德國(guó)數(shù)學(xué)家(G.F.)B.黎曼在19世紀(jì)中期所提出的幾何學(xué)理論。1854年，他在格丁根大學(xué)發(fā)表的就職演說，題目是《論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》，可以說是黎曼幾何學(xué)的發(fā)凡。

從數(shù)學(xué)上講，他發(fā)展了空間的概念，首先認(rèn)識(shí)到幾何學(xué)中所研究的對(duì)象是一種"多重廣延量"，其中的點(diǎn)可以用n個(gè)實(shí)數(shù)作為坐標(biāo)來描述，即現(xiàn)代的微分流形的原始形式，為用抽象空間描述自然現(xiàn)象打下了基礎(chǔ)。更進(jìn)一步，他認(rèn)為，通常所說的幾何學(xué)只是在當(dāng)時(shí)已知測(cè)量范圍之內(nèi)的幾何學(xué)，如果超出了這個(gè)范圍，或者是到更細(xì)層次的范圍里面，空間是否還是歐幾里得的則是一個(gè)需要驗(yàn)證的問題，需要靠物理學(xué)發(fā)展的結(jié)果來決定。他認(rèn)為這種空間(也就是流形)上的幾何學(xué)應(yīng)該是基于無限鄰近點(diǎn)之間的距離。在無限小的意義下，這種距離仍然滿足勾股定理。這樣，他就提出了黎曼度量的概念。這個(gè)思想發(fā)源于C.F.高斯。但是黎曼提出了更一般化的觀點(diǎn)。在歐幾里得幾何中，鄰近點(diǎn)的距離平方是這確定了歐幾里得幾何。但是在一般曲線坐標(biāo)下，則應(yīng)，這是相當(dāng)特殊的一組函數(shù)。如果是一般的函數(shù)，仍構(gòu)成正定對(duì)稱陣，那么出發(fā)，也可以定義一種幾何學(xué)，這便是黎曼幾何學(xué)。由于在每一點(diǎn)的周圍，都可以選取坐標(biāo)使得在這點(diǎn)成立，所以在非常小的區(qū)域里面勾股定理近似成立。但在大一點(diǎn)的范圍里一般就和歐幾里得幾何學(xué)有很大的區(qū)別了。

黎曼認(rèn)識(shí)到距離只是加到流形上的一個(gè)結(jié)構(gòu)，因此在同一流形上可以有眾多的黎曼度量，從而擺脫了經(jīng)典微分幾何曲面論中局限于誘導(dǎo)度量的束縛。這是一個(gè)杰出的貢獻(xiàn)。

其后，E.B.克里斯托費(fèi)爾、G.里奇等人又進(jìn)一步發(fā)展了黎曼幾何，特別是里奇發(fā)展了張量分析的方法，這在廣義相對(duì)論中起了基本的作用。1915年A.愛因斯坦創(chuàng)立了廣義相對(duì)論，使黎曼幾何在物理中發(fā)揮了重大的作用，對(duì)黎曼幾何的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響。廣義相對(duì)論真正地用到了黎曼幾何學(xué)，但其度量形式不是正定的，現(xiàn)稱為洛倫茨流形的幾何學(xué)(見廣義相對(duì)論)。

廣義相對(duì)論產(chǎn)生以來，黎曼幾何獲得了蓬勃的發(fā)展，特別是Eacute.嘉當(dāng)在20世紀(jì)20~30年代開創(chuàng)并發(fā)展了外微分形式與活動(dòng)標(biāo)架法，建立起李群與黎曼幾何之間的聯(lián)系，從而為黎曼幾何的發(fā)展奠定了重要基礎(chǔ)且開辟了廣闊的園地，影響極為深遠(yuǎn)，由此還發(fā)展了線性聯(lián)絡(luò)及纖維叢方面的研究。

半個(gè)多世紀(jì)以來，黎曼幾何的研究也已從局部發(fā)展到整體，產(chǎn)生了許多深刻的并在其他數(shù)學(xué)分支和現(xiàn)代物理學(xué)中有重要作用的結(jié)果。隨著60年代大范圍分析的發(fā)展，黎曼幾何和偏微分方程(特別是微分算子的理論)、多復(fù)變函數(shù)論、代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)等學(xué)科互相滲透、互相影響。在現(xiàn)代物理中的規(guī)范場(chǎng)理論(又稱楊-米爾斯理論)中，黎曼幾何也成了一個(gè)有力的工具。

徐慶

17數(shù)本3班