基本思想
非負(fù)矩陣分解（Non-negative Matrix Factorization）于 1999 年由 Lee 和 Seung 發(fā)表于《Nature》上，其基本思想可以簡(jiǎn)單描述為：對(duì)矩陣中所有元素進(jìn)行非負(fù)數(shù)的約束，即對(duì)于任意給定的非負(fù)矩陣 V，NMF 算法能夠?qū)ふ乙粋€(gè)非負(fù)矩陣 W 和一個(gè)非負(fù)矩陣 H，使 V=WH。原始矩陣中的列向量可以解釋為矩陣 W 列向量的加權(quán)和，加權(quán)系數(shù)為 H 中對(duì)應(yīng)列向量的元素。這種基于向量組合的表示方式具有很直觀的語(yǔ)義解釋，反映人類思維中「局部構(gòu)成整體」的概念。
矩陣分解的方法有很多，比如 PCA（主成分分析）、ICA（獨(dú)立成分分析）、SVD（奇異值分解）、VQ（矢量量化）等。在這些方法中，原始矩陣 V 被近似分解為低秩的 V=WH 的形式，因子 W 和 H 中的元素可正可負(fù)，即使輸入的初始矩陣的元素全為正，傳統(tǒng)的秩削減算法也不能保證原始數(shù)據(jù)的非負(fù)性。在數(shù)學(xué)上，從計(jì)算的觀點(diǎn)看，分解結(jié)果中存在負(fù)值是正確的，但負(fù)值元素在實(shí)際問題中往往是沒有意義的（如圖像、文檔）。具體的比較參考文獻(xiàn) 2。
算法
輸入?yún)?shù)：V，r，MAXITER，其中 V 為被分解的矩陣，r 為降階后 W 的秩，MAXITER 為迭代次數(shù).
輸出參數(shù)：W，H
1）：初始化矩陣 W，H 為非負(fù)數(shù)，同時(shí)對(duì) ?W 的每一列數(shù)據(jù)歸一化.
2）：for i=1:MAXITER
? ? ? ? ? ? ａ：更新 H 矩陣一行元素：H(i,j)=H(i,j)*(B'*X)(i,j)/(B'*B*H)(i,j)
? ? ? ? ? ? ｂ：更新 W 的一列元素：W(k,j)=W(k,j)*(V*H')(k,j)/(W*H*H')(k,j);
? ? ? ? ? ? ?c ：重新對(duì) W 進(jìn)行列歸一化
3）end
參考文獻(xiàn)
1. Lee D D, Seung H S. Learning the parts of objects by non-negative matrix factorization[J]. Nature, 1999, 401(6755): 788-791.
2. http://lijiancheng0614.github.io/2015/08/13/2015_08_13_NMF/
4. http://blog.csdn.net/lilyth_lilyth/article/details/8958147
