數(shù)學(xué)是一種哲學(xué)思想，是邏輯學(xué)，也是形而上學(xué)。運(yùn)用數(shù)學(xué)這個(gè)哲學(xué)或邏輯學(xué)或形而上學(xué)的工具處理科學(xué)問題，是一種哲學(xué)智慧。今天說說“有效數(shù)字思維”，并用有效數(shù)字思維解決一個(gè)科學(xué)普及中的實(shí)際問題。全文有兩個(gè)部分，第一部分為引子，第二部分為正文，如果對(duì)有效數(shù)字的概念比較清晰，可以直接閱讀第二部分。
一
王志安在微博上說：“‘慶祝王局粉絲突破500萬四舍五入就是一個(gè)億’大型抽獎(jiǎng)開始啦！”
500萬四舍五入就是一個(gè)億，哈哈，這不是惡搞嗎？當(dāng)然是惡搞，王志安為了慶祝自己的粉絲突破500萬，搞抽獎(jiǎng)活動(dòng)，把500萬四舍五入說成一個(gè)億，就是玩幽默、要喜感。
不過我們可以分析一下，王志安的500萬，四舍五入為什么可以算成一個(gè)億，而不是別的數(shù)字？500萬這個(gè)數(shù)字，有三位數(shù)字，如果是個(gè)位、十位數(shù)四舍五入，都還是500萬，百位四舍五入，這才是一個(gè)億?？梢?，四舍五入是有規(guī)則的，王志安這里，他需要一個(gè)以億為基本單位的數(shù)字，這才會(huì)把500萬四舍五入得到一個(gè)億。我查看了一下，PC版，當(dāng)前王志安的粉絲數(shù)是5068996個(gè)。微博上對(duì)用戶粉絲的統(tǒng)計(jì)是精確到1個(gè)的。但是手機(jī)版用戶信息中，超過10000的，以萬個(gè)為計(jì)算單位。超過1億個(gè)的，以億個(gè)為計(jì)算單位。萬個(gè)或者億個(gè)都是約數(shù)，微博使用的計(jì)算規(guī)則不是四舍五入，而是舍去零頭。比如王志安的5068996個(gè)，用萬個(gè)為單位就是506萬個(gè)。數(shù)字的修約規(guī)則不限于四舍五入，還有其他法則（如四舍六入五成雙）。但是常用的規(guī)則是四舍五入。
微博用戶的粉絲個(gè)數(shù)，最小為0，最高目前是謝娜的1.21億個(gè)。超過1億個(gè)的還有何炅和楊冪，分別是1.08億個(gè)和1.0億個(gè)。我們從用戶的粉絲數(shù)目，可以大致判斷哪個(gè)是大v。通常粉絲數(shù)超過一百萬的，可以視為大v。大v的粉絲數(shù)，從幾百萬、幾千萬到上億不等。我們不需要了解大v的精確到1個(gè)的粉絲數(shù)，只要知道一個(gè)大致的數(shù)目就行了，比如謝娜的粉絲數(shù)是121712659，我們沒有必要記著這個(gè)9位數(shù)，只知道1.21億個(gè)就行了，或者知道過億個(gè)就行了。王志安的粉絲數(shù)是506萬個(gè)，我們知道王志安屬于幾百萬數(shù)量級(jí)的大v就行了。
通常，在十進(jìn)制數(shù)字中，每個(gè)位數(shù)都是一個(gè)數(shù)量級(jí)，可以用10的幾次方表示，位數(shù)相差幾個(gè)就可以說相差幾個(gè)數(shù)量級(jí)。比如10000，是10的4次方，那么，1萬到9萬的數(shù)字我們都可以稱之為10的4次方數(shù)量級(jí)。王志安的粉絲數(shù)就可以說是5百萬數(shù)量級(jí)。謝娜、何炅、楊冪的粉絲數(shù)都可以說是一億數(shù)量級(jí)。王志安和謝娜比，相差2個(gè)數(shù)量級(jí)。
我們遇到近似計(jì)算，就有一個(gè)數(shù)字的處理規(guī)則問題。比如圓周率π是個(gè)無理數(shù)，其位數(shù)是無窮無盡的，你的計(jì)算公式中如果出現(xiàn)π，就有一個(gè)π的位數(shù)的選取的問題?，F(xiàn)在我們用一個(gè)鋼卷尺測(cè)量一個(gè)圓的直徑，首先得知道鋼卷尺的測(cè)量精度，我們發(fā)現(xiàn)尺子的最小刻度是1毫米，那么尺子的精度就是1毫米。1毫米之內(nèi)，可以用肉眼大致估計(jì)一下，肉眼的測(cè)量精度大約為0.2毫米?，F(xiàn)在測(cè)量的直徑d為111.4毫米，求周長(zhǎng)。周長(zhǎng)L=dπ。這時(shí)候π我們?nèi)孜粩?shù)好呢？因?yàn)閐有四位數(shù)，且第四位是約數(shù)，因此，π取4位數(shù)即可，四合五入取π=3.142，則L=111.4×3.142=350.0188。這就完了嗎？肯定不行，你還得做四舍五入處理，因?yàn)閮蓚€(gè)乘數(shù)的有效數(shù)字都是4位，積也只能是4位，第五位四舍五入，答案應(yīng)該是L=350.0。你也可以用計(jì)算器計(jì)算，直接調(diào)用計(jì)算器儲(chǔ)存的π，積是一長(zhǎng)串?dāng)?shù)字：L=349.97342160990296676473847289734。第五位四舍五入，L=350.0。
注意，這里的350.0不能寫成350，因?yàn)?50.0有4位有效數(shù)字，你寫成350就成3位或者2位有效數(shù)字了（350，用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示，如果是3.50×10的2次方，就是3位有效數(shù)字；如果是3.5×10的2次方，就是2位有效數(shù)字）。有效數(shù)字的表示法，有幾位有效數(shù)字就要寫滿幾位數(shù)字，末尾是0時(shí)，不能省略；有效數(shù)字，要用10的方次表示，這叫科學(xué)計(jì)數(shù)法。比如，1.0000是五位有效數(shù)字，你寫成1就只有一位有效數(shù)字了，這個(gè)1可以理解成0.95到1.4之間的任意一個(gè)數(shù)字四舍五入而得，跟1.0000的有效位數(shù)相距甚遠(yuǎn)。1.0000的意義是0.99995到1.00004之間的任意數(shù)四舍五入而得。可見1與1.0000之間有天壤之別。有效數(shù)字的位數(shù)，大于等于1的，有幾位算幾位，比如12340.01或者1.234001×10的5次方，七位有效數(shù)字；小于1的，從第一個(gè)出現(xiàn)非0數(shù)字算起，比如0.0001060或者1.060×10的-4次方，四位有效數(shù)字。
乘除法的近似計(jì)算法則? 若干個(gè)數(shù)字相乘或除（除數(shù)不能是0）的積或者商的有效數(shù)字的位數(shù)跟有效數(shù)字位數(shù)最少的那個(gè)乘數(shù)、被乘數(shù)或除數(shù)、被除數(shù)相同。
二
加減法的近似計(jì)算法則? 先把小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最多的那個(gè)數(shù)字四舍五入，保留小數(shù)點(diǎn)后有效數(shù)字比最少的那個(gè)數(shù)字的有效數(shù)字多一位，相加后四舍五入，結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)跟有效數(shù)字最小的那個(gè)近似數(shù)一致。
舉例說明。125.05和0.00500相加，得125.05500，取兩位有效數(shù)字應(yīng)為125.06。因?yàn)?25.05小數(shù)點(diǎn)后只有兩位有效數(shù)字，因此，加和之后只能保留小數(shù)點(diǎn)后2位。再比如，1,250025和0.0020相加，1,250025小數(shù)點(diǎn)后有六位有效數(shù)字，而0.0020小數(shù)點(diǎn)后第三位才是有效數(shù)字且只有兩位有效數(shù)字，答案只能保留到小數(shù)點(diǎn)后第4位，結(jié)果是1.252025，四舍五入為1.2520。五十年前的課本說北京猿人距今有五十萬年，現(xiàn)在是不是可以說五十萬零五十年呢？顯然不能，50萬是個(gè)約數(shù)，誤差以數(shù)萬年計(jì)，跟50相加，后者忽略不計(jì)，仍然是五十萬年。
下面我們用有效數(shù)字原理解決一個(gè)科學(xué)中的實(shí)際問題。某甲黃曲霉素暴露量問題。
黃曲霉素幾乎無所不在，不論是主糧還是調(diào)料還是嗜好性食品，都很難避免黃曲霉素的存在。
現(xiàn)在的問題是，存在不一定對(duì)你構(gòu)成威脅。比如說，兩個(gè)人，都是以大米為主食，一個(gè)人是大飯桶，一天能吃1000克大米，另一個(gè)人吃飯像小貓，一天只吃50克大米，這樣，同樣黃曲霉素含量的大米，兩個(gè)人的暴露量就是大不相同的。
現(xiàn)在定義一個(gè)新概念，進(jìn)入體內(nèi)的黃曲霉素的量叫黃曲霉素暴露量（基本上就是吃進(jìn)去的，糧食加工企業(yè)從業(yè)人員可能會(huì)有吸入）。相對(duì)暴露量是指單位體重每天的暴露量（單位可以是：納克每千克每天/ng/kgBM·d）。
實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果證明，黃曲霉素本身并非致癌物質(zhì)，但是有極少量的黃曲霉素B1跟體內(nèi)的氧化合，生成黃曲霉素B1-8,9-環(huán)氧化物（AFBO）。可以通過測(cè)定尿中的AFBO-N7-鳥嘌呤來間接推算體內(nèi)的AFBO。我這里計(jì)算的是黃曲霉素B1的暴露量，僅作為有效數(shù)字原理分析方法的示例。
我們現(xiàn)在舉例說明相對(duì)暴露量的計(jì)算。某甲體重60千克，每天吃300克大米，求某甲的黃曲霉素B1相對(duì)暴露量。
大米黃曲霉素B1的平均含量按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的限量10μg/kg的一半計(jì)算，即5μg/kg，那么，某甲的黃曲霉素B1相對(duì)暴露量是：5×0.300/60=0.025[μg/（kgBM·d）]=925[ ng/（kgBM·d）]。
現(xiàn)在你說，某甲不可能光吃大米，對(duì)啊，他每天的相對(duì)暴露量是每種食物相對(duì)暴露量的總和。
我們現(xiàn)在就計(jì)算他的總相對(duì)暴露量。某甲除了吃大米，還吃蔬菜水果，蔬菜和水果通常不含黃曲霉素，但是他炒菜用的是花生油，用量是20克，黃曲霉素B1含量是1.0μg/kg；醬油用了5克，黃曲霉素B1含量是1.0μg/kg；辣椒粉用了1克，黃曲霉素B1含量12μg/kg。飯后，他喝了一壺普洱茶。已知他的普洱茶黃曲霉素B1含量是2.7μg/kg，他用了2克茶葉；假定某甲把2克茶葉吞吃了。含量數(shù)據(jù)均來自文獻(xiàn)。
計(jì)算結(jié)果見表。
合計(jì)計(jì)算的初步結(jié)果是25.662，取2位有效數(shù)字，四舍五入得26[ ng/（kgBM·d）]。我們從某甲的食物結(jié)構(gòu)看，他的黃曲霉素B1的主要來源是大米，其他都是零頭，因此，這個(gè)人要想顯著降低黃曲霉素B1暴露量，首先應(yīng)該是降低大米的黃曲霉素暴露量。如果他覺得大米是主食，滿不在乎，而把精力用在降低花生油、醬油、辣椒粉、普洱茶中的黃曲霉素，他就是事半功倍，甚至是白費(fèi)了，因?yàn)槟慵幢悴怀葬u油、辣椒粉、普洱茶，也降低不了多少黃曲霉素B1的暴露量。國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中大米的黃曲霉素B1限量是10μg/kg，他如果能找到黃曲霉素B1含量只有2μg/kg的優(yōu)質(zhì)大米，那么他的黃曲霉素B1暴露量就能降低一大半。繼續(xù)降低大米的黃曲霉素B1含量，難度很大。如果他已經(jīng)食用優(yōu)質(zhì)大米了，那就沒辦法了，他只能坦然面對(duì)每天必須暴露的黃曲霉素B1。人不能不吃飯啊。至于花生油，他現(xiàn)在用的是大工業(yè)生產(chǎn)的優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，黃曲霉素B1含量只有1μg/kg，但是他如果改吃土法壓榨的花生油，黃曲霉素B1含量則可以高達(dá)40μg/kg或相對(duì)暴露量13ng/(kgBN·d，那就不可小覷了。
即便是黃曲霉素B1含量只有2μg/kg的優(yōu)質(zhì)大米【上海大米平均黃曲霉素B1含量約為1.9μg/kg，見上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)（醫(yī)學(xué)版）2011年第10期）】，他的黃曲霉素B1相對(duì)暴露量仍然高達(dá)10 ng/（kgBM·d），跟花生油、醬油、辣椒粉、普洱茶比，仍然是獨(dú)占鰲頭。所以，我們遇到若干數(shù)字相加的問題時(shí)，就要有四舍五入和有效數(shù)字的數(shù)學(xué)思維，知道哪個(gè)是重點(diǎn)，哪個(gè)可以忽略不計(jì)，不能面面俱到，更不能本末倒置，逮著可以忽略不計(jì)的數(shù)字不放，而把大頭視若敝屣。正如食品中的黃曲霉素，你對(duì)大米中的黃曲霉素視而不見，或者不知道大米中的黃曲霉素在自己的總黃曲霉素暴露量中的占比之大（95%以上），卻對(duì)黃曲霉素含量微不足道的醬油（小于0.2%）、辣椒粉（小于0.8%）、普洱茶（小于0.3%）耿耿于懷，咬牙切齒，必欲“斬盡殺絕”，那你可真是大戰(zhàn)風(fēng)車的唐吉可德了。
最后順便說明，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)黃曲霉素B1含量的測(cè)定方法有幾種，允許誤差分別是20%和60%。見附圖。
國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的意思是說，假如你去檢測(cè)大米中的黃曲霉素B1含量，分析部門給你報(bào)告的數(shù)據(jù)是10μg/kg，如果用的是高效液相色譜法，意思是8到12μg/kg之間;如果用的是酶聯(lián)免疫吸附篩查法，意思就是4到16μg/kg之間。數(shù)據(jù)就是這么八卦，誤差很大的。換言之，你不要在意醬油或者辣椒粉中的那一點(diǎn)比大米小了兩個(gè)數(shù)量級(jí)的黃曲霉素B1。
