換，還是不換？
美國有一檔奪寶類的綜藝節(jié)目：節(jié)目組安排三扇門，其中一扇門后面是100萬美金，其它兩扇門后面是一只羊，選手可以任意打開一扇門并拿走門后面的獎品。當(dāng)選手選擇一扇門以后，主持人會打開一扇背后是羊的門(主持人知道獎金在哪扇門背后),然后問選手“是否要換另一扇門？”。如果你是這個選手，你會選擇換么？
在大多數(shù)人看來：三扇門，任意打開一扇門獲得獎金的概率是1/3。打開一扇門后，任意打開一扇門獲得獎金的概率是1/2，換與不換似乎沒有差別。同時，人們更喜歡相信自己的直覺：反正都是瞎蒙，既然選擇了第一扇門，那我更愿意相信背后是100萬，所以絕大多數(shù)人選擇不換。
如果是100扇門呢？
在揭曉答應(yīng)之前，我們再來考慮一下情況：假如給你選擇的不是3扇門，而是100扇門。主持人打開一扇沒有獎金的門后，你會換么？打開了兩扇呢？...打開了98扇呢？
似乎情況有些不一樣了。當(dāng)主持人打開了98扇門后，剩下的沒有開的門，和你選擇的那扇門相比，好像有更大概率背后是獎金。而且這個概率是99/100，原大于你那扇門的1/100。
情況真的是這樣的嗎？
讓我們用科學(xué)的方式來演算一下：假設(shè)一共有N扇門，當(dāng)你任意選擇一扇門之后，將剩余的N-1扇門歸為一組(我們稱之為"落選組"。那么，你選擇的門“正確”的概率是1/N, 落選組的概率是N-1/N, 這個很容易理解，因為這一組門多，自然概率大。當(dāng)主持人打開一扇"錯誤"的門后，落選組剩余的每扇門的正確的概率變高了！
首先，主持人打開一扇門后落選組的整體正確率是不變的，還是N-1/N。但是，此時落選組只剩下N-2扇門，所以每扇門正確的概率就成了 N-1/N(N-2)，是大于1/N的。依次類推，當(dāng)主持人打開x扇門后，剩下的每扇門正確的概率是N-1/N(N-x-1)。我們將上面的數(shù)據(jù)代入: N=100, x=98時，概率正是99/100。
聽上去似乎對，但還是有點(diǎn)難以接受
上面的推演找不出任何問題，但還是感覺哪里不對。為什么打開一扇門后，剩余組每一扇門正確的概率就比選擇的門高了呢？不管打開多少扇門，獎金都可能存在于任意一扇沒有打開的門后面，而且概率應(yīng)該是相等的。
回到一開始的綜藝節(jié)目的例子，如果在主持人打開一扇門后，另一位選手出現(xiàn)，他不知道前面發(fā)生的故事，擺在他面前的是兩扇關(guān)著的門和一扇開著的門，他任意選擇一扇門帶走獎金的概率是多少？1/2! 好像跟我們上面的結(jié)論沖突了。別著急，讓我們繼續(xù)分析。
到底哪里出了問題？
這里面一共有三個問題：1.為何主持人打開一扇門后剩余的門正確的概率變大了？2.如何解釋第二位選手的情況？3. 為什么我們會難以理解？
第一個問題的原因在于主持人！因為主持人知道正確答案，他在挑選一個錯誤項時，選擇范圍是所有落選組的選項，而不是全部選項！所以他排除錯誤答案時只是“排除落選組中的錯誤答案”，所以讓落選組中其余的備選答案概率增加了，而不影響選手選擇項目的概率。雖然看上去這個錯誤選項是全局的錯誤選項，這正是迷惑人的地方。假如主持人不知道正確的選項，而隨機(jī)挑一扇門排除(不公布答案)，這時每個選項(包括選手選擇的選項)的正確概率才是相等的，有興趣的同學(xué)可以自行推演下。
第二個問題在于混淆了兩次獨(dú)立選擇的期望值。第二個選手任意打開一扇門并帶走獎金的概率確實是1/2，前提是他不知道前面發(fā)生的故事，他選擇任意一扇門的概率是1/2, 但選手一選擇的門中獎的概率是1/3，落選的門中獎概率是2/3，所以綜合的是期望是1/21/3+1/22/3 = 1/2。選手二的選擇和選手一的選擇是兩個獨(dú)立事件。因為他不知道前面發(fā)生的故事，如果他目睹了前面的過程，應(yīng)該毫不猶豫地選擇落選的門。
第三個問題源于人類的直覺在做怪。人門直覺上認(rèn)為剩余兩扇門，獎金要么在第一扇門后，要么在第二扇門后，都是未知的，概率是相當(dāng)?shù)摹＜由仙鲜龅诙€問題中講到的二次選擇的混淆，所以大多數(shù)人難以理解在主持人排除一個錯誤答案后發(fā)生的概率變化。
這個故事告訴我們什么道理？
- 人們在生活中做出判斷往往依靠直覺，忽略科學(xué)的判斷。
- 在大多數(shù)人的潛意識中，喜歡將事情分為：是、不是和可能，而忽略這個"可能"所對應(yīng)的概率到底是多少。
