數(shù)值積分

數(shù)值積分法是求定積分的近似值的數(shù)值方法。即用被積函數(shù)的有限個采樣值的離散或加權平均近似值代替定積分的值，是一種遞推的方法。

數(shù)值積分法也是計算機仿真模擬中常用的一種方法。在已知函數(shù)的微分方程時，求解函數(shù)下一時刻的值，我們主要有歐拉法、梯形法 和 龍格庫塔法。

歐拉積分

歐拉積分法是這些方法中精度最低的，但也是最容易編程實現(xiàn)的一種方法。歐拉法的表達式可以寫成下面的形式：
y\left( {t_{n + 1}} \right) = \int_{0}^ {t_{n + 1}} {y'\left( t \right)dt}
微分方程：
y'\left( t \right) = f\left( {t,y\left( t \right)} \right)
\Delta t = {t_{n + 1}} - {t_n}
則歐拉積分定義為：
{y_{n + 1}} = {y_n} + \Delta t \cdot f\left( {t_{n},y_n} \right)
假設\Delta t內y' \left({t}\right)的值保持不變，即y(t)斜率k為f\left( {t_n,y_n} \right)，因此歐拉積分又稱為一階近似，\Delta t又被稱為積分步長或采樣周期。

龍格-庫塔積分

本質上是采用函數(shù)值f的線性組合來近似代替f泰勒展開后的高階導數(shù)項。在工程中最常用的是四階的龍格-庫塔積分（Runge-Kutta methods），也就是RK4積分，計算方式如下：
同樣設有如下微分方程：
y'\left( t \right) = f\left( {t,y\left( t \right)} \right)
則RK4積分定義為：
{y_{n + 1}} = {y_n} + \frac{{\Delta t}}{6} \cdot \left( {{k_1} + 2{k_2} + 2{k_3} + {k_4}} \right)
其中，{k_1} = f\left( {{t_n},{y_n}} \right)，{k_2} = f\left( {{t_n} + \frac{{\Delta t}}{2},{y_n} + \frac{{\Delta t}}{2} \cdot k1} \right)，{k_3} = f\left( {{t_n} + \frac{{\Delta t}}{2},{y_n} + \frac{{\Delta t}}{2} \cdot k2} \right)，{k_4} = f\left( {{t_n} + {{\Delta t}},{y_n} + {{\Delta t}} \cdot k3} \right) ，y_n的取值有所變化請注意。

從公式中可以發(fā)現(xiàn)，此時的斜率已經(jīng)變?yōu)榱?strong>四個斜率的加權平均后的結果（這個6也可以理解為是歸一化因子，但本質上就是加權后做平均），其中k_2、k_3的權重較大。因此，采用龍格-庫塔方法得到的斜率（速度）較歐拉法更精確，數(shù)值積分結果較真實積分誤差更小。

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