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單擺

單擺示意圖

單擺：細(xì)線一段固定在一點(diǎn)，另一端懸掛一體積可忽略（忽略物體本身的旋轉(zhuǎn)）質(zhì)量為m的中午，細(xì)線質(zhì)量和伸長量忽略。若吧中午從平衡位置略為移開后放手，中午就在平衡位置附近往復(fù)的運(yùn)動，這一振動系統(tǒng)叫做單擺。

單擺的運(yùn)動方程

角位移 $\theta$ ：偏離豎直線的角度，規(guī)定右側(cè)為正。
若懸線長為 $l$ ，重力力矩 $M = -mglsin \theta$ ，拉力力矩為0.
當(dāng)角位移很?。ㄒ话銥樾∮?°）， $sin\theta\approx \theta$ ，因此擺錘所受力矩為
$M = -mgl\theta$
形式類似 $F = -kx$
再由轉(zhuǎn)動定律 $M = J \frac{d^2\theta}{dt^2}$ 和擺錘的轉(zhuǎn)動慣量 $J = ml^2$ ，整理可得運(yùn)動微分方程
$\frac{d^2\theta}{dt^2} = - \frac{g}{l}\theta$
由此可得，單擺的運(yùn)動是簡諧振動，角頻率為 $\omega = \sqrt { \frac{g}{l} }$ ，運(yùn)動方程： $\theta = \theta_m cos(\omega t + \varphi)$

復(fù)擺

復(fù)擺示意圖

復(fù)擺：與單擺的區(qū)別在于不忽略物體本身的形狀。雖然計算“擺線”的長度還是用固定點(diǎn)到質(zhì)心來算，區(qū)別在于轉(zhuǎn)動慣量J要看具體形狀確定。因此，可將單擺看成復(fù)擺的一種特殊情況。
類似的，可推得微分方程：

\frac{d^2\theta}{dt^2} = - \frac{mgl}{J}\theta

此時，角頻率為

\omega = \sqrt { \frac{mgl}{J} }

簡諧振動的能量

動能： $E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \omega^2 A^2 sin^2(\omega t+\varphi)$
勢能（以彈簧振子為例）： $E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t + \varphi) = \frac{1}{2}m\omega^2A^2cos^2(\omega t + \varphi)$
可以看出，動能和勢能的和剛好是一固定數(shù)：
$E = E_k + E_p = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$
理論解釋：在簡諧振動過程中，只有系統(tǒng)的保守內(nèi)力（如彈性力）做功，其他非保守力和外力均不做功，所以得出結(jié)論，系統(tǒng)作簡諧振動的總能量守恒，即系統(tǒng)的動能和勢能周期性的相互轉(zhuǎn)化，總能量保持恒定。體現(xiàn)在振動過程中，就是振幅保持不變，簡諧振動是等幅運(yùn)動。

由能量守恒推導(dǎo)簡諧振動微分方程

以彈簧振子為例，總能量E為某常數(shù)且滿足方程：
$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$
對時間求導(dǎo)，得：
$\fracu0z1t8os{dt}(\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 )=0$
即
$mv\frac{dv}{dt} + kx\frac{dx}{dt} = 0$
再由 $v = \frac{dx}{dt}, \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$ ，整理得
$\frac{d^2x}{dt^2}+ \frac{k}{m}x = 0$
這種方法由能量守恒出發(fā)而繞過受力分析，對研究其他形式的振動十分有利。