數(shù)字鎖相環(huán)的FPGA實(shí)現(xiàn)(一)

電賽著

開篇之前,感謝杜勇老師,和他所著的《數(shù)字通信同步技術(shù)的MATLAB與FPGA實(shí)現(xiàn),Altera/Verilog版》

[TOC]

說(shuō)到鎖相環(huán),相信大家都熟悉.鎖相環(huán)路(Phase Locked Loop,PLL)是一個(gè)閉環(huán)的相位控制系統(tǒng).這博客分成兩篇,第一篇講鎖相環(huán)的基本原理和參數(shù)設(shè)置,第二篇寫實(shí)戰(zhàn).

鎖相環(huán)的環(huán)路模型

可以先看鎖相環(huán)的組成再跳回來(lái)看這里.

假設(shè)輸入信號(hào)和本地振蕩器的輸出信號(hào)是
$\begin{aligned} u_{\mathrm{i}}(t) &=U_{\mathrm{i}} \sin \left[\omega_{\mathrm{i}} t+\theta_{\mathrm{i}}(t)\right] \\ u_{\mathrm{o}}(t) &=U_{\mathrm{o}} \cos \left[\omega_{\mathrm{o}} t+\theta_{\mathrm{o}}(t)\right] \end{aligned}$

我們通過(guò)這個(gè)來(lái)得到他們的瞬時(shí)相差和瞬時(shí)頻差:
$\begin{array}{c}{\theta_{\mathrm{c}}(t)=\left(\omega_{\mathrm{i}}-\omega_{\mathrm{o}}\right) t+\theta_{\mathrm{i}}(t)-\theta_{\mathrm{o}}(t)=\Delta \omega_{0} t+\theta_{\mathrm{i}}(t)-\theta_{\mathrm{o}}(t)} \\ {\dot{\theta}_{\mathrm{e}}(t)=\left(\omega_{\mathrm{i}}-\omega_{\mathrm{o}}\right)+\dot{\theta}_{\mathrm{i}}(t)-\dot{\theta}_{\mathrm{o}}(t)=\Delta \omega_{0}+\dot{\theta}_{\mathrm{i}}(t)-\dot{\theta}_{\mathrm{o}}(t)}\end{array}$

鎖定與跟蹤

總所周知,我們一般假設(shè)輸入信號(hào)的頻率和本地振蕩器的初始頻率(也叫作自由振蕩頻率)是不同的,也就是說(shuō)在這種情況下兩者會(huì)存在固定頻差 $\Delta\omega_0$ ,如果沒(méi)有進(jìn)行相位追蹤的話,顯然兩信號(hào)的相差 $\theta_e(t)$ 就會(huì)爆炸.如果我們可以控制固定頻差在一個(gè)很小的范圍,就能保證兩個(gè)信號(hào)的相位差在 $2n\pi$ 左右一個(gè)很小的范圍震蕩,這個(gè)就是鎖相環(huán)路的捕獲過(guò)程,如下:

image

當(dāng)瞬時(shí)相差穩(wěn)定在附近,頻差接近為0的時(shí)候,稱鎖相環(huán)進(jìn)入同步狀態(tài),或稱為跟蹤狀態(tài)
所以我們可以定義同步態(tài)的定義為:

再定義兩個(gè)鎖相環(huán)的參量,捕獲時(shí)間和捕獲帶

環(huán)路的基本性能要求

如上所述,鎖相環(huán)路存在兩種狀態(tài),捕獲狀態(tài)和同步狀態(tài),就兩種不同的工作狀態(tài)下會(huì)有不同的性能參數(shù):

捕獲狀態(tài)下的捕獲時(shí)間
$T_p = t_a -t_0$
因?yàn)椴东@時(shí)間其實(shí)和 $t_0$ 是有關(guān)系的,畢竟不同時(shí)間切入的瞬時(shí)相差是不一樣的,在這里我們?nèi)∑鹗碱l差等于 $\Delta\omega_p$ 的初始狀態(tài)來(lái)計(jì)算最大捕獲時(shí)間
環(huán)路的捕獲帶 $\Delta\omega_p$ ,即環(huán)路能通過(guò)捕獲狀態(tài)進(jìn)入同步狀態(tài)的最大固有頻差 $|\Delta\omega_0|_{max}$
穩(wěn)態(tài)相差,反映環(huán)路的跟蹤精度
$\theta_{\mathrm{e}}(\infty)=\left|\theta_{\mathrm{i}}(t)-\varepsilon_{\theta e}\right|_{\max }$
對(duì)已經(jīng)鎖定的環(huán)路,若改變其固有頻差 $\Delta\omega_0$ 環(huán)路所能最大穩(wěn)定的頻率稱為同步帶 $\Delta\omega_H$

b

我們可以看看捕獲帶和同步帶之間的關(guān)系,應(yīng)該注意到在捕捉帶外,同步帶以內(nèi)的頻帶,一旦出現(xiàn)失鎖,是不能夠重新捕獲的

顯然,不介紹基本結(jié)構(gòu)和動(dòng)態(tài)方程之前談性能是沒(méi)意義的,所以:

鎖相環(huán)的組成

因?yàn)槲覀冃枰i相環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)相位跟蹤,最終的目的是為了實(shí)現(xiàn)輸出信號(hào)和輸入信號(hào)的同步,出于此來(lái)考慮的話,我們需要這個(gè)系統(tǒng)的相位誤差是可收斂的,即鎖相環(huán)的系統(tǒng)模型是一個(gè)相位的負(fù)反饋控制系統(tǒng),他的基本組成大家也清楚:

分別有:

PD(Phase Detector)鑒相器
LF(Loop Filter)環(huán)路濾波器
VCO(Voltage-Controlled Oscillator,VCO)壓控振蕩源

鑒相器(PD)

名副其實(shí),鑒相器就是用來(lái)進(jìn)行相位比較的,
比較常用的就是我們上課所講過(guò)的乘法器加低通濾波器所構(gòu)成的正弦型特性的鑒相器:

但實(shí)際上到后面實(shí)現(xiàn)數(shù)字鎖相環(huán)的時(shí)候可能就有不一樣的方法了,敬請(qǐng)期待.

不妨推導(dǎo)一下:(設(shè)乘法器增益為 $K_m$ )
$\begin{aligned} K_{\mathrm{m}} u_{\mathrm{i}}(t) u_{\mathrm{o}}(t)=& K_{\mathrm{m}} U_{\mathrm{i}} \sin \left[\omega_{0} t+\theta_{1}(t)\right] U_{\mathrm{o}} \cos \left[\omega_{0} t+\theta_{2}(t)\right] \\=& \frac{1}{2} K_{\mathrm{m}} U_{i} U_{\mathrm{o}} \sin \left[2 \omega_{0} t+\theta_{1}(t)+\theta_{2}(t)\right] \\ &+\frac{1}{2} K_{\mathrm{m}} U_{\mathrm{i}} U_{\mathrm{o}} \sin \left[\theta_{1}(t)-\theta_{2}(t)\right] \end{aligned}$

經(jīng)過(guò)LPF濾除 $2\omega$ 的高頻分量之后,得到:
$u_{\mathrmu0z1t8os}(t)=\frac{1}{2} K_{\mathrm{m}} U_{\mathrm{i}} U_{\mathrm{o}} \sin \left[\theta_{1}(t)-\theta_{2}(t)\right]=U_{\mathrmu0z1t8os} \sin \theta_{\mathrm{e}}(t)$
其中:
$U_d = \frac12 K_m U_i U_o$

環(huán)路濾波器(LF)

環(huán)路濾波器具有低通特性,一方面起著LPF的作用,另一方面是調(diào)節(jié)鎖相環(huán)的參數(shù)的重要環(huán)節(jié)之一.對(duì)環(huán)路濾波器來(lái)說(shuō),他是一個(gè)線性電路,所以在時(shí)域分析中可用一個(gè)傳輸算子 $F(p)$ 來(lái)表示,其實(shí)p是微分算子,在頻域中就可以用 $F(s)$ 來(lái)表示:

在這里我們不妨直接舉一個(gè)我們都熟知的又有源比例積分濾波器:

可用較為輕松地算出他的傳輸算子:

其中:

其中A為運(yùn)放開環(huán)增益,假設(shè)非常大,那么我們可用代入進(jìn)行一些近似:

所以經(jīng)過(guò)近似后,我們可用得到:

其中:

這個(gè)簡(jiǎn)化模型,特別如果有的時(shí)候,性能會(huì)接近無(wú)源比例積分濾波器

壓控振蕩器(VCO)

顯然,對(duì)壓控振蕩器來(lái)說(shuō),他的本征方程是:
$\omega_{\mathrm{v}}(t)=\omega_{0}+K_{0} u_{\mathrm{c}}(t)$
其中
$\omega_{\mathrm{v}}(t)$ 表示輸出瞬時(shí)角頻率, $K_0$ 為控制靈敏度或增益系數(shù),單位是 $rad/s \cdot V$
我們可以輕松看出,他的控制特性依然是線性的.
而壓控振蕩器輸出到鑒相器中,我們所需要考慮的是他所變化的相位情況,即:
$\begin{array}{l}{\int_{0}^{t} \omega_{\mathrm{v}}(\tau) \mathrmu0z1t8os \tau=\omega_{0} t+K_{0} \int_{0}^{t} u_{\mathrm{c}}(\tau) \mathrmu0z1t8os \tau} \\ {\theta_{2}(t)=K_{0} \int_{0}^{t} u_{\mathrm{c}}(\tau) \mathrmu0z1t8os \tau=\frac{K_{0}}{p} u_{\mathrm{c}}(t)}\end{array}$

所以我們可以看出鑒相器輸出的相位誤差信號(hào)和壓控振蕩器的電壓控制信號(hào)中存在一個(gè)積分關(guān)系,而這個(gè)積分關(guān)系自然而然是在壓控振蕩源中完成的,對(duì)鎖相環(huán)整體的性能也有比較大的影響.

鎖相環(huán)的動(dòng)態(tài)方程

現(xiàn)在要把剛剛介紹的三個(gè)部分綜合起來(lái)一個(gè)系統(tǒng)來(lái)看了

非線性相位模型

鎖相環(huán)在時(shí)域上的傳輸流程是這樣的

在考慮相位模型前,我們可以先反過(guò)來(lái)考慮穩(wěn)態(tài)相差的問(wèn)題,因?yàn)檫@涉及到鎖相環(huán)穩(wěn)定的可能性.顯然在鎖相環(huán)捕獲的時(shí)候會(huì)逐步接近到同步狀態(tài)的時(shí)候有,但是兩個(gè)信號(hào)間存在穩(wěn)態(tài)誤差(相位)使得控制電壓不為0,從而使輸出頻率在輸入頻率間震蕩.但實(shí)際上對(duì)理想二階環(huán)(A無(wú)窮大)來(lái)說(shuō),當(dāng)環(huán)路鎖定時(shí),穩(wěn)態(tài)相差理論上為0.但具體的分析還看后頭

從上述模型中不難得出:
$\begin{array} \theta_e(t) = \theta_1(t)-\theta_2(t) \\ \theta_2(t) = K_0U_d\frac{F(p)}{p}sin \theta_e(t) \end{array}$
代入得鎖相環(huán)路動(dòng)態(tài)方程的一般形式:
$p \theta_{\mathrm{e}}(t)=p \theta_{1}(t)-K_{0} U_{\mathrmu0z1t8os} F(p) \sin \theta_{\mathrm{e}}(t)\tag{*}$
不妨定義環(huán)路增益
$K = K_0U_d$
顯然這個(gè)環(huán)路增益表示的是VCO的最大頻偏量,因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=U_d" alt="U_d" mathimg="1">是誤差信號(hào)的最大值, $K_0$ 是增益系數(shù)(見(jiàn)上)

因?yàn)榻?jīng)過(guò)環(huán)路濾波器之后輸出的誤差信號(hào)是直流的,所以穩(wěn)態(tài)誤差很容易就可以解出:
$\theta_{\mathrm{e}}(\infty)=\arcsin \frac{\Delta \omega_{0}}{K F(j 0)}$
這時(shí)考慮環(huán)路濾波器的傳遞因子 $F(p)$ ,當(dāng)A>>0時(shí),有下列近似
$F(p)=-\frac{1+p \tau_{2}}{p \tau_{1}}$
其中:
$\tau_{1}=R_{1} C, \quad \tau_{2}=R_{2} C$

所以容易得 $F(j0) = \infty$ ,這也是剛剛所說(shuō)的理想二階環(huán)沒(méi)有穩(wěn)態(tài)誤差的來(lái)源.
但是實(shí)際上,因?yàn)锳不可能無(wú)窮大,上式也只是近似得來(lái)的,所以上面的式子成立的可能性幾乎也為0...

不妨將 $F(p)$ 代入鎖相環(huán)的動(dòng)態(tài)方程:
$p^{2} \tau_{1} \theta_{\mathrm{e}}(t)=p^{2} \tau_{1} \theta_{1}(t)-K\left(1+p \tau_{2}\right) \sin \theta_{\mathrm{e}}(t)$
因?yàn)榄h(huán)路濾波器只有一個(gè)極點(diǎn),傳輸算子是一階的,所以相應(yīng)的環(huán)路動(dòng)態(tài)方程是二階非線性微分方程,所以這種鎖相環(huán)路稱為二階鎖相環(huán)路.本博客缺少了對(duì)RC積分濾波器和無(wú)源比例積分濾波器的分析,有興趣的pong友可以自行回去看書

線性相位模型

線性相位模型就是將非線性相位模型近似得出的,因?yàn)轱@然動(dòng)態(tài)方程是一個(gè)高階的非線性微分方程(特別是加上噪聲之后),而又由于瞬時(shí)相差一般是很小的,回顧一下高等數(shù)學(xué)的等價(jià)無(wú)窮小,我們?nèi)菀紫氲絪in(x)~x:

也就是說(shuō),我們可以把正弦換成:

斜率是的直線代替,代入式得:

再令環(huán)路增益:

則得到線性模型:

環(huán)路的傳遞函數(shù)

事先說(shuō)明一點(diǎn)就是,這里對(duì)環(huán)路傳遞函數(shù)的建模是基于線性模型的,也就是說(shuō)他同樣存在上述的等價(jià)無(wú)窮小代換問(wèn)題,所以不適應(yīng)瞬時(shí)相差過(guò)大的情況.

不妨對(duì)線性模型做拉普拉斯變換:
$s \theta_{\mathrm{e}}(s)=s \theta_{1}(s)-K F(s) \theta_{\mathrm{e}}(s)$

考慮開環(huán)狀態(tài)下(無(wú)反饋支路),輸入相位 $\theta_1(t)$ 驅(qū)動(dòng)所引起的輸出相位 $\theta_2(t)$ 的響應(yīng):
$s (\theta_{\mathrm{1}}(s)-\theta_{\mathrm{2}}(s))=s \theta_{1}(s)-K F(s) \theta_{\mathrm{1}}(s)$
解得:
$H_0(s) = \frac{\theta_2(s)}{\theta_1(s)}\big |_{open loop} = K\frac{F(s)}{s}$
考慮閉環(huán)狀態(tài)下,輸入相位 $\theta_1(t)$ 驅(qū)動(dòng)所引起的輸出相位 $\theta_2(t)$ 的響應(yīng):
$s (\theta_{\mathrm{1}}(s)-\theta_{\mathrm{2}}(s))=s \theta_{1}(s)-K F(s) (\theta_{\mathrm{1}}(s)-\theta_{\mathrm{2}}(s))$

$H(s) = \frac{\theta_2(s)}{\theta_1(s)}\big |_{close loop} = \frac{K F(s)}{s+K F(s)}$

考慮閉環(huán)狀態(tài)下,輸入相位 $\theta_1(t)$ 驅(qū)動(dòng)所引起的誤差相位 $\theta_e(t)$ 的響應(yīng):
$s \theta_{\mathrm{e}}(s)=s \theta_{1}(s)-K F(s) \theta_{\mathrm{e}}(s)$
$H_e (s) = \frac{\theta_e(s)}{\theta_1(s)}\big |_{close loop} = \frac{s}{s+K F(s)}$

不妨將不同的環(huán)路濾波器的傳遞函數(shù)代入得下表:

顯然此時(shí)的二階系統(tǒng)經(jīng)線性化后變成二階線性系統(tǒng),這個(gè)的話我們?cè)趯W(xué)校學(xué)的知識(shí)就已經(jīng)足以應(yīng)付了(特別是電路),此時(shí)定義描述二階線性系統(tǒng)的兩個(gè)系統(tǒng)常量:無(wú)阻尼振蕩頻率 $\omega_n$ 和阻尼系數(shù) $\xi$ 來(lái)描述系統(tǒng)的響應(yīng),對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)下表:

結(jié)語(yǔ)

這里先省略鎖相環(huán)的性能分析,搞這個(gè)有點(diǎn)累,放到下一篇(或下幾篇)博客再討論,或者邊實(shí)戰(zhàn)邊討論吧.因?yàn)殡娰愡@次做得題目最多就做一個(gè)位同步而已,根本就沒(méi)有這么多的東西要看.我也只是先做一點(diǎn)基礎(chǔ)鋪墊,以免后面出問(wèn)題.

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