十、OpenGL中的向量、矩陣、矩陣堆棧

1. 向量

1.1 向量相關概念
  • 向量：在 3D 笛卡爾坐標系中，一個由 x、y、z組成的頂點就是一個向量
  • 單位向量：長度為 1 的向量
  • 標準化向量：將長度不為 1 的向量縮放為 1 的過程。
    (x/|xyz|, y/|xyz|, z/|xyz|)
    使?一個非零向量除以它的模(向量的?度), 就可以得到?向相同的單位向量;
1.2 OpenGL 如何定義向量
  • math3d庫，有2個數據類型，能夠表示一個三維或者四維向量。
    typedef float M3DVector3f[3]; // 表示一個三維向量(x,y,z)
    typedef float M3DVector4f[4]; // 表示一個四維向量(x,y,z,w).
  • 在典型情況下，w為縮放因子，坐標設為1.0。x,y,z值通過除以w，來進?行縮放。而除以1.0則本質上不改變x,y,z值。
1.3 向量運算
  • 點乘
    兩個單位向量點乘會得到一個標量，是一個[-1,1]范圍的值，這個標量表示的是兩個向量的夾角（也就是cos余弦值）。 
// 獲取兩個向量的夾角
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
// 獲取兩個向量的夾角的弧度
float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const
M3DVector3f v);
  • 叉乘
    2個向量（不必為單位向量）之間叉乘就可以得到另外?個新的向量，它會與原來2個向量定義的平面垂直（也叫法線）。向量叉乘不滿足交換律。 
// 獲取兩個向量的叉乘結果（法線）
void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f  u ,const
    M3DVector3f v);

2. 矩陣（Matrix）

2.1 矩陣的定義方式
typedef float M3DMatrix33f[9];   // 三維矩陣的聲明
typedef float M3DMatrix44f[16];  // 四維矩陣的聲明
  • 單元矩陣：一個矩陣叉乘單元矩陣后，結果還是原來的矩陣，不會發(fā)生改變。
// 初始化一個單元矩陣
void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);

  • 矩陣可以只有一行或者一列。這種矩陣也可以叫做向量。

  • OpenGL的約定?,更多傾向使?一維數組; 這樣做的原因是: OpenGL 使用的是 Column-Major(以列為主)矩陣排序的約定（在數學中叫做轉置矩陣）。
    A0　　A1　　A2　　A3 　　　　
    A4　　A5　　A6　　A7 　　 　　
    A8　　A9　　A10　A11 　　 　
    A12 　A13 　A14 　 A15 　　
    ??從左至右、從上到下的讀取方式為行優(yōu)先矩陣排序
    A0　　A4 　 A8 　 A12
    A1　　A5 　 A9 　 A13
    A2 　 A6 　 A10 　 A14
    A3 　 A7　 A11 　 A15
    ??從上到下、從左至右的讀取方式為列優(yōu)先矩陣排序

  • 列矩陣的最后?行都為0，只有最后?個元素為1。
    xx　　xx 　 xx 　 xx
    xx　　xx 　 xx 　 xx
    xx　　xx 　 xx 　 xx
    0 　　0　　 0 　　1

2.2 為什么使用矩陣？

一個點（x,y,z）在坐標系中旋轉后，我們想得到新的坐標，就需要使用到矩陣。因為新坐標的 x 值，不僅與舊坐標的x值及旋轉參數有關系，甚至還和 y 值及 z 值有關系。一個物體的所有頂點都乘以矩陣，就能讓整個物體變換到空間中給定的位置和方向。

2.3 使用矩陣的步驟

在坐標系文章中，曾介紹過坐標系變換的步驟如下圖所示：

坐標系變換的步驟.png

從邏輯上，在坐標系的變換過程中，依次使用了模型矩陣、視圖矩陣、投影矩陣。不過在OpenGL計算變換后的頂點向量時，其計算順序是相反的。 計算公式如下所示：

變換頂點向量 = M_pro * M_view * M_model * V_local
變換頂點向量 = 投影矩陣 ? 視圖變換矩陣 ? 模型矩陣 ? 頂點

2.3.1. 視圖變換：設置觀察者的位置，以確定觀察者坐標系。任何模型變換之前，都要先進行視圖變換。因為一旦觀察者坐標系改變后，所以的物體變換都要基于新的坐標系進行。
默認情況下，透視投影中，觀察者處于原點（0，0，0），并沿著Z軸負方向看過去（看向顯示器內部）。

2.3.2. 模型變換：物體進行平移、旋轉、縮放

// 平移
void m3dTranslationMatrix44(M3DMatrix44f m, float x, float y, float z);
// 旋轉
m3dRotationMatrix44(m3dDegToRad(45.0), float x, float y, float z);
// 縮放 （x/y/z參數傳值-1時，可以實現物體圍繞某一個軸的翻轉）
void m3dScaleMatrix44(M3DMatrix44f m, float xScale, float yScale, float zScale);
// 綜合變換， a 為先變換的矩陣、b 為后變換的矩陣
void m3dMatrixMultiply44(M3DMatrix44f product, const M3DMatrix44f a, const M3DMatrix44f b);

注：由于矩陣叉乘不符合交換律，矩陣交換后，矩陣相乘的結果不一樣。所以物體有多種變換時，變換順序不可交換。
例如“先平移后旋轉”與“先旋轉后平移”的效果是不一致的。如下圖所示：


“先平移后旋轉”與“先旋轉后平移”的效果不一致.png

先平移再旋轉.gif
先旋轉再平移.gif

2.3.3. 投影變換：設置投影方式

// 平截頭體設置透視投影
viewFrustum.SetPerspective(35.0f, float(nWidth)/float(nHeight), 1.0f, 100.0f);
// 平截頭體設置正投影
void SetOrthographic(GLfloat xMin, GLfloat xMax, GLfloat yMin, GLfloat yMax, GLfloat zMin, GLfloat zMax)

3. 矩陣堆棧（GLMatrixStack）

  • 使用矩陣堆棧，在一個視圖變換前，將其壓棧，變換后出棧。以達到不影響其他視圖的目的。
  • 矩陣堆棧的深度為64，默認棧頂有一個單元矩陣。
  • API 如下：
///---- 矩陣加載、相乘、獲取

//在堆棧頂部載?一個單元矩陣
void GLMatrixStack::LoadIdentity(void);
//在堆棧頂部載?任何矩陣 //參數:4*4矩陣
 void GLMatrixStack::LoadMatrix(const M3DMatrix44f m);
//矩陣乘以矩陣堆棧頂部矩陣，相乘結果存儲到堆棧的頂部
void GLMatrixStack::MultMatrix(const M3DMatrix44f);
//獲取矩陣堆棧頂部的值
void GLMatrixStack::GetMatrix(void);
void GLMatrixStack::GetMatrix(M3DMatrix44f mMatrix);

///---- 矩陣壓棧、出棧

//將當前矩陣壓?入堆棧(棧頂矩陣copy ?份到棧頂) 
void GLMatrixStack::PushMatrix(void);
//將 M3DMatrix44f 矩陣對象壓入當前矩陣堆棧
void GLMatrixStack::PushMatrix(const M3DMatrix44f mMatrix);
//將GLFame 對象壓?入矩陣對象
void GLMatrixStack::PushMatrix(GLFame &frame);
//出棧(出棧指的是移除頂部的矩陣對象) 
void GLMatrixStack::PopMatrix(void);

//將堆棧的頂部壓?GLFrame角色幀
void GLMatrixStack::LoadMatrix(GLFrame &frame);
//GLFrame乘以矩陣堆棧頂部的矩陣。相乘結果存儲在堆棧的頂部 
void GLMatrixStack::MultMatrix(GLFrame &frame);
//將當前的GLFrame壓棧
void GLMatrixStack::PushMatrix(GLFrame &frame);

///---- 矩陣仿射變換（一般使用模型變換，很少直接通過堆棧進行放射變換）

// 旋轉 angle是度數，?不是弧度
void MatrixStack::Rotate(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z);
// 平移
void MatrixStack::Translate(GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z);
// 縮放
void MatrixStack::Scale(GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z);
矩陣入棧、相乘、出棧.png

3.1 GLFrame 角色幀類

  • 可以表示物體或觀察者所處的位置，主要有三個參數
    vOrigin：當前所處的位置，默認是（0，0，0），處于原點
    vForward：即將要去的位置，默認是（0，0，-1），朝向-z軸方向
    vUp：朝向哪，默認是（0，1，0），朝向+y軸方向
  • 通過 "旋轉坐標系/平移" 來改變觀察者/物體的位置
///---- 移動位置
// Move Forward (along Z axis)
inline void MoveForward(float fDelta);
// Move along Y axis
inline void MoveUp(float fDelta)
// Move along X axis
inline void MoveRight(float fDelta)

///---- 旋轉
// Rotate in world coordinates...
void RotateWorld(float fAngle, float x, float y, float z)
// Rotate around a local axis
void RotateLocal(float fAngle, float x, float y, float z)
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