Area of a Surface of Revolution 旋轉(zhuǎn)曲面的面積
先看一下簡(jiǎn)單物體的面積：
circular cylinder圓柱的側(cè)面表面積：
可以直觀得到：
而對(duì)應(yīng)的circular cone圓錐：
我們可以得到對(duì)應(yīng)的角弧度為：
最后，可以得到側(cè)面積為：
而這樣的圖像：
我們可以知道是 大圓錐 - 小圓錐：
由相似可得：
最后化簡(jiǎn)得：
【圓錐可以理解為： 上面半徑為 0 的 組合體】
我們?cè)O(shè) r = (r1 + r2) / 2， 可以得：
我們對(duì)比 圓柱體， 組合圓錐體
我們可以理解 對(duì)應(yīng)平均半徑 的一個(gè) 帶 的面積
這個(gè)時(shí)候，如果我們切分成很多細(xì)小的部分：
對(duì)應(yīng)的面積可以表示為：
上一節(jié)， 我們證明過(guò)，對(duì)應(yīng)的弧線的長(zhǎng)，有：
這個(gè)時(shí)候，面積可以表示為：
所以，對(duì)應(yīng)的側(cè)面積和為：
當(dāng) n -> ∞的是i好， 由黎曼求和 可以得到
所以
對(duì)應(yīng)的面積為：
萊布尼茲積分寫(xiě)法為：
或者，我們按y去積分，可以寫(xiě)為：
如果我們表示 ds 為：
我們分別可以表示為：
或者
例子1
我們知道是一個(gè)圓的一段弧長(zhǎng)，圍繞x軸旋轉(zhuǎn)360度得到的表面積。
根據(jù)上面的公式
先對(duì)x求導(dǎo)，得到：
帶入式子，得：
例子2
這個(gè)拋物線，這段弧長(zhǎng)，圍繞y軸旋轉(zhuǎn)得到的表面積。
先對(duì)x求導(dǎo)，可以得到：
帶入公式，可以得到：
我們?cè)O(shè)
可以得到：
原式可以變成（對(duì)應(yīng)的范圍變化就不標(biāo)注了）：
