在關(guān)系代數(shù)表達(dá)式中，一般都顯式指定一個(gè)計(jì)值順序，它隱含著執(zhí)行查詢的策略。在關(guān)系演算中，不描述查詢執(zhí)行策略，即關(guān)系演算表達(dá)查詢只說明要什么，不說明如何得到它。

關(guān)系演算跟數(shù)學(xué)中的微積分無關(guān)，而是根據(jù)符號(hào)邏輯中的一個(gè)分支—— 謂詞演算 命名的。在數(shù)據(jù)庫中，它有兩種形式：由 Codd（1972a）首先提出的元組關(guān)系演算，由 Lacroix 和 Pirotte（1977）提出的 域 關(guān)系演算。

在一階邏輯或謂詞演算中，謂詞是一個(gè)帶參數(shù)的真值函數(shù)。如果把參數(shù)值帶入，這個(gè)函數(shù)就會(huì)變成一個(gè)表達(dá)式，稱為 命題，它非真即假。例如，“John White 是一名員工” 和 “John White 的收入高于 Ann Beech” 這兩個(gè)語句都是命題，因此可以確定他們是真還是假。在第一個(gè)例子里，函數(shù)為 “是一名員工”，帶有一個(gè)參數(shù)（John White）；在第二個(gè)例子中，函數(shù)為 “收入高于”，它有兩個(gè)參數(shù)（John White 和 Ann Beech）。

如果某個(gè)謂詞包含一個(gè)變量，比如，“x 是一名員工”，那么就一定有一個(gè)與 x 相關(guān)聯(lián)的 論域（range）。當(dāng)我們把該論域中的某些值賦給 x 時(shí)，命題可能為真；而對(duì)于另一些值，命題則可能為假。例如，論域是所有人的集合，若將 John White 帶入 x，則命題 “John White 是一名員工” 為真。若將某個(gè)非員工的人名帶入，則命題為假。

假設(shè) P 是一個(gè)謂詞，那么所有使 P 為真得 x 的集合就可以表示成：

可以用邏輯連詞與，或，非連接謂詞形成符合謂詞。

1. 元組關(guān)系演算

在元組關(guān)系演算中，我們感興趣的是找出所有使謂詞為真得元組。這種演算是基于 元組變量 的。元組變量是 “定義于” 某個(gè)命名關(guān)系上的變量，即該變量的論域僅限于這個(gè)關(guān)系中的元組（“論域” 這個(gè)詞在這里不是指數(shù)學(xué)中的值域，而是定義域）。例如，指定元組變量 S 的范圍為關(guān)系 Staff，就寫成：

F 稱為 公式（在數(shù)理邏輯中稱為 合式公式 或 wff）。例如，要表示查詢 “列出收入高于 10000 英鎊的所有員工的 staffNo、fName、lName、position、sex、DOB、salary 及 branchNo”，可以寫成：

存在量詞與全稱量詞

可以在公式中使用兩個(gè)量詞來說明謂詞將作用在多少個(gè)實(shí)例上。

表示 “在 Branch 中存在一個(gè)元組，它在 branchNo 上的取值與 Staff 的元組 S 在 branchNo 上的取值相同而且對(duì)應(yīng)的分公司位于倫敦”。

表示 “Branch 中的所有分公司都不再巴黎”?？梢詫⒌隆つΩ赏茝V到存在量詞和全稱量詞。例如：

利用這些等價(jià)規(guī)則，可以把前面的公式寫成：

表示 “巴黎沒有分公司”。

受 “?” 或 “?” 約束的元組變量稱為 約束變量，反之，其他的元組變量則成為 自由變量。在關(guān)系演算表達(dá)式中，只有那些在豎線（|）左邊出現(xiàn)的變量是自由變量。

表達(dá)式和公式

其中，S1，S2，...，Sn，...，Sm 代表元組變量，每個(gè) ai 是元組變量 Si的論域關(guān)系的一個(gè)屬性，F(xiàn) 為公式。一個(gè)（合式）公式包括一個(gè)或多個(gè)原子公式，原子公式可以有下面幾種形式：

• R(Si)，其中 Si 是一個(gè)元組變量，R 是一個(gè)關(guān)系。
• Si.a1 θ Sj.a2，其中 Si 和 Sj 為元組變量，a1 是元組變量 Si 的論域關(guān)系的一個(gè)屬性，a2 是元組變量 Sj 的論域關(guān)系的一個(gè)屬性，θ 是比較運(yùn)算符中的一個(gè)。屬性 a1 和 a2 的值必須可進(jìn)行 θ 比較。
• Si.a1 θ c，其中 Si 是一個(gè)元組變量，a1 是元組變量 Si 論域關(guān)系的一個(gè)屬性，c 是屬性 a1 對(duì)應(yīng)域內(nèi)的一個(gè)常數(shù)，θ 是一個(gè)比較運(yùn)算符。

可以根據(jù)下面的規(guī)則，遞歸的構(gòu)造出公式：

• 原子公式是公式。
• 如果 F1 和 F2 是公式，則它們的合取 F1 ∧ F2 、析取 F1 ∨ F2，以及取非 ~ F1 也是公式。
• 如果 F 是帶自由變量 X 的公式，則(?X)(F) 和 (?X)(F) 也是公式。

表達(dá)式的安全性

另外還需要說明的是，演算表達(dá)式可以生成一個(gè)無窮集。例如：

當(dāng)結(jié)果中出現(xiàn)的所有值都在表達(dá)式的域內(nèi)時(shí)，這個(gè)表達(dá)式就是 安全 的。上面的表達(dá)式是不安全的，原因就在于它包括了 Staff 關(guān)系之外的元組（因此超出了表達(dá)式的域）。本文中所給出的其他元組演算表達(dá)式都是安全的。一些人用獨(dú)立的 RANGE 語句來定義變量的論域，以避免這個(gè)問題的出現(xiàn)。

2. 域關(guān)系演算

在元組關(guān)系演算中，使用了定義在關(guān)系上的元組變量。在域關(guān)系演算中，同樣也要用到變量，但它的論域不再是關(guān)系中的元組，而是屬性的域。域關(guān)系演算中的表達(dá)式具有下面的一般形式：

其中，d1，d2，...，dn，...，dm代表域變量，F(xiàn)(d1，d2，...，dm) 代表由某些原子公式組成的公式，原子公式可以有以下幾種形式：

• R(d1，d2，...，dn)，其中 R 是維數(shù)為 n 的關(guān)系，di 為域變量。
• di θ dj，其中 di 和 dj 代表域變量，θ 是比較運(yùn)算符中的一個(gè)。di 和 dj 對(duì)應(yīng)域的值必須可進(jìn)行 θ 比較。
• di θ c，其中 di 是域變量，c 是 di 對(duì)應(yīng)域中的一個(gè)常數(shù)，θ 是某個(gè)比較運(yùn)算符。

可以根據(jù)下面的規(guī)則，用原子公式遞歸的構(gòu)造出公式：

• 原子公式是公式。
• 如果 F1 和 F2 是公式，則它們的合取 F1 ∧ F2 、析取 F1 ∨ F2，以及取非 ~ F1 也是公式。
• 如果 F 是帶自由變量 X 的公式，則(?X)(F) 和 (?X)(F) 也是公式。

當(dāng)把域關(guān)系演算限制為安全表達(dá)式時(shí)，它就等價(jià)于安全的元組關(guān)系演算，而這種元組關(guān)系演算又等價(jià)于關(guān)系代數(shù)。這就意味著，每個(gè)關(guān)系代數(shù)表達(dá)式都存在一個(gè)與之等價(jià)的關(guān)系演算表達(dá)式，反過來，每個(gè)元組或者域關(guān)系演算表達(dá)式都存在一個(gè)與之等價(jià)的關(guān)系代數(shù)表達(dá)式。

3. 其他語言

雖然關(guān)系演算難于理解與使用，但其非過程性令人滿意，因此人們開始尋求更易于使用的非過程化技術(shù)。這導(dǎo)致了另外兩類關(guān)系語言的出現(xiàn)：面向轉(zhuǎn)換的語言和圖形化語言。

面向轉(zhuǎn)換的語言（transform-oriented language）：是一種非過程語言 ，它利用關(guān)系將輸入數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成期望的輸出。這種語言提供了一種易于使用的結(jié)構(gòu)，可以很容易的根據(jù)已知的內(nèi)容表述出所期望的結(jié)果。SQUARE（Boyce et al.，1975）、SEQUEL（Chamberin et al.，1976）以及 SEQUEL 的后繼產(chǎn)品 SQL 語言都是面向轉(zhuǎn)換的語言。

圖形化語言（graphical language）：給用戶提供了關(guān)系結(jié)構(gòu)的一種圖解說明。用戶在一個(gè)實(shí)例中填入想要的輸出，系統(tǒng)則以這種格式返回所需的數(shù)據(jù)。QBE（舉例查詢）就是圖形化語言（Zloof，1977）的一個(gè)范例。

還有一類稱為 第四代語言（4GL），它允許用戶使用一個(gè)受限的命令集來創(chuàng)建完整的用戶應(yīng)用，這個(gè)命令集對(duì)用戶十分友好，通常為菜單驅(qū)動(dòng)的環(huán)境。某些系統(tǒng)還能接受自然語言，比如受限的英語。這類語言常稱為 第五代語言（5GL），它們的發(fā)展仍處于起步階段。