第三講

第三講：自然坐標(biāo)系下曲線運(yùn)動(dòng)的加速度

—— 以圓周運(yùn)動(dòng)為例

數(shù)學(xué)符號(hào)

\vec{e}_n, \vec{e}_{t}, \frac{x}{y}, \sqrt{x}

對(duì)應(yīng)的代碼為
$\vec{e}_n$, $\vec{e}_{t}$, $\frac{x}{y}$, $\sqrt{x}$

知識(shí)點(diǎn)

  • 曲線運(yùn)動(dòng)的加速度\vec{a}?

    • 自然坐標(biāo)系， \vec{e}_n，\vec{e}_{t}

    • 勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度，向心加速度 a_n=\frac{v^2}{R}

      • 寫成矢量式 \vec{a}_n=\frac{v^2}{R}\vec{e}_n

    • 直線運(yùn)動(dòng)的加速度，切向加速度 a_t=\frac{dv}{dt}?

      • 寫成矢量式 \vec{a}_t=\frac{dv}{dt}?\vec{e}_t

    • 變速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度

      • \vec{a}=?\vec{a}_n=\frac{v^2}{R}\vec{e}_n+\frac{dv}{dt}?\vec{e}_t

    • 一般曲線運(yùn)動(dòng)的加速度

    • 物體曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，時(shí)間很短的時(shí)候，運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)接近于弦長(zhǎng)，即ds=|d\vec{r}|

      • 平均速率是標(biāo)量。平均速度是矢量。

      • 曲率半徑的直觀感受

      • 計(jì)算曲率半徑

例題

  • 例1.

    曲線運(yùn)動(dòng)中，加速度經(jīng)常按切向\vec{e}_{t}和法向\vec{e}_{n}進(jìn)行分解：

    \vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}? =\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}?

    借助熟悉的例子來構(gòu)建其直觀物理圖像，有助于理解并記憶這些復(fù)雜的公式。

    • 在彎曲的軌道上勻速率行駛的火車，
      (1) \vec{a}_{t}\neq0，
      (2) \vec{a}_{t}=0，

    • 在直線上加速跑向食堂的小伙伴，
      (3) \vec{a}_{t}\neq0，
      (4) \vec{a}_{t}=0，

    • 變速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，
      (5) \vec{a}_{t}\neq0，\vec{a}_{n}=0。
      (6) \vec{a}_{t}\neq0，a_{n}=\frac{v^{2}}{R} (不就是高中學(xué)過的向心加速度嘛)

      上述判斷正確的為

解答： （2）（3）（6）
切向\vec{e}_{t}加速度改變速度的大小
法向\vec{e}_{n}加速度改變速度的方向，都是矢量

  • 例2.

    一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),則

    • 切向加速度一定改變, 法向加速度也改變
    • 切向加速度可能不變, 法向加速度一定改變
    • 切向加速度可能不變, 法向加速度不變
    • 切向加速度一定改變, 法向加速度不變

解答：2
特列：勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
既然是曲線運(yùn)動(dòng)，即它的切線方向也在改變，與切線垂直則是法向加速度，加速度為矢量，方向變了，所以加速度也變了

  • 例3.

    物體作斜拋運(yùn)動(dòng)，初速度大小為v_{0}，且速度方向與水平前方夾角為\theta，則物體軌道最高點(diǎn)處的曲率半徑為？

解答：分析：當(dāng)物體到最高點(diǎn)，此時(shí)豎直方向上的速度為0
分解初速度：v_x=v_0cos \theta
此時(shí)重力加速度充當(dāng)向心力則有
g=\frac{(v_x)^2}{r}
r=\frac{(v_0cos \theta)^2}{g}其中r為運(yùn)動(dòng)半徑

  • 例4.

    質(zhì)點(diǎn)在Oxy 平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為\vec{r}=t\ \vec{i}+\frac{1}{2}t^{2}\ \vec{j}．則在t=1 時(shí)切向和法向加速度分別為( )

解答：\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=\vec i+t\vec j
|\vec v |=\sqrt{1+t^2}
由定義a_t=\frac{dv}{dt}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
|a|=|\frac{dv}{dt}|=1
a=\sqrt{a^2_n+a^2_t}
所以a_n=\frac{1}{\sqrt{2}}

作業(yè)

  • 質(zhì)點(diǎn)在Oxy 平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為\vec{r}=3t\ \vec{i}+(1-t^{2})\ \vec{j}．則在t_{1}=1 到t_{2}=5 時(shí)間內(nèi)的平均速度為

解答：
平均速度為\frac{\Delta \vec r}{t}=\frac{\vec{r}_\text{t2}-\vec{r}_\text{t1}}{\Delta t}=\frac{15\vec i-24\vec j}{4}

  • 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 \vec{r}=R\cos\omega t\ \vec{i}+R\sin\omega t\ \vec{j} (式中R、\omega皆為常量) 則質(zhì)點(diǎn)的速度和速率分別為

解答：
\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=-R\omega sin t \vec i+R\omega cos \vec j
|\vec v|=\sqrt{(-R\omega sin t )^2+(R\omega cos t)^2}

  • 運(yùn)動(dòng)學(xué)的一個(gè)核心問題是已知運(yùn)動(dòng)方程，求速度和加速度。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為
    \begin{cases} x=-10t+30t^{2} & ,\\ y=15t-20t^{2} & , \end{cases}
    則t時(shí)刻的速度與速率

解答：設(shè)\vec i為X軸單位正向量，\vec j為Y軸單位正向量
所以有
\vec r=x\vec i+y\vec j
\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=(-10+60t)\vec j+(15-40t)\vec j
|\vec v|=\sqrt{(-10+60t)^2+(15-40t)^2}

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