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聲明：題目是我從同學(xué)分享那獲取的，有可能出現(xiàn)抄錯(cuò)題目的情況。試題解析是本人自己做的，再根據(jù)教材理論來完成本文編寫，符號太多編寫工作量大，如發(fā)現(xiàn)答案有錯(cuò)誤或者不夠準(zhǔn)確請及時(shí)給我留言，如需轉(zhuǎn)載請表明出處。感謝所有提出意見和建議，以及幫助過我的朋友。如果覺得還行，歡迎點(diǎn)贊轉(zhuǎn)發(fā)，謝謝！

一、邏輯化語句（論域?yàn)橐磺惺挛?，?分）

1、（2分）只有天不下雨，我才開車出行

解析： P(x) ： x天下雨； Q(x)：x天，我開車出行。

$\forall x Q(x) \rightarrow ┐P(x)$

2、（3分）貓必抓鼠（要求寫出兩種形式，一種使用全稱量詞，一種使用存在量詞）

解析： P(x) ：x是動(dòng)物；Q(x)：x是貓；R(x) x抓老鼠。

$\forall x P(x) \land Q(x) \rightarrow R(x)$ ;所有的貓都抓老鼠

$┐\exists x (P(x) \land Q(x) \land ┐R(x))$ ；不存在不抓老鼠的貓。

二、填空題(每空2分，共8分)

1、函數(shù) $f(t) = (1-2t)^{-7}$ 中 $t^5$ 的系數(shù)是___14784___

解析：考點(diǎn)是牛頓二項(xiàng)式擴(kuò)展公式 $(1-x)^{-n} = \sum_{k=1} C_{(n+k-1,k)} x^k$

$f(t) = (1-2t)^{-7} = \sum_{k=1} C_{(6+k,k)} (2t)^k ， a_{k} = C_{(6+k,k)}2^k$ , 當(dāng)k = 5時(shí)， $a_{5} = C_{(5+6,5)}*2^5 = \frac {11*10*9*8*7}{5*4*3*2*1} * 32 = 462 * 32 = 14784 .$

2、設(shè)T是一個(gè)有k個(gè)頂點(diǎn)的樹，則T的著色數(shù)是__2___

解析：樹的著色數(shù)為2。這個(gè)可以證明，證明取樹G的任意一點(diǎn)P，對樹中所有結(jié)點(diǎn)按下面方式著色：如果結(jié)點(diǎn)與P的路徑長為偶數(shù)，則該結(jié)點(diǎn)（包括P點(diǎn)）著某種顏色C1，如果結(jié)點(diǎn)與P的路徑長為奇數(shù)，則該結(jié)點(diǎn)著另外一種顏色C2，如果此時(shí)有相鄰的兩點(diǎn)A,B著同一種顏色，不失一般性，設(shè)A,B著顏色C1，則P到A,B各有一條路徑長為偶數(shù)的路，該路與AB邊就構(gòu)成了回路，這與G是樹矛盾，故不可能有相鄰的兩點(diǎn)著同一種顏色，于是用C1,C2兩種顏色對樹G進(jìn)行了正常著色，故G的著色數(shù)為2。

3、一個(gè)飯店有3種甜點(diǎn)，而且無限多。小王選取四個(gè)甜點(diǎn)的方法有___15_____

解析：用S是有k種類型對象的多重集合，每種元素具有無限的重復(fù)數(shù)，那么S的r組合的個(gè)數(shù)為

,因此本題的答案為 $C_{(r+k-1,r)}$ 其中r=4，k=3 即 $C_{(6,4)} = C_{(6,2)}=\frac{6*5}{1*2} =15$

4、設(shè) $m=p_{1}^{t_{1}} p_{2}^{t_{2}} ...p_{k}^{t_{k}}$ 是m的唯一素?cái)?shù)分解，其中 $p_{1} p_{2} ...p_{k}$ 是不同的素?cái)?shù)。

公式圖

對于大于1的整數(shù)n， $\sum_{d/n}u(d) =$ _ $(-1)^{n-1}$ ______

解析：（僅供參考）因?yàn)閚>1;n的唯一素?cái)?shù)分解 $d=p_{1}^{t_{1}} p_{2}^{t_{2}} ...p_{n}^{t_{n}}$ ，因此 $u(d) = 0 ,u(d) = (-1)^n, u(d)=1.$ 其中 $u(d)=1$ 只有d=1, $p_{n}$ 是素?cái)?shù)，即 $t_{1},t_{2},...,t_{n}$ 均為0, 因此答案為 $\sum_{d/n}u(d) = (-1)^n + 0 +1 = (-1)^{n-1}$ 。

三、計(jì)算題（要求寫出詳細(xì)運(yùn)算步驟，共15分）

1、（5分）求在［99，1000］范圍內(nèi)不能被5、6、8中任何一個(gè)數(shù)整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。

解析： 用容斥原理解決此問題。全集個(gè)數(shù)為N=902

令能被5整除的數(shù)的集合為A個(gè)數(shù)為|A|=1000/5-98/5 = 200-19 =181，

能被6整除的數(shù)集合為B個(gè)數(shù)為|B|=1000/6-98/6 = 166-16 =150 ，

能被8整除的數(shù)集合為C個(gè)數(shù)為|C|=1000/8-98/8 = 125-12=113。

能同時(shí)被5和6最小公倍數(shù)30整除的數(shù)的個(gè)數(shù)位|A∩B|=1000/30-98/30=33-3 = 30

能同時(shí)被6和8最小公倍數(shù)24整除的數(shù)的個(gè)數(shù)位|B∩C|=1000/24-98/24=41-4 = 37

能同時(shí)被5和8最小公倍數(shù)40整除的數(shù)的個(gè)數(shù)位|A∩C|=1000/40-98/40=25-2 = 23

能同時(shí)被5，6和8的最小公倍數(shù)120整除的個(gè)數(shù)位A∩B∩C| = 1000/120= 8

因此不能被5，6，8任何一個(gè)數(shù)整除的數(shù)集個(gè)數(shù)為 $|\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C} | = N - |A| - |B|- |C| + |A\cap B |+ |B\cap C | + |A\cap C | -|A \cap B \cap C|$

= 902-181-150-113+30+37+23-8 =? 540，即有540個(gè)數(shù)不能被5，6，8中任意一個(gè)數(shù)整除。

2.(4 分)求出 $┐(P\leftrightarrow Q )\land (┐P\rightarrow R)$ 的主析取范式和主合取范式(要求最后結(jié)果分別用極小項(xiàng)和極大項(xiàng)以及相應(yīng)數(shù)字的簡潔形式表示)。

解析：這個(gè)題有兩種解法，一種是真值表，一種是直接運(yùn)算；

方法一：真值表

真值表

可得主析取范式 $= m_{3} \lor m_{4} \lor m_{5}$

主合取范式 $= M_{0} \land M_{1} \land M_{2} \land M_{6} \land M_{7}$

方法二：

$┐(P\leftrightarrow Q )\land (┐P\rightarrow R) =┐((Q\rightarrow P )\land (P\rightarrow Q ))\land (┐P\rightarrow R)$ （這一步容易出錯(cuò)）

$=┐(┐Q \lor P )\lor ┐(┐P\lor Q )\land (P\lor R) = (Q \land ┐P )\lor (P\land ┐ Q ) \land (P\lor R)$

$= ({(Q \land ┐P ) \land (R \lor ┐ R)})\lor ((P\land ┐ Q ) \land (R \lor ┐ R)) \land (P\lor R)$

$= (Q \land ┐P \land R ) \lor (Q \land ┐P \land ┐ R) \lor (P\land ┐ Q \land R ) \lor (P\land ┐ Q \land ┐ R) \land (P\lor R)$

$= (P \land Q \land ┐P \land R ) \lor (P \land Q \land ┐P \land ┐ R) \lor (P \land P \land ┐ Q \land R ) \lor (P \land P \land ┐ Q \land ┐ R) \lor (R \land Q \land ┐P \land R ) \lor (R \land Q \land ┐P \land ┐ R) \lor (R \land P \land ┐ Q \land R ) \lor (R \land P \land ┐ Q \land ┐ R)$

$= (P \land ┐ Q \land R ) \lor (P \land ┐ Q \land ┐ R) \lor (┐P \land Q \land R )$

得主析取范式為 $= m_{101} \lor m_{100} \lor m_{011} = m_{5} \lor m_{4} \lor m_{3} = m_{3} \lor m_{4} \lor m_{5}$

因此主合取范式為? $= M_{0} \land M_{1} \land M_{2} \land M_{6} \land M_{7}$

3（6分）有t個(gè)球排一排，t大于等于3。用紅、橙、黃、藍(lán)、綠5種顏色染色。每個(gè)球一種顏色，要求紅橙黃的球至少出現(xiàn)一次。有多少種方法？

解析：該問題可以轉(zhuǎn)換一下思考，即有紅、橙、黃、藍(lán)、綠5種球，每種顏色有無窮個(gè)，從中取t排列，且球數(shù)滿足紅橙黃的球至少出現(xiàn)一次。這樣該題就變成了排列型數(shù)列，即用指數(shù)型母函數(shù)的方法來解。如下所示：

$G(x) = (\frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+...)^3 (1+\frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+...)^2 = (e^x-1)^3 e^{2x} = (e^{3x}-3e^{2x} + 3e^{x} -1) e^{2x} = e^{5x}-3e^{4x} + 3e^{3x} - e^{2x}$ $= e^{5x}-3e^{4x} + 3e^{3x} - e^{2x} = \sum_{t} (5^t-3*4^t + 3*3^t -2^t )\frac{x^t}{t!}$

因此 $a_{t} = (5^t-3*4^t + 3*3^t -2^t )$ ,則 $(5^t-3*4^t + 3*3^t -2^t )$ 種方法根據(jù)t的不同取值結(jié)果不同。

四、解答題（8分）

設(shè)教室有8個(gè)座位排成一排。八位同學(xué)A1，A2，…，A8需要坐在這里上兩節(jié)課。設(shè)第一節(jié)課Ai坐在第i個(gè)座位上。

（1）若第二節(jié)課要求A1－A4與自己第一節(jié)課時(shí)位置不同，A5-A8與第一節(jié)課相同，有多少種坐法？

（2）第二節(jié)課要求只有四位同學(xué)與第一節(jié)課不同，但不指定是哪四位。有多少種坐法？

解析：該題考的是錯(cuò)排問題。

（1）A1－A4不在自己位置上，即這四位同學(xué)完全錯(cuò)排 $D_{4} =4?。?-\frac{1}{1！} +\frac{1}{2！}-\frac{1}{3！}+\frac{1}{4！}） = 9$ ，另外四位同學(xué)位置不變。關(guān)于錯(cuò)排可以用容斥原理來推,即 $i_{1}\neq 1，i_{2}\neq 2，i_{3}\neq 3，i_{4}\neq 4$ 都不在原來的秩序位置上。

$D_{4} =|\bar{A_{1}} \cap \bar{A_{2}} \cap \bar{A_{2}} \cap \bar{A_{4}} | = N-|A_{1} \cup A_{2} \cup A_{2} \cup A_{4}| =N-\sum_{i=1}^4 |A_{i}|+\sum_{i=1}^4\sum_{j>i} |A_{i}\cap A_{j}| ...{(-1)}^4|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}|$