在還沒明白）。
一個(gè)一個(gè)來解釋。
含幺半群這里不解釋，我們大一下的離散數(shù)學(xué)里面代數(shù)系統(tǒng)的部分有學(xué)到。
Endofunctor（自函子）：指的是連接兩個(gè)相同范疇的functor。Haskell的所有functor都是Endofunctor，Haskell的functor是連接Hask到Hask的Endofunctor。
Monad要求在自函子范疇上，至少有兩個(gè)自然變換，一個(gè)是unit：X→M(X)，一個(gè)是join：M(M(X))→M(X)。上面M指的是一個(gè)functor，具體看回haskell和category theory的monad部分。
同時(shí)Monad也可以說是一個(gè)functor。它連接兩個(gè)范疇，一個(gè)是identity functor，一個(gè)是任何functor（在Haskell中可以是Maybe functor或者List functor）。
對應(yīng)到Haskell里面，我們拿Maybe來舉例。Maybe在Haskell中首先是一個(gè)functor（同時(shí)也是Endofunctor），它由typeconstructor和Functor typeclass兩部分分別實(shí)現(xiàn)object之間的映射和函數(shù)（morphism）之間的映射。然后Maybe也是一個(gè)monad，它連接identity functor和Maybe functor。Maybe的join指明了自然變換中對object的變換。
這里需要理解Self-similarity（自相似）。自相似指整體結(jié)構(gòu)與其局部結(jié)構(gòu)相似。Hask的整體與局部具有自相似性，而functor連接了Hask的整體與局部，使整體所具有的性質(zhì)能夠在局部中使用。
