量子光學(xué)入門3-電磁場(chǎng)物理量化為算符

一次量子化手續(xù)

1 獲得獲得經(jīng)典哈密頓正則運(yùn)動(dòng)方程H（q,p）

2 將q,p視為算符，賦以對(duì)易關(guān)系

[q_j,p_k]=ih\delta _{jk}, [q_j,q_k]=0, [p_j,p_k]=0

3 給算符找適當(dāng)作用對(duì)象描寫狀態(tài)

一、電磁場(chǎng)駐波（傅里葉級(jí)數(shù)展開體現(xiàn)量子化）

（1）得出電磁場(chǎng)總能量（電場(chǎng)+磁場(chǎng)）or 哈密頓量

H=\sum\nolimits_j (\frac{1}{2}m_j \omega _j^2q_j^2+\frac{p_j^2}{2m_j})\equiv \sum\nolimits_j H_j

（2）視為算符，賦予對(duì)易關(guān)系（量子化）

[q_j,p_k]=ih\delta _{jk}, [q_j,q_k]=0, [p_j,p_k]=0

（3）引入算符

a_j(t)=\sqrt{\frac{1}{2m_jh\omega _j}}[m_j\omega _jq_j(t)+ip_j(t)]

a_j^+(t)=\sqrt{\frac{1}{2m_jh\omega _j}}[m_j\omega _jq_j(t)-ip_j(t)]

（4）哈密頓量及電磁場(chǎng)模式分量，化為

H_j=\hbar\omega _j(a_j^+a_j+\frac{1}{2})? (量子化的電磁場(chǎng)看做一維諧振子的集合)

E_j(z,t)=E_j^s\sin (k_jz)[a_je^{-i\omega _jt}+a_j^+e^{i\omega _jt}]

B_j(z,t)=-iB_j^s\cos (k_jz)[a_je^{-i\omega _jt}-a_j^+e^{i\omega _jt}]

二、電磁場(chǎng)行波展開（三維的傅里葉級(jí)數(shù)展開）

（1）哈密頓量及電磁場(chǎng)模式分量

H_j=\hbar\omega _j(a_j^+a_j+\frac{1}{2})?（任意電磁場(chǎng)中都具有這種形式，只不過不同電磁場(chǎng)的a_j是不同的）

\textbf{E}_j(\textbf{r},t)=i\textbf{e}_jE_j^r \{a_je^{-i(\omega _k-\textbf{k}_j\cdot \textbf{r})}-a_j^+e^{i(\omega _k-\textbf{k}_j\cdot \textbf{r})}\}

\textbf{B}_j(\textbf{r},t)=i(\frac{\textbf{k}_j}{k_j}\times \textbf{e}_j)B_j^r \{a_je^{-i(\omega _k-\textbf{k}_j\cdot \textbf{r})}-a_j^+e^{i(\omega _k-\textbf{k}_j\cdot \textbf{r})}\}

（2）總電場(chǎng)總能量為

H=\sum\nolimits_jH_j

\textbf{E}=\sum\nolimits_{j}\textbf{E}_j

\textbf{B}=\sum\nolimits_{j}\textbf{B}_j

（3）電磁場(chǎng)的每個(gè)模式就類似一個(gè)諧振子，每個(gè)諧振子有其對(duì)應(yīng)的角頻率\omega _j和對(duì)應(yīng)的量子數(shù)a_j^+a_j，這個(gè)量子數(shù)實(shí)際上就是傅里葉展開的系數(shù)，可以用來描述每個(gè)頻率的貢獻(xiàn)多少。系數(shù)越大，表示這個(gè)頻率的貢獻(xiàn)越多，也可以說是這個(gè)頻率的光子數(shù)越多。（理解為這個(gè)頻率的光子的能級(jí)比較高有問題嗎？）

（4）按我的理解，將電磁場(chǎng)量子化的意思是：將電磁場(chǎng)的物理量E，B，H變成算符的形式。它的物理含義是將電磁場(chǎng)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開后，把每個(gè)分量視為一個(gè)獨(dú)立的諧振子（光子），展開系數(shù)表示分量的貢獻(xiàn)——諧振子能級(jí)（光子數(shù)目）。

三、推廣討論

對(duì)于一般電磁場(chǎng)，此時(shí)量子化就需要用傅里葉變換（傅里葉積分形式）。分量同樣可表示對(duì)應(yīng)頻率的光子（此時(shí)頻率連續(xù)變化，上面的例子是離散變化），展開系數(shù)表示該頻率下的光子數(shù)目。在這種情況下用電磁場(chǎng)強(qiáng)度E，B描述電磁場(chǎng)和用光子頻率，數(shù)目描述電磁場(chǎng)是從兩個(gè)不同角度去描述的，但其實(shí)是等價(jià)的。但是這其中有個(gè)重要的概念就是電磁場(chǎng)的相位問題，這個(gè)相位其實(shí)包含在展開系數(shù)?a_j \ a_j^+中，

也就是說可以通過a_j \ a_j^+去討論其電磁場(chǎng)的振幅和相位。

（其實(shí)從推導(dǎo)的過程中，展開系數(shù)原來是包含在q_j,p_k中，后來經(jīng)過變換把展開系數(shù)變成a_j \ a_j^+，看似從兩個(gè)獨(dú)立變量變成只有一個(gè)，但其實(shí)可以把a_j \ a_j^+看成兩個(gè)獨(dú)立變量，類似于\cos (\omega t) 和 \sin (\omega t)作為兩個(gè)獨(dú)立的解，對(duì)應(yīng)于 e^{i\omega t} 和e^{-i\omega t} 為兩個(gè)獨(dú)立解）


四、遺留問題

p58?

每個(gè)模的哈密頓量不隨時(shí)間變化？

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