一、行列式的基本概念

二階行列式的計算規(guī)則
三階行列式的計算-主對角線-副對角線

二、全排列與逆序數(shù)

123，全排列的可能是 6 種，
n個數(shù)，第一個位置 n種可能， 第二個n-2種， 所以n個數(shù)全排列為n！

21稱為逆序， 逆序數(shù)字的對數(shù)稱為逆序數(shù)。
序列中，對換兩個數(shù)字的位置，逆序數(shù)的奇偶性會發(fā)生改變。

求32514逆序數(shù) = 1 1 + 1 + 1 1 = 5

三、n階行列式

選擇1- n不同行，不同列的元素求和
(-1)^ta_1x1a_1x2...a_nxn
其中t = x1x2x3x4...xn的逆序數(shù)

選擇1-n不同列不同列的元素求和
(-1)^ta_x11a_x22...a_nxn
其中t = x1x2x3x4...xn的逆序數(shù)
逆序數(shù)決定其符號不用再考慮加減， 全是求和了。

三（1）對角矩陣的計算

• 主對角線情形

  
  
  主對角線
  
  

  第一行選擇x1, 第二行x2， 都不選擇為0的，因為一個為零整個單項就為0， 單項不為零的項，只有一個就是 x1x2....xn 所對用的符號是
  t(12345...n) = 0 ，符號位正。

• 副對角線

  
  
  副對角線

符號位t(n...321)
我們知道t(321) = 2 + 1，那么 t(n....21)= n-1+n-2....3+2+1 = n(n-1)/2

習題：

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同理， 選a11之后 就只能選 a22， 所以 答案是 a11a22...ann 符號和之前一樣是自然的序列，為零 為正。

四、行列式的性質

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轉置：T表示， 原來的行按照順序變?yōu)榱?/p>

性質一： 行列式和它的轉置行列式值相等

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轉了后我們觀察， 267這一項， 符號t(312) 與之前t(231)都是2， 符號未變， 其他也一樣， 可以簡單觀察出這個規(guī)律。

性質二： 互換行列式的兩行(列)，行列式會變號
也可以從某一項分析， 行的改變， 會導致計算逆序數(shù)的數(shù)字對交換位置， 交換后奇偶改變， 符號改變。
推論：行列式中兩行相同行列式為0， 因為交換后D=-D， 交換后變?yōu)樨摂?shù)， 并且原來的值也不變。

性質三：k乘行列式， 等于k乘行列式的某一行或者某一列的每個數(shù)字。
性質四：行列式兩行（列）成比例， 行列式值為0。
性質五：行列式 a + b 的展開，每行都可以拆分，拆分為兩個。

行列式的計算

行列式的拆分

等于對角線行列式的乘積

對調的解法不是很明白

五、行列式的按行展開

余子式， Mij 表示去掉行列式中i行j列剩下的這個行列式，就是行列式。
代數(shù)余子式， Aij = （-1）^i+jM_ij
行列式的值就是 = a11A11+a12A12+.....a1n*A1n

范德蒙德行列式

范德蒙德行列式

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特點，第一行全是1， 第二行是數(shù)字本身，各不相同， 然后最后是數(shù)字的n-1次方。

行列式的值就是自己本行的數(shù)字乘以本行的余子式。
其中系數(shù)就是余子式所在行的數(shù)字， 如果另一行的數(shù)字乘以當前行余子式，行列式的值為0， 因為兩行數(shù)字相同了。

余子式與代數(shù)余子式的理解

六、 克拉默法則

克拉默法則公式

習題安排
一、計算題

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范德蒙德行列式的證明：

范德蒙德證明實踐

克拉默法則考察

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不熟悉知識掌握：

• 范德蒙德行列式的證明
• 克拉默法則未知數(shù)情況分析