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回顧離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)DFS

${\boxed{x[n] = \sum_{k=<N>} a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n}\\ a_k = a_{k\pm mN} = \frac 1N \sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}}}$

回顧離散時(shí)間傅里葉變換DTFT

${\boxed{x[n] = \frac 1{2\pi} \int_{2\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw\\ X(e^{jw}) = \sum_{n=\infty}x[n]e^{-jwn}}}$

DFT

要在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)DTFT，有一個(gè)問(wèn)題就是所需的采樣點(diǎn)是無(wú)限的，而離散傅里葉變換DFT解決了這個(gè)問(wèn)題，所需的采樣點(diǎn)有限，利用有限的采樣值確定信號(hào)的頻譜分量。
DFT定義為：
$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi \frac kN n}, k=0, 1, ..., N-1$
時(shí)域的采樣個(gè)數(shù)與頻域的采樣個(gè)數(shù)相等，因此解決了另外一個(gè)問(wèn)題： $X(e^{jw})$ 定義在無(wú)限個(gè)頻率上，而 $X[k]$ 定義在有限個(gè)k上，易于處理。
把DFT中N個(gè)時(shí)域采樣點(diǎn)看成是處于DFT窗內(nèi)，位于窗外的采樣點(diǎn)不影響分析。
${\boxed{ x[n] = \frac 1N \sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi \frac kN n} \\ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi \frac kN n} }}$
當(dāng)對(duì)同一組時(shí)域采樣信號(hào)進(jìn)行DFT和DTFT時(shí)，兩者是相符的，DFT是DTFT的采樣形式。
DFS在N點(diǎn)上運(yùn)算，只要DFT也取相同點(diǎn)數(shù)，DFS和DFT就相同，區(qū)別只是解釋不同，DFT是非周期信號(hào)加窗后再進(jìn)行周期延拓所得。

FFT

DFT使得DTFT可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，而FFT可以得出與DFT一樣的結(jié)果且運(yùn)算量要小得多，因此DSP軟件包中一般都是應(yīng)用FFT。
最常用的FFT是基2時(shí)域抽取法，基本原理是將一個(gè)N點(diǎn)的計(jì)算分解為兩個(gè)N/2的計(jì)算，每個(gè)N/2的計(jì)算再分解為N/4的計(jì)算，以此類推。

先將時(shí)域的N個(gè)采樣點(diǎn)分為偶采樣序列 $y[n]=x[2n]$ 和奇采樣序列 $z[n]=x[2n+1]$
$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi \frac kN n}=\sum_{n=0}^{N/2-1}y[n]e^{-j2\pi \frac kN (2n)} + \sum_{n=0}^{N/2-1}z[n]e^{-j2\pi \frac kN (2n+1)}$
$X[k] = Y[k] + e^{-j\frac {2\pi k}{N}}Z[k]$
由于 $Y[k], Z[k]$ 是 $N/2$ 點(diǎn)的信號(hào)，因此周期為 $N/2$
$X[k] = X[k+N/2] = Y[k] + e^{-j\frac {2\pi k}{N}}Z[k], k = 0, 1, ..., N/2-1$