一、靜矩、形心及其相互關(guān)系

1、靜矩

靜矩

2、形心：圖形幾何形狀的中心

形心

3、靜矩和形心的關(guān)系

二、慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑

慣性矩

慣性半徑

慣性矩與極慣性矩

對于圓截面： $I_P=\frac{\pi d^4}{32}=I_y+I_z$ ；

圓截面

對于圓環(huán)： $I_P=\frac{\pi d^4}{32}(1-\alpha ^4)=I_y+I_z,\alpha = \fracu0z1t8os{D}$

矩形

三、慣性矩與慣性積的移軸定理

移軸定理：圖形對于互相平行軸的慣性矩、慣性積之間的關(guān)系。

在 $y$ ， $z$ 軸通過形心的條件下：

$I_{y1}=I_y+b^2A,I_{z1}=I_z+a^2A,I_{y1z1}=I_{yz}+abA.$

$a,b$ 為原坐標(biāo)系原點在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即 $y_1=y+a,z_1=z+b$ 。

四、慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸定理

轉(zhuǎn)軸定理：研究坐標(biāo)軸繞原點轉(zhuǎn)動時，圖形對這些坐標(biāo)軸的慣性矩和慣性積的變化規(guī)律。

轉(zhuǎn)軸定理及推導(dǎo)

圖形對一對垂直軸的慣性矩之和與轉(zhuǎn)軸時的角度無關(guān)，即在軸轉(zhuǎn)動時，其和保持不變：

五、主軸與形心主軸、主矩與形心主矩

主軸：如果圖形對于過一點的一對坐標(biāo)軸的慣性積為零，則稱這一對坐標(biāo)軸為過這一點的主軸。

主慣性矩：圖形對主軸的慣性矩。主慣性矩是某一點慣性矩的極大值和極小值。

設(shè) $y_0、z_0$ 通過O點的主軸： $\tan 2\alpha_0 =\frac{2I_{yz}}{I_y-I_z},I_{y_0z_0}=0.$

$\frac{\mathrmu0z1t8osI_{y_1}}{\mathrmu0z1t8os\alpha}=0,\frac{\mathrmu0z1t8osI_{z_1}}{\mathrmu0z1t8os\alpha}=0$ ，值為 $\frac{I_y+I_z}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{(I_y-I_z)^2+4I_{yz}^2}$ 。

主軸

通過形心的主軸稱為形心主軸，圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩，簡稱形心主矩。

有對稱軸截面的慣性主軸：對稱軸及與之垂直的任意軸即為過二者交點的主軸。

六、組合圖形的形心、形心主軸、形心主慣性矩的計算方法

$y_c=\frac{S_z}{A}=\frac{\sum_{i=1}^n A_iy_{Ci}}{\sum_{i=1}^n A_i}$

第三章：彈性桿件上的正應(yīng)力分析(2)

一、梁彎曲的若干定義與概念

對稱面、主軸平面、平面彎曲、純彎曲、橫向彎曲。

平面彎曲：所有外力和力偶與彎曲的梁在同一平面內(nèi)。

純彎曲：梁的橫截面上只有彎矩一個內(nèi)力分量（沒有剪力）。

橫向彎曲：橫截面上同時產(chǎn)生剪力和彎矩。

二、純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力分析

1、應(yīng)用平面假定確定應(yīng)變分布

（1）梁的中性層和橫截面的中性軸。

（2）梁彎曲時的平面假定：變形后，橫截面仍保持為平面，且垂直于變形后的軸線，只是繞橫截面內(nèi)某一軸旋轉(zhuǎn)了一個角度。

（3）沿梁橫截面高度方向分布正應(yīng)變表達式

$\Delta \mathrmu0z1t8osx=-y\mathrmu0z1t8os\theta,$

$\varepsilon =\frac{\Delta \mathrmu0z1t8osx}{\mathrmu0z1t8osx}=-y\frac{\mathrmu0z1t8os\theta}{\mathrmu0z1t8osx}=-\frac{y}{\rho}.$

$\varepsilon _x=\frac{2\pi (\rho_0-y)-2\pi \rho_0}{2\pi \rho_0}=\frac{-y}{\rho_0}$

2、應(yīng)用胡克定律 $\sigma =E\varepsilon$ 確定橫截面上的正應(yīng)力分布

$M_z=-\int \sigma _x dA \cdot y=\int \frac {E}{\rho_0} \cdot y^2 dA=\frac {E}{\rho_0}\int y^2 dA=\frac {E}{\rho_0}I_z\Rightarrow \rho_0 = \frac{EI_z}{M_z}$