今天數(shù)學課，因為孩子們期中考取得了蠻好的成績。出錯比較多的問題有兩個，一個是棱長擴大3倍，體積擴大幾倍，另一個問題涉及到知道長和橫截面，求體積。課前，我琢磨著這兩個問題的出現(xiàn)，可能是因為小飛俠對體積表象的建構還有問題。所以，想將長度到面積再到體積，再用運動的觀點嘗試打通下。
一切都挺順利的，點動成線，線動成面，面動成體。因為我用幾何畫板做了動畫，非常直觀，孩子也能理解。于是乎，我很高興地看到，小飛俠們對面積的認識從“一行擺a個小方格，一共擺b行”跨越到“長（或者寬）平移，累積寬（或長）那么多”，也就是s=a×b或b×a。相應的體積就是從“一行擺a個方塊，一共擺b行，有這樣的c層”跨越到“底面（橫截面或者正切面）平移，累積高（長或者寬）那么多”，也就是V=（ab）c或（bc）a或（ac）b。然后，把不同單位的進率帶進去，把那道涉及橫截面的題一帶入。一講完，時間剛好指向10：00：00，真是完美。
正在收拾東西，課件還沒來得及關。YCX和HYK相繼上來找我了，YCX開口的第一句話就說：王老師，你講錯了，面是沒有厚度的，沒有厚度的東西再累積也不會有體積。這時，HYK接過去說，老師你剛剛用到方法跟我剛開始學體積的時候想的一樣，就是可以看成面不斷累積，然后…我看他想舉例子，又一時找不到合適的素材，講臺上有張白紙，我靈機一動提示他可以用白紙。HYK繼續(xù)說：比如白紙，累加了就可以看成長方體了。
YCX同學聽不下去了，說：白紙再薄，也有厚度，而面是沒有厚度（直指要害）。都質疑到這份上了，我這個數(shù)學老師坐不住了，必須得出手啦。我說，YCX同學，既然面是沒有厚度的，那么在這個高上就可以鋪無數(shù)個面，無數(shù)個面累積就有體積了。YCX同學接過去說，面的厚度是0，累積再多個也是0。
我無語…我知道，這個問題在直觀上是根本解釋不了的，也就是在不引入極限思想的前提下，我的解釋是無力的。繼而，我想到了第二次數(shù)學危機：
【來自百度百科】在微積分大范圍應用的同時，關于微積分基礎的問題也越來越嚴重。關鍵問題就是無窮小量究競是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論，造成了第二次數(shù)學危機。
無窮小量究竟是不是零？兩種答案都會導致矛盾。牛頓對它曾作過三種不同解釋：1669年說它是一種常量；1671年又說它是一個趨于零的變量；1676年它被“兩個正在消逝的量的最終比”所代替。但是，他始終無法解決上述矛盾。萊布尼茲曾試圖用和無窮小量成比例的有限量的差分來代替無窮小量，但是他也沒有找到從有限量過渡到無窮小量的橋梁。
英國大主教貝克萊于1734年寫文章，攻擊流數(shù)（導數(shù)）“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二階、三階流數(shù)的人，是不會因吞食了神學論點就嘔吐的?！彼f，用忽略高階無窮小而消除了原有的錯誤，“是依靠雙重的錯誤得到了雖然不科學卻是正確的結果”。貝克萊雖然也抓住了當時微積分、無窮小方法中一些不清楚不合邏輯的問題，不過他是出自對科學的厭惡和對宗教的維護，而不是出自對科學的追求和探索。
當時一些數(shù)學家和其他學者，也批判過微積分的一些問題，指出其缺乏必要的邏輯基礎。例如，羅爾曾說：“微積分是巧妙的謬論的匯集?！痹谀莻€勇于創(chuàng)造時代的初期，科學中邏輯上存在這樣那樣的問題，并不是個別現(xiàn)象。
18世紀的數(shù)學思想的確是不嚴密的、直觀的，強調(diào)形式的計算而不管基礎的可靠。其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，從而導數(shù)、微分、積分等概念不清楚；無窮大概念不清楚；發(fā)散級數(shù)求和的任意性等等；符號的不嚴格使用；不考慮連續(xù)性就進行微分，不考慮導數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級數(shù)等等。
也就是說，這個問題的解釋必須引入“無窮小”的概念，面的厚度是“無窮小”，“無窮小”累積無窮次之后就出來了體積。顯然，我無法向YCX同學解釋，只能跟她說，感興趣的話查查“微積分”吧。
YCX和HYK的一番對話，導致了一場課堂“危機”，YCX同學重歷的就是那個導致數(shù)學的第二次危機的問題，實在不得了。
其實，之前的面積以及體積（其實也包括長度）都是用單位方格或方塊去擺得到了，但近幾年，“點動成線、線動成面、面動成體”也被很多小學數(shù)學教師所采用。背后的原因，其實就是微積分，但是如何更好得解釋像上面YCX所提的問題，始終是個問題。但是，話又說回來，為什么一定要解釋清楚，讓孩子帶著問題不是挺好的，就讓孩子們隨時警醒著，我這個數(shù)學老師的“錯誤百出”吧！
一想著，小飛俠們已經(jīng)具備了很強的質疑能力，求異思維很強，我就激動不已。請來質疑我們的數(shù)學課堂吧，讓數(shù)學課堂的“危機”來得更猛烈些吧！
