本篇筆記基于張江老師《從網(wǎng)絡(luò)隱藏幾何的角度看網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)的病毒傳播》公開(kāi)課程，探究交通流量數(shù)據(jù)與城市間病毒傳播的關(guān)系。
1、背景
傳播源頭、新病例爆發(fā)在哪里、何時(shí)病毒傳到特定地點(diǎn)、共有多少病例？
2、傳統(tǒng)模型
反應(yīng)擴(kuò)散模型（Reaction Diffusion Method不適合于現(xiàn)在社會(huì)）、基于個(gè)體模型（Agent based models）、隨機(jī)集合種群模型（Stochastic metapopulation models）。
上圖為基于個(gè)體模型--SIR模型，S表示易感者，I表示感染者，R表示移出者。紅色節(jié)點(diǎn)為感染者會(huì)以α概率隨機(jī)選擇傳播他的鄰居，連接為社會(huì)接觸，而感染者會(huì)以β概率進(jìn)行恢復(fù)。
NetLogo自帶病毒傳播仿真程序，起初病毒感染了三個(gè)人，按照一定概率規(guī)則進(jìn)行病毒傳播，傳播過(guò)程中不停擴(kuò)散整個(gè)網(wǎng)絡(luò)，感染個(gè)體又會(huì)變成恢復(fù)態(tài)，恢復(fù)的人因?yàn)橛锌贵w所以不會(huì)再被感染，直到不再有感染者。
3、有效距離
城市之間通過(guò)輸運(yùn)網(wǎng)絡(luò)、航空網(wǎng)絡(luò)等，城市之間可以輸運(yùn)病毒或健康個(gè)體。所以，以某個(gè)城市為節(jié)點(diǎn)，看一個(gè)城市里感染的人數(shù)和康復(fù)的人數(shù)，如何變化？
一般來(lái)講，兩個(gè)城市地理空間更近，那么病毒傳播的更快。也就是地理空間距離與病毒傳播天數(shù)呈正相關(guān)。但是事實(shí)告訴我們，猜想是錯(cuò)誤的。以H1N1和SARS病毒為例，橫坐標(biāo)表示其他城市距離病毒爆發(fā)城市的地理距離，縱坐標(biāo)表示病毒傳播天數(shù)。坐標(biāo)圖并沒(méi)有呈現(xiàn)出很明顯的正相關(guān)關(guān)系。
那么如何設(shè)計(jì)來(lái)增強(qiáng)距離與傳播的天數(shù)的正相關(guān)關(guān)系？這就需要引出有效距離（Effective Distance）的概念。這種有效距離可以回答背景中所提出的三個(gè)問(wèn)題，病毒源頭？病毒傳到哪里？在某一城市病毒何時(shí)出現(xiàn)？
有效距離的計(jì)算需要人口流動(dòng)數(shù)據(jù)，即任意兩個(gè)城市的人口流量（最好是穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)，搜集數(shù)據(jù)時(shí)間越接近效果越好）。
通過(guò)人口流量的網(wǎng)絡(luò)可以轉(zhuǎn)換為概率網(wǎng)絡(luò)，需要注意的是A與B的人口流量是不一致的，比如武漢到北京的人口流量是不等同于北京到武漢的人口流量。
概率定義是某一條連邊上，例如，從A出發(fā)向外隨機(jī)跳躍，A到B的跳轉(zhuǎn)概率就是用A到B的流量除以A的所有流量，那么P(B|A)=300/300×7=1/7，同理，從C出發(fā)只有到B的一條路徑，P(B|C)=50/50=1?；谔D(zhuǎn)概率可以計(jì)算兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的有效距離。
dA→B=1-lgP(B|A)，A到B跳轉(zhuǎn)概率越大，A到B有效距離越短，即跳轉(zhuǎn)概率與有效距離呈負(fù)相關(guān)關(guān)系。A到C的距離根據(jù)距離的傳遞性，計(jì)算A到B的距離，B到C的距離，二者距離相加為A到C的距離。關(guān)于這個(gè)公式有幾點(diǎn)說(shuō)明。
a.取對(duì)數(shù)：若計(jì)算A到C的概率，那么概率是相乘的，為了保證距離的可加性，因?yàn)閘gab=lga+lgb。
b.取1-：當(dāng)A、B只有一條路徑時(shí)，P(B|A)=1，dA→B=1，lgP(B|A)=0，即網(wǎng)格距離也為1。
如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)存在多條路徑情況，那么有效距離如何計(jì)算？
例如，A到D的距離，分別計(jì)算A到B到D的距離、A到D的距離以及A到C到D的距離，取三個(gè)距離中的最小值，作為A到D的有效距離。（我自己的計(jì)算結(jié)果與所給結(jié)果，雖結(jié)論相同，但是所算距離數(shù)據(jù)并不相等）
引入有效距離，以H1N1和SARS病毒為例，可以很明顯看出距離與傳播的天數(shù)的正相關(guān)關(guān)系。
4、預(yù)測(cè)到達(dá)時(shí)間
用有效距離除以相應(yīng)的傳播速度，可以算出有效時(shí)間。但是傳播速度依賴于傳播模型。那是不是就無(wú)法計(jì)算傳播時(shí)間呢？并不，我們可以通過(guò)間接方式計(jì)算傳播時(shí)間。
n、m、k為城市，假設(shè)我們已知k到n的傳播時(shí)間，有效距離已知，就可以計(jì)算出k到m的傳播時(shí)間。
5、尋找源頭
假設(shè)每個(gè)城市為傳染源，遍歷每一個(gè)城市，尋找傳播擴(kuò)散圖呈現(xiàn)圓形、對(duì)稱的，那么這個(gè)城市就是傳播源頭。
計(jì)算T,D的相關(guān)性：如果知道每個(gè)城市感染病毒的時(shí)間以及任意兩個(gè)城市之間的有效距離，只需要求相關(guān)性，任何一個(gè)城市作為假設(shè)的傳播源頭，那么已知它到達(dá)每個(gè)城市的時(shí)間以及有效距離，計(jì)算它們之間的相關(guān)性。如果源頭為真正源頭，二者相關(guān)性是最高的。遍歷所有城市，得到相關(guān)性，將相關(guān)性進(jìn)行排序，相關(guān)性最大即為源頭。
左圖為H1N1相關(guān)性計(jì)算，右圖為SARS相關(guān)性計(jì)算。根據(jù)計(jì)算結(jié)果墨西哥和中國(guó)分別H1N1和SARS的傳播源頭，符合客觀事實(shí)。
但是這種方法的弊端是必須知道每一個(gè)城市到達(dá)每一個(gè)城市的傳播時(shí)間，如果病毒沒(méi)有傳播結(jié)束，前提是要遍歷每一個(gè)城市，未出現(xiàn)病毒城市的傳播時(shí)間可以通過(guò)間接方法計(jì)算（傳播時(shí)間之比等于有效距離之比）。但是真實(shí)的傳播時(shí)間并不一定等于計(jì)算時(shí)間，可能會(huì)出現(xiàn)誤差。所以可能會(huì)發(fā)生并沒(méi)有出現(xiàn)感染者的某一城市被推算為傳播源頭。為了避免這種情況，提出一種新的算法。
以此刻，已感染的城市為源頭，以這個(gè)城市為中心，看所有城市的有效距離。如果這個(gè)城市為傳播源頭，那么這個(gè)城市一定是所有城市傳播事件中心的位置，它到其他感染城市的有效距離差不多大小，方差也比較小。具體做法：將所有城市有效距離的均值和方差繪制二維坐標(biāo)圖，那么均值和方差都比較小的一定是傳播源頭，即離圓點(diǎn)最近的為傳播源。
下圖為H1N1的真實(shí)數(shù)據(jù)，基本推測(cè)準(zhǔn)確。
6、傳播模型
SIR模型在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的擴(kuò)展模型
其中，jn為n城市感染比例
sn為n城市疑似病例
rn為n城市康復(fù)比例
γ為人口流動(dòng)平均比例
反應(yīng)項(xiàng)：當(dāng)感染者接觸疑似者時(shí)，可能會(huì)到疑似者感染，感染人數(shù)增加。
康復(fù)項(xiàng)
傳播項(xiàng)：n城市轉(zhuǎn)移到m城市
以上，就是我對(duì)于該課程的理解，如果存在理解有誤的地方，希望可以批評(píng)指正。
