羅巴切夫斯基雙曲幾何
羅巴切夫斯基幾何（Lobachevskian geometry），也稱雙曲幾何，波利亞-羅巴切夫斯基幾何或羅氏幾何，是一種獨(dú)立于歐幾里得幾何的一種幾何公理系統(tǒng)。
雙曲幾何的公理系統(tǒng)和歐氏幾何的公理系統(tǒng)不同之處在于歐幾里得幾何的“第五公設(shè)”（又稱平行公理，等價于“過直線之外一點(diǎn)有唯一的一條直線和已知直線平行”）被代替為“雙曲平行公理”（等價于“過直線之外的一點(diǎn)至少有兩條直線和已知直線平行”）。在這種公理系統(tǒng)中，經(jīng)過演繹推理，可以證明一系列和歐氏幾何內(nèi)容不同的新的幾何命題，比如三角形的內(nèi)角和小于180度。
凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐氏幾何中如果是正確的，在雙曲幾何中也同樣是正確的。而依賴于平行公理的命題，在雙曲幾何中都不成立。下面舉幾個例子加以說明：
歐氏幾何:
同一直線的垂線和斜線相交。
圖1.羅巴切夫斯基幾何相關(guān)圖形
垂直于同一直線的兩條直線平行。
存在相似而不全等的多邊形。
過不在同一直線上的三點(diǎn)可以做且僅能做一個圓。
雙曲幾何：
同一直線的垂線和斜線不一定相交。
垂直于同一直線的兩條直線，當(dāng)兩端延長的時候，離散到無窮。不存在相似而不全等的多邊形。
過不在同一直線上的三點(diǎn)，不一定能做一個圓。
從上面所列舉得羅巴切夫斯基幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習(xí)慣的直觀有矛盾。所以羅巴切夫斯基幾何中的一些幾何事實(shí)沒有象歐氏幾何那樣容易被接受。但是，我們可以用習(xí)慣的歐氏幾何中的事實(shí)作一個直觀“模型”來解釋羅氏幾何是正確的。
幾何模型
羅巴切夫斯基幾何的公理系統(tǒng)有幾種直觀的模型。羅巴切夫斯基幾何中的非定義概念（元名）在各種模型中被定義為具體的對象，使得雙曲幾何的公理被這種模型滿足。
龐加萊模型
Poincare model：在雙曲幾何的龐加萊模型中，“點(diǎn)”是龐加萊圓盤
?（即平面上單位圓盤的內(nèi)部）上的點(diǎn)，“直線”是所有包含在龐加萊圓盤內(nèi)，并于單位圓垂直相交的圓弧。在這個模型內(nèi)，可以證明過兩“點(diǎn)”有唯一的“直線”等雙曲幾何的公理。而且我們可以看到，過“直線”外的一點(diǎn)有不止一條“直線”和已知“直線”平行（即不相交）。
Depiction of the polarization states on Poincaré sphere
?
克萊因模型
Klein model：在克萊因模型中，“點(diǎn)”仍然是龐加萊圓盤上的點(diǎn)，“直線”是單位圓的所有弦（chord）。這個模型仍然滿足雙曲幾何的所有公理。但克萊因模型中兩條直線的夾角并不等于歐氏幾何意義下的夾角。
平行線與三角形
平行線
若兩射線BC與CE在直線BC之同側(cè)且不相交，但∠CBA內(nèi)部的任一射線BD均與CE相交，則稱射線BA平行于射線CE，記為BA∥CE，當(dāng)BC⊥CE時，∠CBA稱為線段BC的平行角，而線段BC稱為∠CBA的平行距或指針，可以證明平行角是銳角。
三角形
歐氏幾何中三角形的內(nèi)角和是180度。這個命題依賴于歐氏幾何的平行公理。而在雙曲幾何中，任何三角形的內(nèi)角和一定是嚴(yán)格小于180度；內(nèi)角和與180度的差稱為這個三角形的“缺陷”（defect）。這個數(shù)值與三角形的面積成正比例。而因?yàn)槿毕葑疃嗍?80度，所以在雙曲幾何中，三角形的面積不可能無限大。這又是與歐氏幾何的直覺完全相反的現(xiàn)象。
歷史
尼古拉斯·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基（Никола?й Ива?нович Лобаче?вский，英文Nikolas lvanovich Lobachevsky）（1792年（壬子年）12月1日-1856年2月24日），俄羅斯數(shù)學(xué)家，非歐幾何的早期發(fā)現(xiàn)人之一。主要著作：關(guān)于非歐幾何的論文《幾何學(xué)原理及平行線定理嚴(yán)格證明的摘要》、論文《幾何學(xué)原理》（德文）、非歐幾何著作《平行線理論的幾何研究》《論幾何學(xué)》等。
1893年，在喀山大學(xué)樹立起了世界上第一個為數(shù)學(xué)家雕塑的塑像。這位數(shù)學(xué)家就是俄國的偉大學(xué)者、非歐幾何的重要創(chuàng)始人——羅巴切夫斯基（Никола?й Ива?нович Лобаче?вский， Nikolai Ivanovich Lobachevskii， 尼古拉·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基）。非歐幾何是人類認(rèn)識史上一個富有創(chuàng)造性的偉大成果，它的創(chuàng)立，不僅帶來了近百年來數(shù)學(xué)的巨大進(jìn)步，而且對現(xiàn)代物理學(xué)、天文學(xué)以及人類時空觀念的變革都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。
不過，這一重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)羅巴切夫斯基提出后相當(dāng)長的一段時間內(nèi)，不但沒能贏得社會的承認(rèn)和贊美，反而遭到種種歪曲、非難和攻擊，使非歐幾何這一新理論遲遲得不到學(xué)術(shù)界的公認(rèn)。
羅巴切夫斯基是在嘗試解決歐氏第五公設(shè)問題的過程中，從失敗走上他的發(fā)現(xiàn)之路的。歐氏第五公設(shè)問題是數(shù)學(xué)史上最古老的著名難題之一，它是由古希臘學(xué)者最先提出來的。
公元前三世紀(jì)，希臘亞歷山大里亞學(xué)派的創(chuàng)始者歐幾里得集前人幾何研究之大成，編寫了數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有極其深遠(yuǎn)影響的數(shù)學(xué)巨著《幾何原本》。
這部著作的重要意義在于，它是用公理法建立科學(xué)理論體系的最早典范。在這部著作中，歐幾里得為推演出幾何學(xué)的所有命題，一開頭就給出了五個公理(適用于所有科學(xué))和五個公設(shè)(只應(yīng)用于幾何學(xué))，作為邏輯推演的前提?！稁缀卧尽返淖⑨屨吆驮u述者們對五個公理和前四個公設(shè)都是很滿意，唯獨(dú)對第五個公設(shè)（即平行公理）提出了質(zhì)疑。
第五公設(shè)是論及平行線的，它說的是：如果一直線和兩直線相交，且所構(gòu)成的兩個同側(cè)內(nèi)角之和小于兩直角，那么，把這兩直線延長，它們一定在那兩內(nèi)角的一側(cè)相交。數(shù)學(xué)家們并不懷疑這個命題的真實(shí)性，而是認(rèn)為它無論在語句的長度，還是在內(nèi)容上都不大像是個公設(shè)，而倒像是個可以證明的定理，只是由于歐幾里得沒能找到它的證明，才不得不把它放在公設(shè)之列。
為了給出第五公設(shè)的證明，完成歐幾里得沒能完成的工作，自公元前3世紀(jì)起到19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們投入了無窮無盡的精力，他們幾乎嘗試了各種可能的方法，但都遭到了失敗。
羅巴切夫斯基是從1815年著手研究平行線理論的。開始他也是循著前人的思路，試圖給出第五公設(shè)的證明。在保存下來的他的學(xué)生聽課筆記中，就記有他在1816～1817學(xué)年度在幾何教學(xué)中給出的一些證明?？墒?，很快他便意識到自己的證明是錯誤的。
前人和自己的失敗從反面啟迪了他，使他大膽思索問題的相反提法：可能根本就不存在第五公設(shè)的證明。于是，他便調(diào)轉(zhuǎn)思路，著手尋求第五公設(shè)不可證的解答。這是一個全新的，也是與傳統(tǒng)思路完全相反的探索途徑。羅巴切夫斯基正是沿著這個途徑，在試證第五公設(shè)不可證的過程中發(fā)現(xiàn)了一個嶄新的幾何世界。
羅巴切夫斯基創(chuàng)造性地運(yùn)用了處理復(fù)雜數(shù)學(xué)問題常用的一種邏輯方法——反證法。這種反證法的基本思想是，為證“第五公設(shè)不可證”，首先對第五公設(shè)加以否定，然后用這個否定命題和其它公理公設(shè)組成新的公理系統(tǒng)，并由此展開邏輯推演。
首先假設(shè)第五公設(shè)是可證的，即第五公設(shè)可由其它公理公設(shè)推演出來。那么，在新公理系統(tǒng)的推演過程中一定會出現(xiàn)邏輯矛盾，至少第五公設(shè)和它的否定命題就是一對邏輯矛盾；反之，如果在“第五公設(shè)不可證”的新公理系統(tǒng)的推演中不出矛盾，就反駁了“第五公設(shè)可證”這一假設(shè)，從而也就間接證得“第五公設(shè)不可證”。
依照這個邏輯思路，羅巴切夫斯基對第五公設(shè)的等價命題——普列菲爾公理“過平面上直線外一點(diǎn)，只能引一條直線與已知直線不相交”作以否定，得到否定命題“過平面上直線外一點(diǎn)，至少可引兩條直線與已知直線不相交”，并用這個否定命題和其它公理公設(shè)組成新的公理系統(tǒng)展開邏輯推演。
在推演過程中，他得到一連串古怪、非常不合乎常理的命題。但是，經(jīng)過仔細(xì)審查，卻沒有發(fā)現(xiàn)它們之間存在任何邏輯矛盾。于是，遠(yuǎn)見卓識的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個“在結(jié)果中并不存在任何矛盾”的新公理系統(tǒng)可構(gòu)成一種新的幾何，它的邏輯完整性和嚴(yán)密性可以和歐幾里得幾何相媲美。而這個無矛盾的新幾何的存在，就是對第五公設(shè)可證性的反駁，也就是對第五公設(shè)不可證性的邏輯證明。由于尚未找到新幾何在現(xiàn)實(shí)界的原型和類比物，羅巴切夫斯基慎重地把這個新幾何稱之為“想象幾何”。
1826年2月23日，羅巴切夫斯基于喀山大學(xué)物理數(shù)學(xué)系學(xué)術(shù)會議上，宣讀了他的第一篇關(guān)于非歐幾何的論文：《幾何學(xué)原理及平行線定理嚴(yán)格證明的摘要》。這篇論文的問世，標(biāo)志著非歐幾何的誕生。然而，這一重大成果剛一公諸于世，就遭到正統(tǒng)數(shù)學(xué)家的冷漠和反對。
參加2月23日學(xué)術(shù)公議的全是數(shù)學(xué)造詣較深的專家，其中有著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家西蒙諾夫，有后來成為科學(xué)院院士的古普費(fèi)爾，以及后來在數(shù)學(xué)界頗有聲望的博拉斯曼。在這些人的心目中，羅巴切夫斯基是一位很有才華的青年數(shù)學(xué)家?？墒牵龊跛麄兊囊饬?，這位年輕的教授在簡短的開場白之后，接著說的全是一些令人莫名其妙的話，諸如三角形的內(nèi)角和小于兩直角，而且隨著邊長增大而無限變小，直至趨于零；銳角一邊的垂線可以和另一邊不相交，等等。這些命題不僅離奇古怪，與歐幾里得幾何z相沖突，而且還與人們的日常經(jīng)驗(yàn)相背離。然而，報告者卻認(rèn)真地、充滿信心地指出，它們屬于一種邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男聨缀?，和歐幾里得幾何有著同等的存在權(quán)利。這些古怪的語言，竟然出自一個頭腦清楚、治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)家教授之口，不能不使與會者們感到意外。他們先是表現(xiàn)現(xiàn)一種疑惑和驚呆，不多一會兒，便流露出各種否定的表情。
宣講論文后，羅巴切夫斯基誠懇地請與會者討論，提出修改意見?？墒?，誰也不肯作任何公開評論，會場上一片冷漠。一個具有獨(dú)創(chuàng)性的重大發(fā)現(xiàn)作出了，那些最先聆聽到發(fā)現(xiàn)者本人講述發(fā)現(xiàn)內(nèi)容的同行專家，卻因思想上的守舊，不僅沒能理解這一發(fā)現(xiàn)的重要意義，反而采取了冷談和輕慢的態(tài)度，這實(shí)在是一件令人遺憾的事情。
會后，系學(xué)術(shù)委員會委托西蒙諾夫、古普費(fèi)爾和博拉斯曼組成三人鑒定小組，對羅巴切夫斯基的論文作出書面鑒定。他們的態(tài)度無疑是否定的，但又遲遲不肯寫出書面意見，以致最后連文稿也給弄丟了。
羅巴切夫斯基的論文沒能引起學(xué)術(shù)界的注意和重視，論文本身也似石沉大海，不知被遺棄何處。但他并沒有因此灰心喪氣，而是頑強(qiáng)地繼續(xù)獨(dú)自探索新幾何的奧秘。1829年，他又撰寫出一篇題為《幾何學(xué)原理》的論文。這篇論文重現(xiàn)了第一篇論文的基本思想，并且有所補(bǔ)充和發(fā)展。此時，羅巴切夫斯基已被推選為喀山大學(xué)校長，可能出自對校長的“尊敬”，《喀山大學(xué)通報》全文發(fā)表了這篇論文。
1832年，根據(jù)羅巴切夫斯基的請求，喀山大學(xué)學(xué)術(shù)委員會把這篇論文呈送彼得堡科學(xué)院審評。科學(xué)院委托著名數(shù)學(xué)家奧斯特羅格拉茨基院士作評定。奧斯特羅格拉茨基是新推選的院士，曾在數(shù)學(xué)物理、數(shù)學(xué)分析、力學(xué)和天體力學(xué)等方面有過卓越的成就，在當(dāng)時學(xué)術(shù)界有很高的聲望?？上У氖?，就是這樣一位杰出的數(shù)學(xué)家，也沒能理解羅巴切夫斯基的新幾何思想，甚至比喀山大學(xué)的教授們更加保守。
如果說喀山大學(xué)的教授們對羅巴切夫斯基本人還是很“寬容”的話，那么，奧斯特羅格拉茨基則使用極其挖苦的語言，對羅巴切夫斯基作了公開的指責(zé)和攻擊。同年11月7日，他在給科學(xué)院的鑒定書中一開頭就以嘲弄的口吻寫道：“看來，作者旨在寫出一部使人不能理解的著作。他已經(jīng)達(dá)到了自己的目的?！苯又瑢α_巴切夫斯基的新幾何思想進(jìn)行了歪曲和貶低。最后粗暴地斷言：“由此我得出結(jié)論，羅巴切夫斯基校長的這部著作謬誤連篇，因而不值得科學(xué)院的注意?！?/p>
這篇論文不僅引起了學(xué)術(shù)界的惱怒，而且還激起了社會上反動勢力的敵對叫囂。名叫布拉切克和捷列內(nèi)的兩個人，以匿名在《祖國之子》雜志上撰文，公開指名對羅巴切夫斯基進(jìn)行人身攻擊。
針對這篇污辱性的匿名文章，羅巴切夫斯基撰寫了一篇反駁文章。但《祖國之子》雜志卻以維護(hù)雜志聲譽(yù)為由，將羅巴切夫斯基的文章扣壓下來，一直不予發(fā)表。對此，羅巴切夫斯基極為氣憤。
羅巴切夫斯基開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個新領(lǐng)域，但他的創(chuàng)造性工作在生前始終沒能得到學(xué)術(shù)界的重視和承認(rèn)。就在他去世的前兩年，俄國著名數(shù)學(xué)家布尼雅可夫斯基還在其所著的《平行線》一書中對羅巴切夫斯基發(fā)難，他試圖通過論述非歐幾何與經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識的不一致性，來否定非歐幾何的真實(shí)性。
英國著名數(shù)學(xué)家莫爾甘對非歐幾何的抗拒心里表現(xiàn)得就更加明顯了，他甚至在沒有親自研讀非歐幾何著作的情況下就武斷地說：“我認(rèn)為，任何時候也不會存在與歐幾里得幾何本質(zhì)上不同的另外一種幾何?！蹦獱柛实脑挻砹水?dāng)時學(xué)術(shù)界對非歐幾何的普遍態(tài)度。
在創(chuàng)立和發(fā)展非歐幾何的艱難歷程上，羅巴切夫斯基始終沒能遇到他的公開支持者，就連非歐幾何的另一位發(fā)現(xiàn)者德國的高斯也不肯公開支持他的工作。
高斯是當(dāng)時數(shù)學(xué)界首屈一指的數(shù)學(xué)巨匠，負(fù)有“歐洲數(shù)學(xué)之王”的盛名，早在1792年，也就是羅巴切夫斯基誕生的那一年，他就已經(jīng)產(chǎn)生了非歐幾何思想萌芽，到了1817年已達(dá)成熟程度。他把這種新幾何最初稱之為“反歐幾何”，后稱“星空幾何”，最后稱“非歐幾何”。但是，高斯由于害怕新幾何會激起學(xué)術(shù)界的不滿和社會的反對，會由此影響他的尊嚴(yán)和榮譽(yù)，生前一直沒敢把自己的這一重大發(fā)現(xiàn)公之于世，只是謹(jǐn)慎地把部分成果寫在日記和與朋友的往來書信中。
當(dāng)高斯看到羅巴切夫斯基的德文非歐幾何著作《平行線理論的幾何研究》后，內(nèi)心是矛盾的，他一方面私下在朋友面前高度稱贊羅巴切夫斯基是“俄國最卓越的數(shù)學(xué)家之一”，并下決心學(xué)習(xí)俄語，以便直接閱讀羅巴切夫斯基的全部非歐幾何著作；另一方面，卻又不準(zhǔn)朋友向外界泄露他對非歐幾何的有關(guān)告白，也從不以任何形式對羅巴切夫斯基的非歐幾何研究工作加以公開評論；他積極推選羅巴切夫斯基為哥廷根皇家科學(xué)院通訊院士，可是，在評選會和他親筆寫給羅巴切夫斯基的推選通知書中，對羅巴切夫斯基在數(shù)學(xué)上的最卓越貢獻(xiàn)--創(chuàng)立非歐幾何卻避而不談。
高斯憑任在數(shù)學(xué)界的聲望和影響，完全有可能減少羅巴切夫斯基的壓力，促進(jìn)學(xué)術(shù)界對非歐幾何的公認(rèn)。然而，在頑固的保守勢力面前他卻喪失了斗爭的勇氣。高斯的沉默和軟弱表現(xiàn)，不僅嚴(yán)重限制了他在非歐幾何研究上所能達(dá)到的高度，而且客觀上也助長了保守勢力對羅巴切夫斯基的攻擊。
晚年的羅巴切夫斯基心情更加沉重，他不僅在學(xué)術(shù)上受到壓制，而且在工作上還受到限制。按照當(dāng)時俄國大學(xué)委員會的條例，教授任職的最高期限是30年，依照這個條例，1846年羅巴切夫斯基向人民教育部提出呈文，請求免去他在數(shù)學(xué)教研室的工作，并推薦讓位給他的學(xué)生波波夫。
人民教育部早就對不順從他們意志辦事的羅巴切夫斯基抱有成見，但又找不到合適的機(jī)會免去他在喀山大學(xué)的校長職務(wù)。羅巴切夫斯基辭去教授職務(wù)的申請正好被他們用以作為借口，不僅免去了他主持教研室的工作，而且還違背他本人的意愿，免去了他在喀山大學(xué)的所有職務(wù)。被迫離開終生熱愛的大學(xué)工作，使羅巴切夫斯基在精神上遭到嚴(yán)重打擊。他對人民教育部的這項(xiàng)無理決定，表示了極大的憤慨。
家庭的不幸格外增加了他的苦惱。他最喜歡的、很有才華的大兒子因患肺結(jié)核醫(yī)治無效死去，這使他十分傷感。他的身體也變得越來越多病，眼睛逐漸失明，最后終于什么也看不見了。
1856年2月12日，偉大的學(xué)者羅巴切夫斯基在苦悶和抑郁中走完了他生命的最后一段路程?？ι酱髮W(xué)師生為他舉行了隆重的追悼會。在追悼會上，他的許多同事和學(xué)生高度贊揚(yáng)他在建設(shè)喀山大學(xué)、提高民族教育水平和培養(yǎng)數(shù)學(xué)人材等方面的卓越功績，可是誰也不提他的非歐幾何研究工作，因?yàn)榇藭r，人們還普遍認(rèn)為非歐幾何純屬“無稽之談”。
羅巴切夫斯基為非歐幾何的生存和發(fā)展奮斗了三十多年，他從來沒有動搖過對新幾何遠(yuǎn)大前途的堅定信念。為了擴(kuò)大非歐幾何的影響，爭取早日取得學(xué)術(shù)界的承認(rèn)，除了用俄文外，他還用法文、德文發(fā)行了自己的著作，同時還精心設(shè)計了檢驗(yàn)大尺度空間幾何特性的天文觀測方案。
不僅如此，他還發(fā)展了非歐幾何的解析和微分部分，使之成為一個完整的、有系統(tǒng)的理論體系。在身患重病，臥床不起的困境下，他也沒停止對非歐幾何的研究。他的最后一部巨著《論幾何學(xué)》，就是在他雙目失明，臨去世的前一年，口授他的學(xué)生完成的。
歷史是最公允的，因?yàn)樗K將會對各種思想、觀點(diǎn)和見解作出正確的評價。1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐氏空間的曲面上實(shí)現(xiàn)。這就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應(yīng)的歐氏幾何命題，如果歐氏幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。
直到這時，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學(xué)術(shù)界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨(dú)創(chuàng)性研究也由此得到學(xué)術(shù)界的高度評價和一致贊美，這時的羅巴切夫斯基則被人們贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。
參考資料：
Jones矢量、Stokes參量、Poincare球、Bloch球：https://www.cnblogs.com/immcrr/p/11861698.html
