注：本文轉(zhuǎn)自 http://staff.ustc.edu.cn/~lgliu/Resources/CG/Math_for_CG_Turk_CN.htm
英文原文 https://www.cc.gatech.edu/~turk/math_gr.html

“學習計算機圖形學需要多少的數(shù)學？”這是初學者最經(jīng)常問的問題。狹義的計算機圖形學指的是傳統(tǒng)的三維建模，繪制，動畫等，而廣義的計算機圖形學還包括計算機圖像處理，視頻處理，計算機視覺和機器學習等領(lǐng)域。

答案取決于你想在計算機圖形學領(lǐng)域鉆研多深：

• 如果僅僅使用周圍唾手可得的圖形軟件，如Photoshop, 3D Studio Max, Maya, AutoCAD等，你不需要知道多少數(shù)學知識；通過掌握簡單的概念和閱讀使用教程你就能使用這些軟件的基本功能；但是如果你想精通這些軟件，你還是需要學習計算機圖形學的一些入門知識的；
• 如果想學習計算機圖形學的入門知識，你至少需要掌握代數(shù)，三角學和線性代數(shù)的一些基本知識；這也是要成為圖形軟件高手所必需掌握的；
• 如果想成為一名計算機圖形學的研究工作者，那么對數(shù)學的學習將是“活到老，學到老”。重要的是，從以前看似枯燥的數(shù)學到看到它的實際應用的過程中，你會更容易享受數(shù)學的美妙。在你不斷進行計算機圖形學的研究的過程中，你會感覺到你的數(shù)學知識越來越不夠用，從而真正理解“數(shù)學不是沒有用，而是不夠用！”。

如果你并不特別喜歡數(shù)學，是否仍有在計算機圖形學領(lǐng)域工作的機會？是的，計算機圖形學的確有一些方面不需要考慮太多的數(shù)學問題。你不應該因為數(shù)學成績不好而放棄它，如果你對計算機圖形學具有強烈興趣和好奇心的話，而且你還特別喜歡和擅長計算機編程的話。不過，如果學習了更多的數(shù)學知識，那么你將在研究課題上有更多的選擇余地。如果你要做很好的計算機圖形學的研究工作，則建議你還是多學習些數(shù)學。

對于在計算機圖形學中哪些數(shù)學才是重要的？這個問題是沒有明確的答案的。這領(lǐng)域里不同的方面要求掌握不同的數(shù)學知識，也許興趣將會決定了你的方向。那些基本的數(shù)學知識和分析能力是最重要的，而其他的數(shù)學則是根據(jù)你所從事的方向相關(guān)。

下面將介紹我們認為對于計算機圖形學有用的數(shù)學。別以為想成為一名計算機圖形學的研究者就必須精通各門數(shù)學！在大學里，你所學的那些數(shù)學看起來都很抽象，枯燥無味，這是因為你并不知道它們的用處，甚至連講課的老師也不知道，而你們的目的只是記住那些定理和公式，考個好分數(shù)。與大學學習數(shù)學不一樣的是，你在計算機圖形學的學習和研究過程中會感受到數(shù)學的用處和美妙，這時你學習數(shù)學的目的將更加明確，興趣將更加濃厚，學習方法將更加有效。因為你是在使用數(shù)學的過程中在學習數(shù)學！想想看你是如何學會中文說話的？為了對用于計算機圖形學的數(shù)學有一個全面的看法，這里特地列出了很多方面。注意，不是這里提到的每個方面你都必須熟悉，許多研究工作者從不需要考慮下面提到的某些數(shù)學知識，成功的研究者總是將某一方面的數(shù)學知識和數(shù)學工具用到極致！

最后，雖然讀了這篇文章后，你應該會對數(shù)學在計算機圖形學中的應用有所了解，不過這也是一家之言。也許你應該閱讀更多的此類文章，或者至少從其他從事計算機圖形學工作的人那里了解不同的學習重點。

初等代數(shù)和三角學

對于計算機圖形學的初學者來說，高中的代數(shù)和三角學可能是最重要的數(shù)學。日復一日，我從簡單的方程解出一個或更多的根。我時常還要解決類似求一些幾何圖形邊長的簡單三角學問題。代數(shù)和三角學是計算機圖形學的最基礎(chǔ)的知識。

那么高中的幾何學怎么樣呢？可能讓人驚訝，不過在多數(shù)計算機圖形學里，高中的幾何學并不經(jīng)常被用到。原因是許多學校教的幾何學實際上是如何建立數(shù)學證明的課程。雖然證明題對提高智力顯然是有效的，但對于計算機圖形學來說，那些與幾何課有關(guān)的定理和證明并不常被用到。如果你畢業(yè)于數(shù)學相關(guān)領(lǐng)域（包括計算機圖形學），就會發(fā)現(xiàn)雖然你在證明定理，不過這對開始學習圖形學不是必要的。

如果精通代數(shù)和三角學，就可以開始讀一本計算機圖形學的入門書了。下一個重要的用于計算機圖形學的數(shù)學——線性代數(shù)，多數(shù)此類書籍至少包含了一個對線性代數(shù)的簡要介紹。

推薦的參考書:

• Computer Graphics: Principles and Practice
  James Foley, Andries van Dam, Steven Feiner, John Hughes
  Addison-Wesley

線性代數(shù)

線性代數(shù)的思想貫穿于計算機圖形學。事實上，只要牽涉到幾何數(shù)值表示法，就常常抽象出例如x,y,z坐標之類的數(shù)值，我們稱之為矢量。計算機圖形學自始至終離不開矢量和矩陣。用矢量和矩陣來描述旋轉(zhuǎn)，平移，或者縮放是再好不過了。高中和大學都有線性代數(shù)的課程。只要想在計算機圖形學領(lǐng)域工作，就應該打下堅實的線性代數(shù)基礎(chǔ)。我剛才提到，許多圖形學的書都有關(guān)于線性代數(shù)的簡要介紹——足夠教給你圖形學的第一門課。

數(shù)學分析（微積分學）

微積分學是高級計算機圖形學的重要成分。如果打算學習研究圖形學，我強烈建議你應該對微積分學有初步認識。理由不僅僅是微積分學是一種很有用的工具，還有許多研究者用微積分學的術(shù)語來描述他們的問題和解決辦法。另外，在許多重要的數(shù)學領(lǐng)域，微積分學被作為進一步學習的前提。學習了基本代數(shù)之后，微積分學又是一種能為你打開多數(shù)計算機圖形學與后繼的數(shù)學學習之門的課程。

微分幾何

微分幾何學研究描述和控制光滑曲線，曲面的方程。如果你要計算出經(jīng)過某個遠離曲面的點并垂直于曲面的矢量（法向矢量）就會用到微分幾何學。讓一輛汽車以特定速度在曲線上行駛也牽涉到微分幾何學。有一種通用的繪制光滑曲面的圖形學技術(shù)，叫做“凹凸帖圖”，這個技術(shù)用到了微分幾何學。另外，要研究曲面的一些幾何性質(zhì)，如曲率、可展性、測地性質(zhì)等，需要較多的微分幾何知識。如果要著手于用曲線和曲面來創(chuàng)造形體（在圖形學里稱之為建模），你至少應該學習微分幾何學的基礎(chǔ)。

數(shù)值方法（計算方法）

幾乎任何時候，我們在計算機里用近似值代替精確值來表示和操作數(shù)值，所以計算過程總是會有誤差。而且對于給定的數(shù)值問題，常常有多種解決的方法，一些方法會更塊，更精確或者對內(nèi)存的需求更少。數(shù)值方法研究的對象包括“計算方法”和“科學計算”等等。這是一個很廣闊的領(lǐng)域，而且我將提及的其他幾門數(shù)學其實是數(shù)值方法的一些分支。這些分支包括抽樣法理論，矩陣方程組，數(shù)值微分方程組和最優(yōu)化。

推薦的參考書:

• Numerical Recipes in C++: The Art of Scientific Computing
  William Press, Saul Teukolsky, William Vetterling and Brian Flannery
  Cambridge University Press

抽樣法理論和信號處理

在計算機圖形學里我們反復使用儲存在正規(guī)二維數(shù)組里的數(shù)字集合來表示一些對象，例如圖片和曲面。這時，我們就要用抽樣法來表示這些對象。如果要控制這些對象的品質(zhì)，抽樣法理論就變得尤為重要。抽樣法應用于圖形學的常見例子是當物體被繪制在屏幕上時，它的輪廓呈現(xiàn)鋸齒狀的邊緣。這鋸齒狀的邊緣（被認為是“混淆”現(xiàn)象）是非常讓人分散注意力的，用抽樣法中著名的技術(shù)例如回旋，傅立葉變換，空間和頻率的函數(shù)表示就能把這個現(xiàn)象減少到最小。這些思想在圖像和音頻處理領(lǐng)域是同樣重要的。

推薦的參考書:

• The Fourier Transform and Its Applications
  Ronald N. Bracewell
  McGraw Hill

矩陣計算

計算機圖形學的許多問題要用到矩陣方程組的數(shù)值解法。一些涉及矩陣的問題包括：找出最好的位置與方向以使對象們互相匹配（最小二乘法），創(chuàng)建一個覆蓋所給點集的曲面，并使皺折程度最小（薄板樣條算法），還有材質(zhì)模擬，例如水和衣服等。在圖形學里矩陣表述相當流行，因此在用于圖形學的數(shù)學中我對矩陣方程組的評價是很高的。

推薦的參考書:

• Matrix Computations
  Gene Golub and Charles Van Loan
  Johns Hopkins University Press

物理學（物理模擬）

物理學顯然不是數(shù)學的分支，它是自成一家的學科。但是在計算機圖形學的某些領(lǐng)域，物理學和數(shù)學是緊密聯(lián)系的。在圖形學里，牽涉物理學的問題包括光與物體的表面是怎樣互相影響的，人與動物的移動方式，水與空氣的流動。為了模擬這些自然現(xiàn)象，物理學的知識是必不可少的。這和解微分方程緊密聯(lián)系，我將會在下一節(jié)提到微分方程。

微分方程的數(shù)值解法（有限元方法）

我相信對于計算機圖形學來說，解微分方程的技巧是非常重要的。像我們剛才討論的，計算機圖形學致力于模擬源于真實世界的物理系統(tǒng)。波浪是怎樣在水里形成的，動物是怎樣在地面上行走的，這就是兩個模擬物理系統(tǒng)的例子。模擬物理系統(tǒng)的問題經(jīng)常就是怎樣解微分方程的數(shù)值解。請注意，微分方程的數(shù)值解法與微分方程的符號解法是有很大差異的。符號解法求出沒有誤差的解，而且時常只用于一些非常簡單的方程。有時大學課程里的“微分方程”只教符號解法，不過這并不會對多數(shù)計算機圖形學的問題有幫助。

在對物理系統(tǒng)的模擬中，我們把世界細分為許多表示成矢量的小元素。然后這些元素之間的關(guān)系就可以用矩陣來描述。雖然要處理的矩陣方程組往往沒有很精確的解，但是取而代之的是執(zhí)行了一系列的計算，這些計算產(chǎn)生一個表示成數(shù)列的近似解。這就是微分方程的數(shù)值解法。請注意，矩陣方程的解法與微分方程數(shù)值解法的關(guān)系是很密切的。

最優(yōu)化

在計算機圖形學里，我們常常為了期望的目標尋求一種合適的描述對象或者對象集的方法。例如安排燈的位置使得房間的照明看起來有種特殊的“感覺”，動畫里的人物要怎樣活動四肢才能實現(xiàn)一個特殊的動作，怎樣排版才不會使頁面混亂。以上這些例子可以歸結(jié)為最優(yōu)化問題。十年前的計算機圖形學幾乎沒有最優(yōu)化技術(shù)的文獻，不過最近這個領(lǐng)域越來越重視最優(yōu)化理論。我認為在計算機圖形學里，最優(yōu)化的重要性將會日益增加。

概率論與統(tǒng)計學

計算機圖形學的許多領(lǐng)域都要用到概率論與統(tǒng)計學。當研究者涉足人類學科時，他們當然需要統(tǒng)計學來分析數(shù)據(jù)。圖形學相關(guān)領(lǐng)域涉及人類學科，例如虛擬現(xiàn)實和人機交互(HCI)。另外，許多用計算機描繪真實世界的問題牽涉到各種未知事件的概率。兩個例子：一棵成長期的樹,它的樹枝分杈的概率；虛擬的動物如何決定它的行走路線。最后，一些解高難度方程組的技巧用了隨機數(shù)來估計方程組的解。重要的例子：蒙特卡羅方法經(jīng)常用于光如何傳播的問題。以上僅是一部分在計算機圖形學里使用概率論和統(tǒng)計學的方法。

另外，在機器學習和統(tǒng)計學習中，需要非常多和深入的統(tǒng)計學知識。

拓撲學

用一句話來形容拓撲學，它研究油炸圈餅與咖啡杯為什么在本質(zhì)上是相同的。答案是他們都是只有一個洞的曲面。對于計算機圖形學來說，拓撲學的形式（符號表示法）是表達思想的簡便方法，常用于分析一些曲面的性質(zhì)，在形狀分析、形狀匹配和搜索中得到應用。

黎曼幾何

黎曼幾何是研究流形曲面上的微積分與微分幾何。不同與三維歐氏空間，它研究的曲面是在流形曲面上，其中用到不同的度量。這部分數(shù)學知識有點抽象，但是同樣有效地被用到計算機圖形學中。如共形幾何理論就被發(fā)展起來在計算機圖形學中得到廣泛的應用。

抽象代數(shù)

抽象代數(shù)就是研究群論，環(huán)論和域的代數(shù)學。相對于線性代數(shù)，內(nèi)容也比較抽象。在計算機圖形學上也時有用到。

計算幾何

計算幾何學研究如何用計算機高效地表示與操作幾何體。典型問題如，碰撞檢測，把多邊形分解為三角形，找出最靠近某個位置的點，這個學科包括了運算法則，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)學。圖形學的研究者，只要涉足創(chuàng)建形體（建模），就要大量用到計算幾何學。

推薦的參考書:

• Computational Geometry in C
  Joseph O'Rourke
  Cambridge University Press

• Computational Geometry: An Introduction
  Franco Preparata and Michael Shamos
  Springer-Verlag

其他幾何學

一些其他的幾何學，如《仿射幾何》、《射影幾何》在計算機圖形學的某些問題上用得比較多，對工程具有較大的促進應用。

總結(jié)：數(shù)學應用和數(shù)學理論

對于圖形學來說，以上提到的許多數(shù)學學科都有個共同點：比起這些數(shù)學的理論價值，我們更傾向于發(fā)掘它們的應用價值。不要驚訝。計算機圖形學的許多問題和物理學者與工程師們研究的問題是緊密聯(lián)系的，并且物理學者與工程師們使用的數(shù)學工具正是計算機圖形學研究者們使用的。多數(shù)研究純數(shù)學理論的學科從不被用于計算機圖形學。不過這不是絕對的。請注意這些特例：分子生物學正利用節(jié)理論來研究DNA分子動力學，亞原子物理學用到了抽象群論。也許有一天，純數(shù)學理論也能推動計算機圖形學的發(fā)展，誰知道呢？

事實上，文章中所提到一些數(shù)學分支，按照我國的教育體制，在數(shù)學系本科的學生（或者碩士研究生階段的理工科學生）基本都能接觸到。但是大學所學習的數(shù)學比較偏重于證明以構(gòu)建完備的數(shù)學理論框架，而不太注重實際的使用，現(xiàn)在的大學教師授課的方式也是這樣。

我認為，學習數(shù)學最好的方式就是使用它，使用它越多，你就覺得它越有用，越有趣，學得就越好，也越快，越扎實。當然，很少有人能精通全部的知識，對于計算機圖形學的學習和實踐，應當采取掌握較為寬廣的數(shù)學知識基礎(chǔ)，在需要的時候，對相關(guān)的數(shù)學知識再進行深入的學習和挖掘；不要因為自身數(shù)學知識的匱乏而沮喪，更不能因此而敵視數(shù)學，保持對計算機圖形學強烈的興趣和樂觀上進的學習態(tài)度是學習計算機圖形學的關(guān)鍵。

還有一點需要指出的是，在學習計算機圖形學的過程中，你會發(fā)現(xiàn)各個方面的數(shù)學知識都會被用到，因此你掌握的數(shù)學知識會比較全面，也知道如何在實際中應用。這可能是應用數(shù)學在所有學科得到最好的體現(xiàn)。相反，一些做純理論的數(shù)學工作者，掌握的數(shù)學知識就是他們所研究的一塊，而對其他的數(shù)學知識掌握得就不夠好，他們做得比較深入。當然，做應用數(shù)學和理論數(shù)學都有值得敬仰的地方，一個側(cè)重在實際應用，而另一個側(cè)重在理論深度，但要做好都不是很容易。數(shù)學說到底還是要學老用的。相對來講，做計算機圖形學能看到學到的數(shù)學在實際中所用了，“所用即所學”。試想一下，當你能看到自己做的美妙的東西被別人看到且被敬仰的時候，你的成就感一定會很大！

最后說一點的就是，學習計算機圖形學和從事計算機圖形學的研究，除了數(shù)學基礎(chǔ)外，還需要較強的計算機編程能力，你務必要掌握和熟練一門編程語言，一般建議C/C++，因為你要實現(xiàn)出你的想法，你必須編程去實現(xiàn)出來，做出漂亮的結(jié)果。編程也是很有趣的，只要你有興趣，提高是非常快的！當然，這里我不闡述如何提高編程的能力和水平的方法?！皵?shù)學”和“編程”，兩手都要抓，兩手都要硬！提醒大家一點的是，如果你對編程興趣不大，或者就不愿編程，那你就不適合選擇計算機圖形學，可能更適合選擇其他方向，比如統(tǒng)計學或理論數(shù)學。