????????在喜馬拉雅《大老李聊數(shù)學(xué)》欄目中聽(tīng)到一道比較反直覺(jué)的題目，很有意思。

有一根1m的橡皮筋，一只螞蟻以1cm/s的速度從一頭爬向另一頭。但與此同時(shí)，橡皮經(jīng)以1m/s的速度被拉長(zhǎng)。問(wèn)：螞蟻?zhàn)罱K能否達(dá)到另一頭？如果能，需要多長(zhǎng)時(shí)間？

? ? ? ? 第一感覺(jué)是不是覺(jué)得螞蟻離終點(diǎn)會(huì)越來(lái)越遠(yuǎn)，永遠(yuǎn)不可能到達(dá)另一頭？對(duì)不對(duì)呢，現(xiàn)在來(lái)看看怎么解吧。

圖1

? ? ? ? 我們已知的不變的參數(shù)有3個(gè)，橡皮筋初始長(zhǎng)度為，橡皮筋拉長(zhǎng)速度為，螞蟻速度為。如圖1所示，我們以終點(diǎn)為參考點(diǎn)，那么起點(diǎn)就以速度向右運(yùn)動(dòng)，螞蟻相對(duì)于其所在點(diǎn)的橡皮筋以速度向左運(yùn)動(dòng)。而螞蟻的絕對(duì)速度我們?cè)O(shè)為，方向向左，很明顯它與橡皮筋的總長(zhǎng)度和螞蟻到終點(diǎn)的距離的關(guān)系是，方向向左。代入得到：

? ? ? ? 我們的未知數(shù)就是兩個(gè)與有關(guān)的函數(shù)和，而根據(jù)速度是距離的導(dǎo)數(shù)有（注意速度是往距離減小的方向，所以有負(fù)號(hào)）：

? ? ? ? 根據(jù)上兩式，最終得到：

? ? ? ? 這是一個(gè)一階線性非齊次微分方程，解肯定是不會(huì)解的了。百度了一下，代入一大坨求根公式和初始條件（過(guò)程略），得到：

? ? ? ?代入，，得

????????螞蟻到達(dá)終點(diǎn)之時(shí)，就是時(shí)，解得

? ? ? ? 這個(gè)時(shí)間等于八千五百億億億億年，可以讓宇宙重新來(lái)過(guò)五千億億億遍，雖然有點(diǎn)長(zhǎng)，但它終于還是到了！

? ? ? ? 上面這種方法是通常最容易想到的解題思路，下面來(lái)看看另一種更巧妙的思路，可以繞開(kāi)復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算?，F(xiàn)在我們把螞蟻的速度從“距離速度”m/s換作“百分比速度”%/s，即單位時(shí)間運(yùn)動(dòng)整個(gè)橡皮筋的百分比，那么總距離就是1。然后考慮到橡皮筋是均勻伸長(zhǎng)的，假設(shè)螞蟻?zhàn)叩较鹌そ?0%的位置突然覺(jué)得累了，停住在原地休息，那么之后無(wú)論橡皮筋如何伸長(zhǎng)，螞蟻一直都會(huì)在10%的位置。也就是說(shuō)，螞蟻已完成的百分比不會(huì)隨著時(shí)間變化，之后完成的部分只會(huì)在之前的部分上疊加。那么完成的總比例就是每個(gè)單位時(shí)間內(nèi)完成的比例之和，即積分。

? ??????時(shí)刻的百分比速度為螞蟻相對(duì)橡皮筋的速度除以橡皮筋的總長(zhǎng)度，即，時(shí)刻完成的總比例設(shè)為，那么

? ? ? ? 代入

? ? ? ? 其實(shí)簡(jiǎn)單的理解就是速度為，路程為

? ??????時(shí)推出：

? ? ? ? 是不是計(jì)算簡(jiǎn)單很多。

? ? ? ? 分析可以知道，走開(kāi)始的1%非常容易，只需要秒鐘，之后每個(gè)1%都要付出比前一次多倍的時(shí)間。其實(shí)百分比速度，積分到1，就跟調(diào)和級(jí)數(shù)要加多少項(xiàng)才能到100的情況是一致的。越到后面，想增加一點(diǎn)就越困難，但最終這個(gè)數(shù)列是發(fā)散的，可以加到任意大。在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，螞蟻到終點(diǎn)的路程距離都在不斷增大，我們的感覺(jué)也是這樣。那什么時(shí)候變得不再增加，而是逐漸越來(lái)越近了呢？那就是在秒，完成了99%百分比距離時(shí)。

????????有興趣還可以根據(jù)以上的公式畫出螞蟻距離和時(shí)間的函數(shù)圖像，推導(dǎo)其他性質(zhì)。

End