在遙遠的古代，人類還在原始大森林中刀耕火種的時候，就已經(jīng)開始仰望浩翰的星空，陷入了深深的思考:宇宙到底有多大，宇宙的邊緣到底在哪里？宇宙的盡頭到底是什么？這時在人們腦海中不斷地閃現(xiàn)出兩個字：“無窮”。人類的先行者們對“無窮”問題的思考，就如川流不息的河水在漫長的歲月里靜靜地流淌著，經(jīng)歷了數(shù)萬年的思考，終于來到了17世紀。
在這個偉大的時代里，牛頓和萊布尼茨分別獨立地發(fā)明了“微積分”，但是“微積分”中的“無窮小量”卻引發(fā)了“第二次數(shù)學危機”，“無窮小量”猶如一匹奔馳在數(shù)學荒原上的野馬，沒有人能夠讓它乖乖聽話。然而，有那么一位偉大的數(shù)學家，最終用“極限”的定義馴服了“無窮小量”，他就是柯西。
柯西于1789年出生于巴黎，身為律師的父親與當時的大數(shù)學家拉格朗日和拉普拉斯私交甚篤。少年時代的柯西就展露出了出色的數(shù)學才華，深受這兩位數(shù)學家的贊賞，認為他將來在數(shù)學上必定可以獲得極高的成就。
但是，每一位天才都是孤獨的，柯西也是一樣。學生時代的柯西不愛說話，因而他的身邊沒有朋友。在那個以“讀哲學書”為榮的時代，柯西課余?？吹臅鴧s是拉格朗日的數(shù)學書，人們都嘲笑他為“苦瓜”和神經(jīng)病。
1807年至1810年，柯西放棄了交通道路工程師的身份，全身心地投入到了純數(shù)學的研究工作之中。幾年之后，柯西回到了巴黎，開努擔任母校的數(shù)學教授，柯西在日記中寫道：“我像是找到自己河道的鮭魚一般地興奮?！闭沁@個優(yōu)越的“數(shù)學教授”職位，讓柯西的數(shù)學研究工作如魚得水，也為柯西的數(shù)學事業(yè)迎來了嶄新的春天。
十七世紀，那是一個特殊的時代，牛頓和萊布尼茨以“無窮小量”的概念為基礎建立起了“微積分”，沉淀了數(shù)千年的人類文明，正在蓄勢待發(fā)，即將在人類文明的天空綻放出絢麗的光彩。
但是，由于人們滿足于“微積分”所帶來的成果而急于高歌猛進地開拓新的領域，卻忽略了“微積分”底層的邏輯建設，引發(fā)了人們對“微積分”的置疑：“無窮小量”是否等于“零”？如果說是“零”，怎么能用它去作除數(shù)？如果它不是“零”，那么在“函數(shù)變形”時，又為何將那些“微小的量”的項去掉呢？
“微積分”底層混亂的邏輯引起了以英國哲學家、大主教貝克萊為首的各界權威對“微積分”發(fā)起了激烈的攻擊，“第二次數(shù)學危機”爆發(fā)了。
在十七世紀“微積分”誕生之初，到之后的一百多年里，“無窮小量”這匹自由的野馬，在數(shù)學的荒原上無羈地奔跑著，充滿著巨大的能量和無窮的活力，但人們卻又無力去把握它。
要解決“無窮小量”的問題，還得從“無窮”的概念說起。人們對“無窮”概念的深入思考，最早可以追溯到古希臘，在那個遙遠而荒蕪的時代，芝諾提出了著名的“芝諾悖論”，比如四大悖論之一的“飛矢不動”悖論。
“飛矢不動”悖論是這樣的：一支在空中飛行的箭，在任一“無窮小”的“時間”點上，它一定處于“空間”中的一個特定的“無窮小”的點上。而在每一個特定的“無窮小”的“時間點”上，箭只能是“靜止”的，由于箭的飛行軌跡由“無窮”個這樣的“點”組成，所以飛行的箭總是靜止的，因而箭的運動是不可能的。
芝諾提出的“飛矢不動”悖論，也是人類最早將“無窮”問題尖銳地擺到桌面上來進行討論。
“飛矢不動悖論”實際上一個關于“無窮集合”的問題。早期的“無窮集合”被分為兩種：一種是“無窮過程”，人們稱之為“潛在無窮”，另一種是“無窮整體”，人們稱之為“實在無窮”。當時的大數(shù)學家亞里士多德認為這個世界只存在“潛在無窮”，而“實在無窮”是不存在的，比如宇宙，在人類看來，是“無窮的”，但是如果站在上帝的角度，宇宙卻是“有限”的，因而這個世界“真正的無窮（實在無窮）”是不存在的，因而“無窮集合”也是不存在的。由于亞里士多德的權威地位，人們對“無窮集合”的研究停滯了兩千多年之久。
而在這漫長的時間里，“無窮”只是做為一種“觀念”存在，沒有人將它作為一個“數(shù)”，更沒有人將它參與“數(shù)學運算”。
但是，當牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立“微積分”之后，卻冒天下之大不韙，將“無窮小量”當成最為基本的“量”來進行演算，建立起一門新的學科——“無窮小演算”。將“無窮”個“無窮小量”加在一起，就是“積分法”，當“兩個”“無窮小量”相除，就是“微分法”。
此時，一直被傳統(tǒng)思想所忌憚的“無窮小量”，大模大樣的闖進了數(shù)學領域。這令數(shù)學界的權威們充滿疑慮，就連號稱“數(shù)學家之王”的高斯也不例外。
高斯是一個“潛在無窮論者”，不承認“無窮集合”，他曾在給朋友的信中強烈地反對人們將“無窮”的概念和“無窮”的“記號”當成“普通數(shù)”一樣來參與“數(shù)學運算”。
早期的柯西也和大多數(shù)大數(shù)學家一樣，也不承認“無窮集合”的存在，但隨著有關“無窮集合”數(shù)學成果的不斷涌現(xiàn)，他最終還是接受了“實無窮”，從而接受了“無窮小量”，他說：“純數(shù)學的領域里，似乎沒有實際的物理現(xiàn)象來印證，也沒有自然界的事物可說明，但那是數(shù)學家遙遙望見的應許之地。理論數(shù)學家不是一個發(fā)現(xiàn)者，而是這個應許之地的報導者?！?/p>
柯西開始嘗試著用“嚴格”的“無窮”概念來重新定義“微積分”，與當時全世界的數(shù)學家們一道，展開了對“數(shù)學分析”進行“嚴格化”的工作?？挛靼选盁o窮小量”視為“以0為極限的變量”，充分地解釋了“無窮小量”為什么有時可以不把它當為“零”，有時候又可以當成“零”。那是因為，“無窮小量”是一個“變量”，它在變化的過程中，它的值雖然不直接等于零，但它變化的趨向卻在無限地接近于零，所以人們有時把“無窮小量”直接“等于0”來處理，也不會產(chǎn)生錯誤的結果。
1821年，柯西提出了定義“極限”的方法，將“極限過程”用“不等式”來描述，柯西為此首先成功地建立了“極限論”，也是在這一刻起，“無窮小量”被徹底的馴服了。
在“極限”的概念下，“曲線”與“直線”可以相互轉(zhuǎn)化，也就是說，“直線”和“曲線”在“微分”中被等同起來。人們借助于“極限”的思想方法，解決了大量用“初等數(shù)學”無法解決的問題?！皵?shù)學分析”中的一系列重要概念，如“函數(shù)”的“連續(xù)性”、“導數(shù)”以及“定積分”等等都是借助于“極限”來定義的。如果要問：“數(shù)學分析”是一門什么學科?那么可以概括地說：“數(shù)學分析”就是用“極限”思想來研究“函數(shù)”的一門學科。
在今天，所有的“微積分”教材里的關于“極限”、“連續(xù)”、“導數(shù)”、“收斂”等概念的定義，都是柯西等人等人定義的。他利用“中值定理”首先嚴格證明了“微積分基本定理”。通過柯西等人的艱苦工作，“數(shù)學分析”的基本概念得到了“嚴格化”。使得“微積分”不再依賴于“幾何概念”、“運動”和“直觀了解”而發(fā)展成“現(xiàn)代數(shù)學”中最為基礎和龐大的數(shù)學學科。
柯西一生的數(shù)學成就是無比輝煌的，他所著的“柯西全集”共有27卷，其論著有800多篇，在數(shù)學史上，他的“學術成果數(shù)量”僅次于歐拉。他的名字與許多“定理”、“準則”一起銘記在今天的許多教材之中。但他一生中最為引人矚目的數(shù)學成果，無疑就是用“極限”的概念定義了“無窮小量”，使得“微積分”徹底擺脫了底層邏輯混亂的困擾，帶領“近代數(shù)學”成功地走出了“第二次數(shù)學危機”，使近代數(shù)學走上了健康發(fā)展的康莊大道。
1857年5月23日，偉大的數(shù)學家柯西突然去世，享年68歲，臨終前，他說的最后一句話是：
“人總是要死的，但是，他們的功績永存?！?/p>
