可能最開心和舒服的事就是學(xué)習(xí)新東西，1是印證還有提升自己的所學(xué)，2是沒有任何的壓力，懂不懂，懂多少，都是自己的，沒有一個(gè)具體的目標(biāo)，就好像某種旅行的意義。對CS理論一直很感興趣，只是沒有一個(gè)特別好的契機(jī)略微深入學(xué)習(xí)一下。之前看Tachikawa的lecture遇到這樣一個(gè)問題：什么是最簡單的QFT？這里的簡單只指，容易求解，也就是容易量子化+可觀測量容易計(jì)算。這就需要QFT有許多而外的結(jié)構(gòu)比如超對稱，共性對稱，可積性等等。Topological QFT是另外一種可能，他的物理自由度是有限的，雖然他也是個(gè)場論。有限的東西就很好了，因?yàn)橥邢薜臇|西可以有代數(shù)描述，而不需要復(fù)雜的分析。雖然簡單，但是TQFT是可以描述有趣的物理的，特別是在凝聚態(tài)物理中。所以找Chern-Simons的講義很多都是從凝聚態(tài)的角度出發(fā)的。還有就是TQFT也可以用來研究研究拓?fù)洳蛔兞浚Y(jié)果就是也有很多從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)的講義。單單是為了了解CS理論，最好的講義當(dāng)然還是Witten 1989的QFT and Jones Polynomials 的前面一半（25/50, 真的是一半，很有意思。）developing CS theory的部分。但是呢，學(xué)習(xí)的時(shí)候還是要自己心里有個(gè)目的或是問題比較好，這個(gè)問題可以第一遍學(xué)習(xí)時(shí)不懂的地方，也可以是自己在真正關(guān)心的問題。這次學(xué)習(xí)的時(shí)候我的問題是這兩種情況都有：學(xué)習(xí)的最初目的是想了解wilsonloop的計(jì)算，之后變成了如何消化CS理論的內(nèi)在邏輯，最后是如何理解CS和CFT的關(guān)系這就和Tachikawa lecture里面講的內(nèi)容聯(lián)系起來。下面是一些我參考的講義。

1. Witten 1989。

講義有兩部分，第一部分發(fā)展CS理論，第二部分是講CS理論和knot的理論的關(guān)系。Chern-Simons action在Witten之前就已經(jīng)提出來了。這里的一個(gè)很的motivation是Donaldson 理論：就是可以用物理中的4維規(guī)范場理論來研究數(shù)學(xué)中4維manifold上的拓?fù)洳蛔兞?。Witten 也想在3維做類似的工作，用一個(gè)3維的topological的規(guī)范場論來研究3維空間中拓?fù)洳蛔兞縦not。3維的拓?fù)湟?guī)范場理論最簡單的就是由Chern-Simons action給出的，（Chern-Simons action也有高于3維的推廣）。3維CS action雖然不依賴于3維空間的metric，但是作為一個(gè)物理理論，他是不是完全拓?fù)涞倪€不確定，就像量子化會(huì)破壞對稱性一樣，量子化可能也會(huì)破壞這種拓?fù)湫?。檢驗(yàn)這一點(diǎn)可以做一個(gè)半經(jīng)典的計(jì)算，也就是WKB的近似或者說考慮真空態(tài)附近的微擾。目的是要得到這個(gè)半經(jīng)典下的配分函數(shù)，因?yàn)橐?guī)范理論，計(jì)算的時(shí)候要確定一個(gè)規(guī)范，這個(gè)規(guī)范會(huì)依賴于背景metric，做regularization的時(shí)候這個(gè)依賴也不會(huì)消失，會(huì)反應(yīng)在計(jì)算結(jié)果的一個(gè)phase ambiguity上。這個(gè)任意的phase是不可控的，為了消除這個(gè)不可控性，需要加入一個(gè)counter term （類似于3維引力的Chern-Simons actoin）。雖然phase ambiguity被消除了，但是代價(jià)是在加入counter term的時(shí)候，要引入3維空間的上trivialized tangent bundle （or frame bundle）。不同tangent bundle的選取會(huì)引入一個(gè)新的ambiguity，但是這個(gè)ambiguity是可控的，因?yàn)閠rivialized tangent bundle 是由cohomology group來分類的，而cohomology group 是拓?fù)洳蛔兞?。?dāng)tangent bundle改變的時(shí)候 ，配分函數(shù)的phase只可能是一些整數(shù)（winding number）的shift in some unit。所以最后3為Chern-Simons理論并不是一個(gè)嚴(yán)格意義上拓?fù)淅碚摚乙蕾嚩獾膁ata，稱為framing的選取，但這是可控的。

接下來我們要求解CS理論，這就包括兩個(gè)內(nèi)容：量子化得到Hilbert空間（找到所有的states）；計(jì)算可觀測量（規(guī)范不變量）。
在任意的彎曲時(shí)空做量子化是困難的。這里我們采用一種cut-glue的辦法，其實(shí)也就是做一個(gè)local的量子化，對3維空間進(jìn)行劃分，每一個(gè)小塊的拓?fù)涠伎梢允且粋€(gè)二維空間乘以R，也可以認(rèn)為我們是做了一個(gè)2+1的分級，把時(shí)間方向獨(dú)立出來好做正則量子化。做完分解后，發(fā)現(xiàn)CS理論是一個(gè)只依賴于時(shí)間一次導(dǎo)數(shù)的理論（first order formalism）。從之前學(xué)的light-cone gauge的string theory的例子還有其他經(jīng)典力學(xué)例子可以知道，CS理論的一些運(yùn)動(dòng)方程是只是給出了一些constraints （在分解后的2維平面上，規(guī)范場是flat的）。做量子化的時(shí)候，我們就可以先impose這些constraints，這樣系統(tǒng)的自由度就和一個(gè)2維flat規(guī)范場的自由度一樣。解空間就是所有所有2維flat規(guī)范場modulo規(guī)范對稱，也就這個(gè) flat gauge bundle的moduli space modulo gauge transformations。而flat gauge bundle是由 holonomy等價(jià)類來刻畫的，holonomy是一個(gè)從“ loop”到規(guī)范群的一個(gè)映射，不等價(jià)的holonomy就是獨(dú)立loop的個(gè)數(shù)乘以 群的維數(shù)，而獨(dú)立loop的個(gè)數(shù)等于（2g-2），g是2維空間的genus。
以上的還只是針對真空態(tài)，這些態(tài)對應(yīng)的action都是0，對應(yīng)了不同的（twisted）sectors。舉一個(gè)最簡單的例子，假設(shè)規(guī)范群是Z2 （維數(shù)=2），再把2維空間簡化成一個(gè)一維的環(huán)面（g=1），這樣我們就有了2個(gè)sectors，這是一個(gè)比較well-known的結(jié)果。

下面我們考慮激發(fā)態(tài)。運(yùn)動(dòng)方程要求gauge bundle必須是flat的，那么我們就沒有nontrivial 的local算符了（F=0），那么理論的激發(fā)態(tài)就只能是一些non-local的Wilson lines。我們也可以把這些Wilson lines想象成一些line defects。這些Wilson lines穿過2維平面形成一些marked points，他們提供了一些新的loops，也就給出了新的holonomy，對應(yīng)了激發(fā)態(tài)?，F(xiàn)在我們就已經(jīng)解決了量子化的問題，下面我們來看可觀測量。

通過之前的討論，我們已經(jīng)知道，理論里面的算符是一些non-local的Wilson loops，可觀測量是就是他們的平均值或者關(guān)聯(lián)函數(shù)。如果理論真的是拓?fù)涞?，那么這些可觀測量也應(yīng)該是只依賴于拓?fù)洳蛔兞?。首先不同loop間關(guān)聯(lián)函數(shù)果然只依賴于Gauss linking numbers，是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?。和local 算符不同的是，這里有一個(gè)“自能修正的問題”，就是考慮一個(gè)loop和自己的關(guān)聯(lián)函數(shù)也就是self linking number，就會(huì)出現(xiàn)發(fā)散。我們可以人為地丟掉這些量，因?yàn)椴淮嬖谝粋€(gè)拓?fù)洳蛔兊膔egularization的方案，但是這有些ad hoc。一個(gè)regularization的方法，就是無窮小的平移這個(gè)loop得到一個(gè)新的loop，然后計(jì)算這兩個(gè)loop的linking numbers。所以是量子的Wilson loop實(shí)際上是Wilson ribbon。代價(jià)是平移的時(shí)候需要引入normal vector bundle（或者看成一個(gè)U(1)到U(1)的line bundle），不同的bundle的選取會(huì)影響最后的結(jié)果，這也稱為framing anomaly。因?yàn)閘inking number都是整數(shù)，所以不等價(jià)bundle的選取，也就是不同framing的選取也只會(huì)導(dǎo)致一些整數(shù)（不同line bundle之間的twisted number）倍的phase shift in some unit 。這樣我們就把這個(gè)理論解好了。

最后講一下CS理論和RCFT的關(guān)系。也是Witten在致謝里面提到的，這個(gè)工作的出發(fā)點(diǎn)就是為了說明2維RCFT的某些結(jié)果可以用3為CS理論來得出。這里就講一點(diǎn)就是，CS理論和CFT的Hilbert空間的對應(yīng)，因?yàn)閳D像很有漂亮很有意思。
這里做一些假設(shè)，就是CS理論是定義在一個(gè)有邊界的3維空間上，然后可以想象CFT定義在這個(gè)邊界上。CS理論的真空態(tài)就對應(yīng)了CFT的真空態(tài)（vacuum module）。當(dāng)邊界上出現(xiàn)一個(gè)激發(fā)態(tài)（比如 some primary state）對應(yīng)的local operator的時(shí)候，可以先想象，這個(gè)local operator 實(shí)際上一根Wilson line的在邊界上的ending point。這個(gè)對應(yīng)可以被formulate精確一些，邊界上的CFT是一個(gè)WZWmodel！可以具體看下面列的第三個(gè)note。

2. Gregory W. Moore 2019 TASI lecture note。

一個(gè)用比較篇數(shù)學(xué)語言寫的比較偏理論物理的講義，因?yàn)樽髡呤亲鰯?shù)學(xué)物理的！他的主頁上有好多note，都是好多好多頁那種，因?yàn)楹w數(shù)學(xué)和物理，所以內(nèi)容總是特別豐富。有一點(diǎn)拓?fù)鋽?shù)學(xué)基礎(chǔ)的話看著會(huì)特別爽。里面很多具體的例子，比如講量子化的時(shí)候，具體在genus=1和2的時(shí)候作了很具體的計(jì)算。而且有的時(shí)候抽象的數(shù)學(xué)是一種阻礙，有的時(shí)候確實(shí)唯一把問題弄清楚的途徑，因?yàn)橛辛藬?shù)學(xué)就少了很多模棱兩可的余地。而很多數(shù)學(xué)上概念對我這樣數(shù)學(xué)不太精通的人來說就需要反復(fù)的用不同的例子和contests來刺激才能理解。

3. Umang Mehta 的一個(gè)小note “Chern Simons Theory and Rational CFT on Manifolds with Boundaries”。

像上面提到的具體推導(dǎo)CS理論和CFT的關(guān)系。