1.5、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

一、數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念

1、虛數(shù)單位
  • i叫做虛數(shù)的單位，并規(guī)定i^2=-1；
  • 實數(shù)與復(fù)數(shù)進(jìn)行四則混合運算時，原有的加、乘運算律依然成立。i的冪的周期性：i^4k=1,i^{4k+1}=i,i^{4k+2}=-1,i^{4k+3}=-i
2、負(fù)數(shù)概念

形如a+bi（a,b∈R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)通常用一個字母z表示,即z=a+bi（a，b∈R），其中a叫做它的實部，記作Re(z),即Re(z)=a;b叫做它的虛部，記作Im(z),即Im(z)=b
全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示。相關(guān)的幾種形式

  • 復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R），當(dāng)b= 0時，叫實數(shù)
  • 復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R），當(dāng)b≠ 0時，叫虛數(shù)
  • 復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R），當(dāng)a= 0，b≠ 0時，叫純虛數(shù)
  • 復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R），當(dāng)a≠ 0，b≠ 0時，叫非純虛數(shù)
    復(fù)數(shù)：由實數(shù)和虛數(shù)組成。實數(shù)分為有理數(shù)與無理數(shù)，虛數(shù)分為純虛數(shù)與非純虛數(shù)。
3、復(fù)數(shù)相等的條件及應(yīng)用

如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等。即如果a+bi=c+di?a=c且b=d
如果a+bi=0 ，則a=0，b=0

4、復(fù)數(shù)的幾何意義
  • 復(fù)數(shù)與平面直角坐標(biāo)系
    每一個復(fù)數(shù)，對應(yīng)著平面直角坐標(biāo)系中唯一的一個點（或一個向量）；反過來，平面直角坐標(biāo)系中每一個點（或每一個向量），也對應(yīng)著唯一的一個有序?qū)崝?shù)對，這樣我們通過有序?qū)崝?shù)對，可以建立復(fù)數(shù)z=a+bi和點z（a，b）（或向量\vec {OZ}）之間的一一對應(yīng)關(guān)系。
  • 復(fù)平面
    建立了直角坐標(biāo)系表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面。復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i。
  • 復(fù)數(shù)的向量表示
    我們知道直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一點z（a，b），有唯一的向量\vec {oz}與之對應(yīng)，而平面內(nèi)的點z（a，b）與復(fù)數(shù)集中的復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）也是一一對應(yīng)的，因此一個復(fù)數(shù)確定唯一一個以原點為起點的向量，根據(jù)向量相等的定義，也就是一個復(fù)數(shù)確定唯一一個平面向量。反之，一個平面向量有唯一一個復(fù)數(shù)與之對應(yīng)。
5、復(fù)平面內(nèi)|z|的意義

實數(shù)集中，實數(shù)|a|表示實數(shù)a的點與原點O之間的距離，那么在復(fù)數(shù)集中，類似的，|z|表示復(fù)數(shù)z的點z到坐標(biāo)原點間的距離，也就是向量\vec {oz}的模，|z|=|\vec {oz}|

6、復(fù)平面內(nèi)任意兩點間的距離

設(shè)復(fù)平面內(nèi)任意兩點P，Q所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z_1,z_2,則|PQ|=|z_2-z_1|
利用此性質(zhì)，通?？梢越鉀Q很多求軌跡的問題，靈活應(yīng)用復(fù)數(shù)的?？梢郧蠼?。

二、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算

1、復(fù)數(shù)的加法
  • 加法的定義
    實部與實部相加，虛部與虛部相加
  • 加法的運算律
  • 復(fù)數(shù)加法的幾何意義：同向量知識結(jié)合，滿足向量加法的運算法則
2、復(fù)數(shù)的減法
  • 相反數(shù)：a+bi的相反數(shù)是-a-bi
  • 減法原則：實部與實部相減，虛部與虛部相減
  • 復(fù)數(shù)減法的幾何意義：向量的減法的幾何解釋與復(fù)數(shù)的幾何解釋一致。
  • 兩點間的距離公式：
    設(shè)z_1=a+bi,z_2=c+di,則|\vec z_2 \vec z_1|=|\vec z_1- \vec z_2|=|(a-c)+(b-d)i|= \sqrt {{(a-c)}^2 + (b-d)^2}
3、復(fù)數(shù)的乘法
4、復(fù)數(shù)的除法
5、共軛復(fù)數(shù)
  • 概念：如果兩個復(fù)數(shù)實部相等，虛部為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)為共軛復(fù)數(shù)。虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做互為共軛復(fù)數(shù)。
    復(fù)數(shù)z= a+bi（a，b∈R）,則\overline z=a-bi
  • 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)
    設(shè)z= a+bi，\overline z=a-bi（a，b∈R）z_1,z_2,z_3^...z_n∈C，則
    ①\overline {(\overline z)}= z
    ②z = \overline z?z為實數(shù)
    ③ \overline z=-z?z為純虛數(shù)
    ④z.\overline z=1,則|z|=1
    ⑤z.\overline z=|z|=|\overline z|=a^2+b^2
    ⑥z+\overline z=2a z-\overline z=2bi
    ⑦\overline {z_1+z_2+...z_n}= \overline z_1+\overline z_2+...+\overline z_n
    ⑧\overline {z_1-z_2}= \overline z_1-\overline z_2
    ⑨\overline {z_1\cdot z_2 ...z_n}= \overline z_1 \cdot \overline z_2...\overline z_n
    ⑩\overline {\frac{z_1}{z_2}}= \frac {\overline z_1}{\overline z_2}(z_2≠0)
6、特殊的復(fù)數(shù)ω=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt {3}}{2}i

①\overline ω =\frac{1}{2}-\frac{\sqrt {3}}{2}i
② ω ^2 = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt {3}}{2}i=-\overline ω
③ω ^3=-1
④1+ ω+ ω ^2=0
⑤|ω|=|\overline ω|=1

7、復(fù)數(shù)的集合表示

復(fù)數(shù)(C),虛數(shù)(I),實數(shù)(R),整數(shù)(Z)，正整數(shù)(N^*或N_+)，自然數(shù)(N)，有理數(shù)(Q)

最后編輯于 ：
?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者
【社區(qū)內(nèi)容提示】社區(qū)部分內(nèi)容疑似由AI輔助生成，瀏覽時請結(jié)合常識與多方信息審慎甄別。
平臺聲明：文章內(nèi)容（如有圖片或視頻亦包括在內(nèi)）由作者上傳并發(fā)布，文章內(nèi)容僅代表作者本人觀點，簡書系信息發(fā)布平臺，僅提供信息存儲服務(wù)。

友情鏈接更多精彩內(nèi)容