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小結(jié)

向量的定義
向量方程的定義和求解
$\boldsymbol{Span\{v\}}$ 與 $\boldsymbol{Span\{u,v\}}$ 的幾何解釋

$\mathbb{R}^{2}$ 中的向量

僅含一列的矩陣稱為&列向量，或簡(jiǎn)稱向量。向量表示一組有序數(shù)。
包含兩個(gè)元素的向量表示為： $\boldsymbol{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \end{bmatrix}$ ，其中 $w_1$ 和 $w_2$ 是任意實(shí)數(shù)。
所有兩個(gè)元素的向量的集記為 $\mathbb{R}^{2}$ ， $\mathbb{R}$ 表示向量中的元素是實(shí)數(shù)，而指數(shù)2表示每個(gè)向量包含兩個(gè)元素。
$\mathbb{R}^{2}$ 中兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)其對(duì)應(yīng)元素相等。即 $\mathbb{R}^{2}$ 中的向量是實(shí)數(shù)的有序?qū)Α?br> 給定實(shí)數(shù) $c$ 和 $\mathbb{R}^{2}$ 中兩個(gè)向量 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$ ，它們的和 $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$ 是把 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$ 對(duì)應(yīng)元素相加所得的向量。 $\boldsymbol{u}$ 和 $c$ 的標(biāo)量乘法（或數(shù)乘）是把 $\boldsymbol{u}$ 的每個(gè)元素乘以 $c$ ，所得向量記為 $c\boldsymbol{u}$ 。 $c\boldsymbol{u}$ 中的數(shù) $c$ 稱為標(biāo)量（或數(shù)）。

給定 $\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix}$ 和 $\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 2 \\ -5 \\ \end{bmatrix}$ ，求 $4\boldsymbol{u}-3\boldsymbol{v}$
解： $\quad\ \ \ 4\boldsymbol{u} - 3\boldsymbol{v}$
$\begin{equation}\begin{aligned}\qquad &= 4\boldsymbol{u} + (-3)\boldsymbol{v} \\ &= \begin{bmatrix} 4 * 1 \\ 4 * (-2) \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 * 2 \\ -3 * (-5) \\ \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6 \\ 15 \\ \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} 4 + (-6) \\ -8 + 15\end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} -2 \\ 7 \\ \end{bmatrix}\end{aligned}\end{equation}$

$\mathbb{R}^{2}$ 的幾何表示

考慮平面上的直角坐標(biāo)系。因?yàn)槠矫嫔厦總€(gè)點(diǎn)由實(shí)數(shù)的有序?qū)Υ_定，所以可把幾何點(diǎn) $(a, b)$ 與列向量 $\left[\begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix}\right]$ 等同。因此我們可把 $\mathbb{R}^{2}$ 看作平面上所有點(diǎn)的集合。
向量 $\left[\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ \end{matrix}\right]$ 的幾何表示是一條由原點(diǎn) $(0, 0)$ 指向點(diǎn) $(3, -1)$ 的有向線段。

向量加法的平行四邊形法則
若 $\mathbb{R}^{2}$ 中向量 $\boldsymbol{u}$ 和向量 $\boldsymbol{v}$ 用平面上的點(diǎn)表示，則 $\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}$ 對(duì)應(yīng)于以 $\boldsymbol{u}$ ， $\boldsymbol{0}$ 和 $\boldsymbol{v}$ 為頂點(diǎn)的平行四邊形的第4個(gè)頂點(diǎn)。

向量加法的平行四邊形法則.png

$\mathbb{R}^{n}$ 中的向量

$\mathbb{R}^{3}$ 中向量是 $3 \times 1$ 列矩陣，有3個(gè)元素。它們表示三維空間中的點(diǎn)，或起點(diǎn)為原點(diǎn)的箭頭。

若 $n$ 是正整數(shù)，則 $\mathbb{R}^{n}$ 表示所有 $n$ 個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)列（或有序 $n$ 元組）的集合，通常寫成 $n \times 1$ 列矩陣的形式， $\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \\ \end{bmatrix}$ 。
所有元素都是零的向量稱為零向量，用 $\boldsymbol{0}$ 表示。

$\mathbb{R}^{n}$ 中向量相等以及向量加法與標(biāo)量乘法類似于 $\mathbb{R}^{2}$ 中的定義。
$\mathbb{R}^{n}$ 中向量的代數(shù)性質(zhì)
對(duì) $\mathbb{R}^{n}$ 中一切向量 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}$ 以及標(biāo)量 $c$ 和 $d$ :
$\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v} +\boldsymbol{u} \qquad\qquad\qquad\qquad c(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) = c\boldsymbol{u} + c\boldsymbol{v}$
$(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) + \boldsymbol{w} = \boldsymbol{u} + (\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w}) \qquad\ (c+d)\boldsymbol{u} = c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}$
$\boldsymbol{u} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{u} = \boldsymbol{u} \qquad\qquad\qquad c(d\boldsymbol{u}) = cd\boldsymbol{u}$
$\boldsymbol{u} + (\boldsymbol{-u}) = \boldsymbol{-u} + \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \qquad\quad\ 1\boldsymbol{u} = \boldsymbol{u}$

線性組合

給定 $\mathbb{R}^{n}$ 中向量 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$ 和標(biāo)量 $c_1, c_2,\cdots,v_p$ ，向量 $\boldsymbol{y}= c_1\boldsymbol{v_1} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p}$ 稱為向量 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$ 以 $c_1, c_2,\cdots,v_p$ 為權(quán)的線性組合。形如 $\boldsymbol{y}= c_1\boldsymbol{v_1} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p}$ 的方程稱為向量方程。

設(shè) $\boldsymbol{a_1}=\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \\ \end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{a_2}= \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 6\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol= \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \\ -3 \\ \end{bmatrix}$ ，確定 $\boldsymbol$ 能否寫成 $\boldsymbol{a_1}$ 和 $\boldsymbol{a_2}$ 的線性組合，也就是說(shuō)，確定是否存在權(quán) $x_1$ 和 $x_2$ 使 $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} = \boldsymbol$ 。
解： $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2}= x_1\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \\ \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ -2x_1 + 5x_2 \\ -5x_1 + 6x_2 \\ \end{bmatrix}$
向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的對(duì)應(yīng)元素相等。即 $x_1$ 和 $x_2$ 滿足 $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} = \boldsymbol$ 當(dāng)且僅當(dāng) $x_1$ 和 $x_2$ 滿足方程組 $\begin{cases} {x_1 + 2x_2 = 7 \\ -2x_1 + 5x_2 = 4 \\ -5x_1 + 6x_2 = -3}\end{cases}$ 。
用行化簡(jiǎn)算法將方程組的增廣矩陣化簡(jiǎn)，以此解方程組：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ -2 & 5 & 4 \\ -5 & 6 & -3 \\ \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 9 & 18 \\ 0 & 16 & 32\\ \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 16 & 32 \\ \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$
由階梯形矩陣最右列不是主元列，可知其有解。解為 $x_1=3,x_2=2$ 。
因此 $\boldsymbol$ 是 $\boldsymbol{a_1}$ 與 $\boldsymbol{a_2}$ 的線性組合，權(quán)為 $x_1=3,x_2=2$ 。

若 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩陣。 $\boldsymbol{A}$ 的各列是 $\mathbb{R}^{m}$ 中的向量，用 $\boldsymbol{a_1}, \cdots,\boldsymbol{a_n}$ 表示，則A= $\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1},\cdots,\boldsymbol{a_n} \\ \end{bmatrix}$ 。

注意：求解過(guò)程中，增廣矩陣 $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ -2 & 5 & 4 \\ -5 & 6 & -3 \\ \end{bmatrix}$ 的3列分別對(duì)應(yīng)于 $\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\boldsymbol$ 。即增廣矩陣可直接寫為: $\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\boldsymbol\end{bmatrix}$ 。

向量方程 $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} + \cdots + x_n\boldsymbol{a_n} = \boldsymbol$ 和增廣矩陣為 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1} & \boldsymbol{a_2} & \cdots & \boldsymbol{a_n} & \boldsymbol \\ \end{bmatrix}$ 的線性方程組有相同的解。特別地， $\boldsymbol$ 可表示為 $\boldsymbol{a_1}, \boldsymbol{a_2}, \cdots, \boldsymbol{a_n}$ 的線性組合當(dāng)且僅當(dāng)線性方程組有解。

$\boldsymbol{Span\{v\}}$ 與 $\boldsymbol{Span\{u,v\}}$ 的幾何解釋

若 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的向量，則 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$ 的所有線性組合所成的集合用記號(hào) $\boldsymbol{Span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}}$ 表示，稱為由 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$ 所生成（或張成）的 $\mathbb{R}^{n}$ 的子集。也就是說(shuō)， $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$ 是所有形如 $c_1\boldsymbol{v_1} + c_2\boldsymbol{v_2} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p}$ 的向量的集合，其中 $c_1,c_2,\cdots,c_p$ 為標(biāo)量。

要判斷向量 $\boldsymbol$ 是否屬于 $\boldsymbol{Span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}}$ ，就是判斷向量方程 $x_1\boldsymbol{v_1}+x_2\boldsymbol{v_2}+\cdots+x_p\boldsymbol{v_p}=\boldsymbol$ 是否有解，或等價(jià)地，判斷增廣矩陣為 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{v_1} & \boldsymbol{v_2} & \cdots & \boldsymbol{v_p} & \boldsymbol \\ \end{bmatrix}$ 的線性方程組是否有解。

設(shè) $\boldsymbol{v}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中的向量，那么 $\boldsymbol{Span\{v\}}$ 就是 $\boldsymbol{v}$ 的所有標(biāo)量倍數(shù)的集合，也就是 $\mathbb{R}^{3}$ 中通過(guò) $\boldsymbol{v}$ 和 $\boldsymbol{0}$ 的直線上所有點(diǎn)的集合。

若 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中的非零向量， $\boldsymbol{v}$ 不是 $\boldsymbol{u}$ 的倍數(shù)，則 $\boldsymbol{Span\{u,v\}}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中包含 $\boldsymbol{u}$ ， $\boldsymbol{v}$ 和 $\boldsymbol{0}$ 的平面。

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線性方程組（三）- 向量方程

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