數值分析之插值

插值

一.基本概念

1.1插值需要研究的問題
  • 插值函數是否存在？
  • 如何構造插值函數？
  • 如何評估誤差？
1.2插值法定義
  • 設函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]有定義，且已知a \leqslant x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n} \leqslant b上值y_{0}, y_{1}, \cdots, y_{n}，若存在一簡單函數P(x),使得
    P\left(x_{i}\right)=y_{i} \quad(i=0,1, \cdots, n)
    成立，就稱P(x)為f(x)的插值函數，點x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}稱為插值節(jié)點，包含插值節(jié)點的區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間，求插值區(qū)間函數P(x)的方法稱為插值法。若P(x)是次數不超過n的代數多項式，即P(x)=a+a x+\cdots+a_{n} x^{n}，稱P(x)為插值多項式。

二.多項式插值

  • 定理：設區(qū)間[a,b]上給定n+1個點a \leqslant x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n} \leqslant b上的函數值y_i=f(x_i)(i=0,1,...,n),這樣次數不超過n的多項式，使P(x_i)=y_i(i=0,1,...,n)是唯一的。
快照15.png

三.拉格朗日插值

使用解線性方程組的方法求解插值多項式，計算量大，造成的誤差也不易估算，因此我們一般采取其他方法來構造插值多項式

3.1線性插值與拋物線插值

  • 線性插值（兩點插值）:

    給定兩個區(qū)間[x_k,x_{k+1}]及端點函數值y_k=f(x_k),y_{k+1}=f(x_{k+1}),求線性插值多項式L_1(x),滿足:

    ? L_1(x)=y_k,L_1(x_{k+1})=y_{k+1}

    其集合意義就是過著兩個點的直線。可以通過直線表達式給出：

    兩點式
    L_{1}(x)=\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_{k}} y_{k}+\frac{x-x_{k}}{x_{k+1}-x_{k}} y_{k+1}
    設
    l_{k}(x)=\frac{x-x_{k+1}}{x_{k}-x_{k+1}}, \quad l_{k+1}(x)=\frac{x-x_{k}}{x_{k+1}-x_{k}} （稱他們?yōu)榫€性插值基函數）
    其中
    \begin{array}{ll}{l_{k}\left(x_{k}\right)=1,} & {l_{k}\left(x_{k+1}\right)=0} \\ {l_{t+1}\left(x_{k}\right)=0,} & {l_{k+1}\left(x_{k+1}\right)=1}\end{array}
    可將兩點式表示為
    L_{1}(x)=y_{k} l_{k}(x)+y_{k+1} l_{k+1}(x)

  • 拋物線插值（三點插值）：

    略

3.2拉格朗日插值多項式

將以上兩個點或是三個點的情況擴展到有n+1個點，設有n+1個節(jié)點，x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}，構造n次插值多項式L_n(x)滿足條件L_{n}\left(x_{j}\right)=y_{j} \quad(j=0,1, \cdots, n)。

  • n次插值基函數：若n次多項式l_{j}(x)(j=0,1, \cdots, n)，在n+1個節(jié)點x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}上滿足條件l_{j}\left(x_{k}\right)=\begin{array}{ll}{1,} & {k=j} \\ {0,} & {k \neq j}\end{array} j,k=0,1,...,n就稱這為n+1個n次多項式為節(jié)點x_0,x_{1}, \cdots, x_{n}的n次插值基函數?？梢员硎緸?/p>

    ，l_{k}(x)=\frac{\left(x-x_{0}\right) \cdots\left(x-x_{k-1}\right)\left(x-x_{k+1}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{k}-x_{0}\right) \cdots\left(x_{k}-x_{k-1}\right)\left(x_{k}-x_{k+1}\right) \cdots\left(x_{k}-x_{n}\right)}，j=0,1,...,n

  • 拉格朗日插值多項式：

    可以表示為L_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} y_{k} l_{k}(x)，

    若將記\omega_{n+1}(x)=\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right)

    則\omega_{n+1}^{\prime}\left(x_{k}\right)=\left(x_{k}-x_{0}\right) \cdots\left(x_{k}-x_{k-1}\right)\left(x_{k}-x_{k+1}\right) \cdots\left(x_{k}-x_{n}\right)（關于x求導）

    所以可以將拉格朗日插值多項式改寫為：
    L_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} y_{k} \frac{\omega_{n+1}(x)}{\left(x-x_{k}\right) \omega_{n+1}^{\prime}\left(x_{k}\right)}

  • 注：n次插值多項式的次數通常為n次，特殊情況下也可以小于n次，如三點拋物線插值三點在同一條直線上時。

3.3插值余項與誤差估算

  • 定義：若在[a,b]上用L_n(x)近似f(x),則其截斷誤差
    R_{n}(x)=f(x)-L_{n}(x)
    稱為插值多項式的余項。

  • 定理：設f^{(n)}(x)在[a,b]上連續(xù)，f^{(n+1)}(x)在[a,b]內存在，節(jié)點a \leqslant x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n} \leqslant b，L_n(x)是滿足上述條件的插值多項式，則對任意的x \in[a, b],
    R_{n}(x)=f(x)-L_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !} \omega_{n+1}(x)
    這里\xi \in(a, b)且依賴于x, \omega_{n+1}(x)。

    • 證明：（羅爾中值定理）
      快照13.png
快照14.png

四.均差及牛頓插值多項式

五.埃爾米特插值

六.分段低次插值

七.三次樣條插值

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