1、最優(yōu)化與線性規(guī)劃

最優(yōu)化問題的三要素是決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件。

線性規(guī)劃（Linear programming），是研究線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的極值問題的優(yōu)化方法，常用于解決利用現(xiàn)有的資源得到最優(yōu)決策的問題。

簡單的線性規(guī)劃問題可以用 Lingo軟件求解，Matlab、Python 中也有求解線性規(guī)劃問題的庫函數(shù)或求解器，很容易學(xué)習(xí)和使用，并不需要用模擬退火算法。但是，由一般線性規(guī)劃問題所衍生的整數(shù)規(guī)劃、混合規(guī)劃、0/1規(guī)劃、二次規(guī)劃、非線性規(guī)劃、組合優(yōu)化問題，則并不是調(diào)用某個(gè)庫函數(shù)都能處理的。而模擬退火算法在很多復(fù)雜問題中具有較好的適應(yīng)性，可以作為一種入門的通用智能算法來學(xué)習(xí)。

也就是說，如果只是處理線性規(guī)劃問題，就不要用模擬退火算法了。但如果是現(xiàn)有方法無法處理的復(fù)雜優(yōu)化問題，或者對(duì)某類、某個(gè)優(yōu)化問題你不知道用什么方法處理了，這時(shí)用模擬退火算法還是能解決的。

本文使用懲罰函數(shù)法，分析模擬退火算法處理線性規(guī)劃問題，相關(guān)內(nèi)容也適用于非線性規(guī)劃問題。

2、模擬退火算法處理約束條件

線性規(guī)劃問題是約束優(yōu)化問題，而模擬退火算法則更適合處理無約束優(yōu)化問題。對(duì)于優(yōu)化問題中的約束條件，模擬退火算法有幾種常用的處理方法：

1. 決策變量取值的上下限約束。此類約束條件比較容易處理，只要設(shè)定初始解、新解在決策變量取值的上下限之間就可以解決。例如，（1）設(shè)置產(chǎn)生新解的隨機(jī)數(shù)的上下限為決策變量的上下限，即 [Xmin, Xmax]；（2）設(shè)置產(chǎn)生新解的隨機(jī)數(shù)的上下限為當(dāng)前解與決策變量的上下限，即 [Xnow, Xmax]；（3）通過條件判斷，當(dāng)新解超出決策變量上下限，則令其取上下限，即 xNew = max(min(xNew, xMax), xMin)。當(dāng)然，這些處理方式，都會(huì)影響隨機(jī)數(shù)的概率分布，因而也影響模擬退火算法的優(yōu)化性能，在此不做深入討論。

2. 檢驗(yàn)法處理不等式約束問題。在模擬退火算法的迭代過程中，將每次產(chǎn)生的新解代入每個(gè)不等式約束函數(shù)，判斷是否滿足約束條件；如果新解不滿足約束條件，則舍棄這個(gè)新解，返回重新產(chǎn)生一個(gè)新解進(jìn)行檢驗(yàn)，直到產(chǎn)生的新解滿足全部約束條件為止。這個(gè)方法的思路簡單，每次迭代都在可行域內(nèi)進(jìn)行，但是對(duì)于約束條件眾多、苛刻的復(fù)雜問題，多次產(chǎn)生的新解都不能滿足約束條件，會(huì)使計(jì)算時(shí)間很長，甚至停滯不前。

3. 消元法處理等式約束問題。對(duì)于等式約束，很難通過隨機(jī)產(chǎn)生的新解滿足約束條件，通常不能使用檢驗(yàn)法處理。消元法是通過解方程將等式約束中的某個(gè)決策變量表示為其它決策變量的線性關(guān)系后，代入目標(biāo)函數(shù)和不等式約束條件中，從而消去該約束條件。消元法不僅解決了等式約束問題，而且減少了決策變量的數(shù)量，從而有效簡化了優(yōu)化問題的復(fù)雜度，是一舉兩得的處理方法。但是，對(duì)于非線性等式約束，求解非線性方程組也是非常困難的，消元法并不是普遍都能適用的。

4. 更為通用的處理約束條件的方法是懲罰函數(shù)法，以下進(jìn)行介紹。

3、懲罰函數(shù)法

懲罰函數(shù)法是一類常用的處理約束條件的技術(shù)，在模擬退火算法中處理約束條件非常有效。方法的思想是將約束條件轉(zhuǎn)化為懲罰函數(shù)，附加在原有的目標(biāo)函數(shù)上構(gòu)造新的目標(biāo)函數(shù)；當(dāng)不滿足約束條件時(shí)，通過懲罰函數(shù)使新的目標(biāo)函數(shù)變差而被舍棄。

懲罰函數(shù)法有外點(diǎn)法和內(nèi)點(diǎn)法。外點(diǎn)法對(duì)可行域外的點(diǎn)（即不滿足約束的點(diǎn)）施加懲罰，對(duì)可行域內(nèi)部的點(diǎn)不懲罰，從而使迭代點(diǎn)向可行域D逼近。 內(nèi)點(diǎn)法是在可行域內(nèi)部進(jìn)行搜索，約束邊界起到類似圍墻的作用，使目標(biāo)函數(shù)無法穿過，就把搜索點(diǎn)限制在可行域內(nèi)了，因此只適用于不等式約束。

考慮約束優(yōu)化問題：　　

滿足限制

懲罰函數(shù)法將問題轉(zhuǎn)化成如下無約束問題

其中

在上述方程， 稱為外部罰函數(shù)， 稱為懲罰因子。在每一次迭代中，都增大，然后求解該無約束問題。將每一次迭代的結(jié)果將組成一個(gè)序列，此序列的極限即為原約束問題的解。

4、數(shù)模案例

雖然對(duì)于線性規(guī)劃問題并不推薦使用模擬退火算法求解。但為了便于理解，本文仍使用之前的線性規(guī)劃問題作為處理約束條件的案例。對(duì)于非線性規(guī)劃問題，以及非線性約束問題，處理方法都是類似的，將在后續(xù)進(jìn)行介紹。

4.1 問題描述：

某廠生產(chǎn)甲乙兩種飲料，每百箱甲飲料需用原料6千克、工人10名，獲利10萬元；每百箱乙飲料需用原料5千克、工人20名，獲利9萬元。
　　今工廠共有原料60千克、工人150名，又由于其他條件所限甲飲料產(chǎn)量不超過8百箱。
　?。?）問如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，即兩種飲料各生產(chǎn)多少使獲利最大？

4.2 問題建模：

決策變量：
　　　　x1：甲飲料產(chǎn)量（單位：百箱）
　　　　x2：乙飲料產(chǎn)量（單位：百箱）
　　目標(biāo)函數(shù)：
　　　　max fx = 10x1 + 9x2
　　約束條件：
　　　　6x1 + 5x2 <= 60
　　　　10x1 + 20x2 <= 150
　　取值范圍：
　　　　給定條件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
　　　　推導(dǎo)條件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
　　　　因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5

4.3 懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題：

構(gòu)造懲罰函數(shù)：
　　　　p1 = (max(0, 6*x1+5*x2-60))**2
　　　　p2 = (max(0, 10*x1+20*x2-150))**2
　　說明：如存在等式約束，例如：x1 + 2*x2 = m，也可以轉(zhuǎn)化為懲罰函數(shù)：
　　　　p3 = (x1+2*x2-m)**2
　　　　P(x) = p1 + p2 + ...
　　構(gòu)造增廣目標(biāo)函數(shù)：
　　　　L(x,m(k)) = min(fx) + m(k)*P(x)
　　　　m(k)：懲罰因子，隨迭代次數(shù) k 逐漸增大

在模擬退火算法中，m(k) 隨外循環(huán)迭代次數(shù)逐漸增大，但在內(nèi)循環(huán)中應(yīng)保持不變。

5、模擬退火算法 Python 程序：懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化線性規(guī)劃問題

# 模擬退火算法 程序：懲罰函數(shù)法求解線性規(guī)劃問題
# Program: SimulatedAnnealing_v2.py
# Purpose: Simulated annealing algorithm for function optimization
# v2.0: 使用懲罰函數(shù)法處理約束問題
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
# Crated：2021-05-01

#  -*- coding: utf-8 -*-
import math                         # 導(dǎo)入模塊
import random                       # 導(dǎo)入模塊
import pandas as pd                 # 導(dǎo)入模塊 YouCans, XUPT
import numpy as np                  # 導(dǎo)入模塊 numpy，并簡寫成 np
import matplotlib.pyplot as plt     
from datetime import datetime


# 子程序：定義優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)
def cal_Energy(X, nVar, mk):    # m(k)：懲罰因子，隨迭代次數(shù) k 逐漸增大
    p1 = (max(0, 6*X[0]+5*X[1]-60))**2
    p2 = (max(0, 10*X[0]+20*X[1]-150))**2
    fx = -(10*X[0]+9*X[1])
    return fx+mk*(p1+p2)


# 子程序：模擬退火算法的參數(shù)設(shè)置
def ParameterSetting():
    cName = "funcOpt"           # 定義問題名稱
    nVar = 2                    # 給定自變量數(shù)量，y=f(x1,..xn)
    xMin = [0, 0]               # 給定搜索空間的下限，x1_min,..xn_min
    xMax = [8, 7.5]             # 給定搜索空間的上限，x1_max,..xn_max

    tInitial = 100.0            # 設(shè)定初始退火溫度(initial temperature)
    tFinal  = 1                 # 設(shè)定終止退火溫度(stop temperature)
    alfa    = 0.98              # 設(shè)定降溫參數(shù)，T(k)=alfa*T(k-1)
    meanMarkov = 100            # Markov鏈長度，也即內(nèi)循環(huán)運(yùn)行次數(shù)
    scale   = 0.5               # 定義搜索步長，可以設(shè)為固定值或逐漸縮小
    return cName, nVar, xMin, xMax, tInitial, tFinal, alfa, meanMarkov, scale


# 模擬退火算法
def OptimizationSSA(nVar,xMin,xMax,tInitial,tFinal,alfa,meanMarkov,scale):
    # ====== 初始化隨機(jī)數(shù)發(fā)生器 ======
    randseed = random.randint(1, 100)
    random.seed(randseed)  # 隨機(jī)數(shù)發(fā)生器設(shè)置種子，也可以設(shè)為指定整數(shù)

    # ====== 隨機(jī)產(chǎn)生優(yōu)化問題的初始解 ======
    xInitial = np.zeros((nVar))   # 初始化，創(chuàng)建數(shù)組
    for v in range(nVar):
        # random.uniform(min,max) 在 [min,max] 范圍內(nèi)隨機(jī)生成一個(gè)實(shí)數(shù)
        xInitial[v] = random.uniform(xMin[v], xMax[v])
    # 調(diào)用子函數(shù) cal_Energy 計(jì)算當(dāng)前解的目標(biāo)函數(shù)值
    fxInitial = cal_Energy(xInitial, nVar, 1) # m(k)：懲罰因子，初值為 1

    # ====== 模擬退火算法初始化 ======
    xNew = np.zeros((nVar))         # 初始化，創(chuàng)建數(shù)組
    xNow = np.zeros((nVar))         # 初始化，創(chuàng)建數(shù)組
    xBest = np.zeros((nVar))        # 初始化，創(chuàng)建數(shù)組
    xNow[:]  = xInitial[:]          # 初始化當(dāng)前解，將初始解置為當(dāng)前解
    xBest[:] = xInitial[:]          # 初始化最優(yōu)解，將當(dāng)前解置為最優(yōu)解
    fxNow  = fxInitial              # 將初始解的目標(biāo)函數(shù)置為當(dāng)前值
    fxBest = fxInitial              # 將當(dāng)前解的目標(biāo)函數(shù)置為最優(yōu)值
    print('x_Initial:{:.6f},{:.6f},\tf(x_Initial):{:.6f}'.format(xInitial[0], xInitial[1], fxInitial))

    recordIter = []                 # 初始化，外循環(huán)次數(shù)
    recordFxNow = []                # 初始化，當(dāng)前解的目標(biāo)函數(shù)值
    recordFxBest = []               # 初始化，最佳解的目標(biāo)函數(shù)值
    recordPBad = []                 # 初始化，劣質(zhì)解的接受概率
    kIter = 0                       # 外循環(huán)迭代次數(shù)，溫度狀態(tài)數(shù)
    totalMar = 0                    # 總計(jì) Markov 鏈長度
    totalImprove = 0                # fxBest 改善次數(shù)
    nMarkov = meanMarkov            # 固定長度 Markov鏈

    # ====== 開始模擬退火優(yōu)化 ======
    # 外循環(huán)，直到當(dāng)前溫度達(dá)到終止溫度時(shí)結(jié)束
    tNow = tInitial                 # 初始化當(dāng)前溫度(current temperature)
    while tNow >= tFinal:           # 外循環(huán)，直到當(dāng)前溫度達(dá)到終止溫度時(shí)結(jié)束
        # 在當(dāng)前溫度下，進(jìn)行充分次數(shù)(nMarkov)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移以達(dá)到熱平衡
        kBetter = 0                 # 獲得優(yōu)質(zhì)解的次數(shù)
        kBadAccept = 0              # 接受劣質(zhì)解的次數(shù)
        kBadRefuse = 0              # 拒絕劣質(zhì)解的次數(shù)

        # ---內(nèi)循環(huán)，循環(huán)次數(shù)為Markov鏈長度
        for k in range(nMarkov):    # 內(nèi)循環(huán)，循環(huán)次數(shù)為Markov鏈長度
            totalMar += 1           # 總 Markov鏈長度計(jì)數(shù)器

            # ---產(chǎn)生新解
            # 產(chǎn)生新解：通過在當(dāng)前解附近隨機(jī)擾動(dòng)而產(chǎn)生新解，新解必須在 [min,max] 范圍內(nèi)
            # 方案 1：只對(duì) n元變量中的一個(gè)進(jìn)行擾動(dòng)，其它 n-1個(gè)變量保持不變
            xNew[:] = xNow[:]
            v = random.randint(0, nVar-1)   # 產(chǎn)生 [0,nVar-1]之間的隨機(jī)數(shù)
            xNew[v] = xNow[v] + scale * (xMax[v]-xMin[v]) * random.normalvariate(0, 1)
            # random.normalvariate(0, 1)：產(chǎn)生服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為 1 的正態(tài)分布隨機(jī)實(shí)數(shù)
            xNew[v] = max(min(xNew[v], xMax[v]), xMin[v])  # 保證新解在 [min,max] 范圍內(nèi)

            # ---計(jì)算目標(biāo)函數(shù)和能量差
            # 調(diào)用子函數(shù) cal_Energy 計(jì)算新解的目標(biāo)函數(shù)值
            fxNew = cal_Energy(xNew, nVar, kIter)
            deltaE = fxNew - fxNow

            # ---按 Metropolis 準(zhǔn)則接受新解
            # 接受判別：按照 Metropolis 準(zhǔn)則決定是否接受新解
            if fxNew < fxNow:  # 更優(yōu)解：如果新解的目標(biāo)函數(shù)好于當(dāng)前解，則接受新解
                accept = True
                kBetter += 1
            else:  # 容忍解：如果新解的目標(biāo)函數(shù)比當(dāng)前解差，則以一定概率接受新解
                pAccept = math.exp(-deltaE / tNow)  # 計(jì)算容忍解的狀態(tài)遷移概率
                if pAccept > random.random():
                    accept = True  # 接受劣質(zhì)解
                    kBadAccept += 1
                else:
                    accept = False  # 拒絕劣質(zhì)解
                    kBadRefuse += 1

            # 保存新解
            if accept == True:  # 如果接受新解，則將新解保存為當(dāng)前解
                xNow[:] = xNew[:]
                fxNow = fxNew
                if fxNew < fxBest:  # 如果新解的目標(biāo)函數(shù)好于最優(yōu)解，則將新解保存為最優(yōu)解
                    fxBest = fxNew
                    xBest[:] = xNew[:]
                    totalImprove += 1
                    scale = scale*0.99  # 可變搜索步長，逐步減小搜索范圍，提高搜索精度
                    
        # ---內(nèi)循環(huán)結(jié)束后的數(shù)據(jù)整理
        # 完成當(dāng)前溫度的搜索，保存數(shù)據(jù)和輸出
        pBadAccept = kBadAccept / (kBadAccept + kBadRefuse)  # 劣質(zhì)解的接受概率
        recordIter.append(kIter)  # 當(dāng)前外循環(huán)次數(shù)
        recordFxNow.append(round(fxNow, 4))  # 當(dāng)前解的目標(biāo)函數(shù)值
        recordFxBest.append(round(fxBest, 4))  # 最佳解的目標(biāo)函數(shù)值
        recordPBad.append(round(pBadAccept, 4))  # 最佳解的目標(biāo)函數(shù)值

        if kIter%10 == 0:                           # 模運(yùn)算，商的余數(shù)
            print('i:{},t(i):{:.2f}, badAccept:{:.6f}, f(x)_best:{:.6f}'.\
                format(kIter, tNow, pBadAccept, fxBest))

        # 緩慢降溫至新的溫度，降溫曲線：T(k)=alfa*T(k-1)
        tNow = tNow * alfa
        kIter = kIter + 1
        fxBest = cal_Energy(xBest, nVar, kIter)  # 由于迭代后懲罰因子增大，需隨之重構(gòu)增廣目標(biāo)函數(shù)
        # ====== 結(jié)束模擬退火過程 ======

    print('improve:{:d}'.format(totalImprove))
    return kIter,xBest,fxBest,fxNow,recordIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad

# 結(jié)果校驗(yàn)與輸出
def ResultOutput(cName,nVar,xBest,fxBest,kIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad,recordIter):
    # ====== 優(yōu)化結(jié)果校驗(yàn)與輸出 ======
    fxCheck = cal_Energy(xBest, nVar, kIter)
    if abs(fxBest - fxCheck)>1e-3:   # 檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo)函數(shù)
        print("Error 2: Wrong total millage!")
        return
    else:
        print("\nOptimization by simulated annealing algorithm:")
        for i in range(nVar):
            print('\tx[{}] = {:.6f}'.format(i,xBest[i]))
        print('\n\tf(x):{:.6f}'.format(cal_Energy(xBest,nVar,0)))

    # ====== 優(yōu)化結(jié)果寫入數(shù)據(jù)文件 ======
    nowTime = datetime.now().strftime('%m%d%H%M')       # '02151456'
    fileName = "..\data\{}_{}.dat".format(cName,nowTime)# 數(shù)據(jù)文件的地址和文件名
    optRecord = {
        "iter":recordIter,
        "FxNow":recordFxNow,
        "FxBest":recordFxBest,
        "PBad":recordPBad}
    df_Record = pd.DataFrame(optRecord)
    df_Record.to_csv(fileName, index=False, encoding="utf_8_sig")
    with open(fileName, 'a+', encoding="utf_8_sig") as fid:
        fid.write("\nOptimization by simulated annealing algorithm:")
        for i in range(nVar):
            fid.write('\n\tx[{}] = {:.6f}'.format(i,xBest[i]))
        fid.write('\n\tf(x):{:.6f}'.format(cal_Energy(xBest,nVar,0)))
    print("寫入數(shù)據(jù)文件: %s 完成。" % fileName)

    # ====== 優(yōu)化結(jié)果圖形化輸出 ======
    plt.figure(figsize=(6, 4), facecolor='#FFFFFF')     # 創(chuàng)建一個(gè)圖形窗口
    plt.title('Optimization result: {}'.format(cName))  # 設(shè)置圖形標(biāo)題
    plt.xlim((0, kIter))                                # 設(shè)置 x軸范圍
    plt.xlabel('iter')                                  # 設(shè)置 x軸標(biāo)簽
    plt.ylabel('f(x)')                                  # 設(shè)置 y軸標(biāo)簽
    plt.plot(recordIter, recordFxNow,'b-', label='FxNow')     # 繪制 FxNow 曲線
    plt.plot(recordIter, recordFxBest, 'r-', label='FxBest')  # 繪制 FxBest 曲線
    # plt.plot(recordIter,recordPBad,'r-',label='pBadAccept')  # 繪制 pBadAccept 曲線
    plt.legend()  # 顯示圖例
    plt.show()

    return


# 主程序
def main():

    # 參數(shù)設(shè)置，優(yōu)化問題參數(shù)定義，模擬退火算法參數(shù)設(shè)置
    [cName, nVar, xMin, xMax, tInitial, tFinal, alfa, meanMarkov, scale] = ParameterSetting()
    # print([nVar, xMin, xMax, tInitial, tFinal, alfa, meanMarkov, scale])

    # 模擬退火算法    [kIter,xBest,fxBest,fxNow,recordIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad] \
        = OptimizationSSA(nVar,xMin,xMax,tInitial,tFinal,alfa,meanMarkov,scale)
    # print(kIter, fxNow, fxBest, pBadAccept)

    # 結(jié)果校驗(yàn)與輸出
    ResultOutput(cName, nVar,xBest,fxBest,kIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad,recordIter)


if __name__ == '__main__':
    main()

6、運(yùn)行結(jié)果

Optimization by simulated annealing algorithm:
    x[0] = 6.577964
    x[1] = 4.111469
    f(x):-102.782857

參考文獻(xiàn)：

（1）胡山鷹，陳丙珍，非線性規(guī)劃問題全局優(yōu)化的模擬退火法，清華大學(xué)學(xué)報(bào)，1997,37(6):5-9
（2）李歧強(qiáng)，具有約束指導(dǎo)的模擬退火算法，系統(tǒng)工程，2001,19(3):49-55

版權(quán)說明：
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