1、克拉美羅界的簡單介紹
2、定位克拉美羅界公式
介紹一下克拉美羅界
來源：https://blog.csdn.net/wangh0802/article/details/75578101
各種研究領(lǐng)域（包括無線定位方向）都會碰到參數(shù)估計(jì)的問題，這時(shí)常常會看到克拉美羅界 (Cramér–Rao bound) 這個(gè)東西。很多隨機(jī)信號的書都會介紹什么是克拉美羅界，但初學(xué)者學(xué)起來往往很吃力，本文從直觀上簡單討論一下克拉美羅界的各個(gè)方面。
什么是參數(shù)估計(jì)問題
假設(shè)一種最簡單的情況：一個(gè)物理量為，我們使用某種方式去觀測它，觀測值為
，由于存在噪聲，此時(shí)
，
為高斯噪聲，服從
。這種情況下，我們自然會直接使用觀測值
去估計(jì)
，這時(shí)就會存在估計(jì)的誤差，直觀地理解，噪聲的方差
越大，估計(jì)就可能越不準(zhǔn)確。
為什么要討論克拉美羅界
討論克拉美羅界就是為了使用這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來衡量無偏估計(jì)量的性能。
采用上面的方式，使用去估計(jì)
，這個(gè)估計(jì)值會在真實(shí)值附近波動（看作隨機(jī)變量）。我們需要使用一些標(biāo)準(zhǔn)來衡量這種估計(jì)的好壞，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是估計(jì)值的平均，這里的這個(gè)估計(jì)量是無偏估計(jì)量。另一標(biāo)準(zhǔn)是這個(gè)估計(jì)值波動的劇烈程度，也就是方差。上面這個(gè)問題中，克拉美羅界就等于這個(gè)方差。
可是為什么不直接討論方差而要去計(jì)算克拉美羅界呢，因?yàn)榉讲钍轻槍δ骋环N特定的估計(jì)量（或者理解為估計(jì)方式）而言的，在上面的例子中，方差是估計(jì)量的方差
。對于稍微復(fù)雜一點(diǎn)點(diǎn)的問題，對
的可以有各種不同的估計(jì)量，它們分別的方差是不同的。顯然，對于無偏估計(jì)量而言，方差越小的估計(jì)方式性能越好，但是這個(gè)方差有一個(gè)下界，就是我們的克拉美羅界。
直觀地理解克拉美羅界
克拉美羅界本身不關(guān)心具體的估計(jì)方式，只是去反映：利用已有信息所能估計(jì)參數(shù)的最好效果。
還是上面那個(gè)參數(shù)估計(jì)問題，當(dāng)我們觀察到的時(shí)候，我們可以知道真實(shí)值
的概率密度分布是以
為均值，
為方差的正態(tài)分布，即：
上圖給出了兩個(gè)似然函數(shù)的例子，直觀地看，似然函數(shù)的“尖銳”性決定了我們估計(jì)位置參數(shù)的精度。這個(gè)“尖銳”性可以用對數(shù)似然函數(shù)峰值處的負(fù)的二階導(dǎo)數(shù)來度量，即對數(shù)似然函數(shù)的曲率（對數(shù)似然函數(shù)就是在似然函數(shù)的基礎(chǔ)山加一個(gè)自然對數(shù)，這樣有利于計(jì)算）。計(jì)算過程我就不寫了，有興趣的可以自己算算，算完之后結(jié)果為
，是噪聲的方差的倒數(shù)，也就是噪聲越小，對數(shù)似然函數(shù)越尖銳。
所以，可以這樣理解，似然函數(shù)的“尖銳”程度，或者，符合似然函數(shù)分布的這組數(shù)據(jù)的方差，就是克拉美羅界。
定位性能的克拉美羅界公式
隨手搜到一個(gè)數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)過程，總體看來是一些挺困難的公式
https://blog.csdn.net/Reborn_Lee/article/details/84255533#2%20Mean%20and%20Variance%20Analysis
后在文章中找到推導(dǎo)之后的公式，能用。
Woo Cheol Chung and Dong Ha, "An accurate ultra wideband (UWB) ranging for precision asset location,"IEEE
Conference on Ultra Wideband Systems and Technologies, 2003,Reston, VA, USA, 2003, pp. 389-393, doi: 10.1109/UWBST.2003.1267870.
D. Cramer-Rao Lower Bound
The Cramer-Rao lower bound (CRLB) indicates the low?bound on the unbiased delay estimate as shown in (1) [9].
是有效信號帶寬，定義如下：
Figure 3 shows CRLBs on the ranging error in terms of SNR for the four different bandwidths, 0.5 GHz, 0.75 GHz, 1GHz, and 3.3GHz. The figure indicates that theoretical low bounds are less than 5 cm for the entire range of the SNR experimented under the bandwidth of 3.3 GHz.
其中，
SNR，為信號功率/噪聲功率。
SNR的單位一般是dB，其值為十倍對數(shù)信號與噪聲功率比：
公式中，使用的是右邊的值，但是圖中又是按照dB顯示，需要中間轉(zhuǎn)換一下。
