二進(jìn)制數(shù)據(jù)經(jīng)過傳送、存取等環(huán)節(jié)，會發(fā)生誤碼(1變成0或0變成1)，就有了如何發(fā)現(xiàn)及糾正誤碼的問題。

驗(yàn)錯、糾錯、碼距

驗(yàn)錯顧名思義，檢驗(yàn)錯誤。糾錯，在驗(yàn)錯的基礎(chǔ)上，還要糾正錯誤。
碼距，一言蔽之：不同位的個數(shù)即是碼距。兩個碼組對應(yīng)位上數(shù)字的不同位的個數(shù)稱為碼組的距離，簡稱碼距，又稱海明（Hamming）距離。例如00110和00100碼距為1，12345和13344碼距為2，Caus和Daun碼距為2。

海明校驗(yàn)碼公式（假設(shè)為k個數(shù)據(jù)位設(shè)置r個校驗(yàn)位）
2^r ≥ k + r + 1

海明校驗(yàn)碼

求1011的海明碼
1.根據(jù)公式：k等于4。代入2^r ≥ 5 + r可知，r最小為3。所以海明碼位數(shù)為4+3=7位
2.填表：信息位從高到低依次存放；海明校驗(yàn)碼放在2的冪次位上

 位數(shù)       1      2      3      4      5      6      7
信息位                    1             1      0      1
校驗(yàn)位      r1     r2            r3
 下標(biāo)       1      2     1+2     4     4+1    4+2    4+3    
海明碼      r1     r2    r1+r2   r3    r3+r1  r3+r2  r3+r2+r1

得到r1、r2、r3位置：
r1:3、5、7
r2:3、6、7
r3:5、6、7

3.異或運(yùn)算（同0異1）：
第3、5、6、7位分別為1、1、0、1，則
r1=3⊕5⊕7 ==> 1⊕1⊕1 ==> 0⊕1 ==> 1
r2=3⊕6⊕7 ==> 1⊕0⊕1 ==> 1⊕1 ==> 0
r3=5⊕6⊕7 ==> 1⊕0⊕1 ==> 1⊕1 ==> 0
4.代入表格，從低位到高位排序的海明碼為：1010101

 位數(shù)       1      2      3      4      5      6      7
信息位                    1             1      0      1
校驗(yàn)位      1      0             0

循環(huán)冗余校驗(yàn)碼(CRC)

假設(shè)使用的生成多項(xiàng)式是 G(x)=x³+x+1。4位的原始報(bào)文為1010，求編碼后的報(bào)文？

1.根據(jù)G(x)=x³+x+1得到二進(jìn)制1011：G(x)=x³+x+1等價于G(x)=x³+x¹+x⁰。其中x²沒有，而指數(shù)3、1、0位有。則第3、1、0為1，第2位為0，即1011

2.1101共有4位，在原始報(bào)文后添（4 - 1）個0，得到1010 000

3.對第二步的1010 000進(jìn)行模2除法（同0異1）：

                 1 0 0 1
        ___________________
        |               
1 0 1 1 |  1 0 1 0 0 0 0
        /  1 0 1 1      
         ——————————————————
             0 0 1 0
             0 0 0 0
         ——————————————————
               0 1 0 0
               0 0 0 0
         ——————————————————
                 1 0 0 0
                 1 0 1 1
         ——————————————————
                   0 1 1  (余數(shù)，校驗(yàn)位)

4.編碼后的報(bào)文（CRC碼）：原始報(bào)文1010加上余數(shù)011，即1010 011