在圖形學(xué)中矩陣統(tǒng)一以列矩陣的形式呈現(xiàn)
比如一個單列矩陣

$A1=\left[ \begin{matrix} a1\\ a2\\ a3 \end{matrix} \right]$
3*3矩陣
$A3=\left[ \begin{matrix} a1&b1&c1\\ a2&b2&c2\\ a3&b3&c3 \end{matrix} \right]$
在此之前補(bǔ)一個Markdown如何寫矩陣的內(nèi)容，感謝原貼分享！
https://blog.csdn.net/qq_38228254/article/details/79469727

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進(jìn)入正題

線性變換包含我們常說的【縮放】【斜切】【旋轉(zhuǎn)】。

PS：這里我們以2D圖像為例

縮放矩陣

系數(shù)為0.5的縮放矩陣

等比即為原坐標(biāo)乘以比例系數(shù)

等比縮放的矩陣形式為

$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} s&0\\ 0&s \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\ y \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} s*x + 0*y\\ 0*x + s*y \end{matrix} \right] \ = \left[ \begin{matrix} sx \\ sy \end{matrix} \right] \$
從上可以看出，不等比縮放也同樣適用以上矩陣變換。

不等比矩陣對應(yīng)的兩個s系數(shù)不同

另，鏡像矩陣其實是縮放矩陣的一種特殊形式。

鏡像矩陣是系數(shù)為-1的縮放矩陣

斜切矩陣

理解斜切矩陣

簡單的理解，上圖中的斜切矩陣，在y方向上沒有變動，所以y' = y，在x方向上，所有的數(shù)值都向正方向移動了a，所以 x' = x + ax（注意這里a是倍數(shù)?。?/p>

旋轉(zhuǎn)矩陣

需要注意的是，旋轉(zhuǎn)矩陣通常默認(rèn)都是以坐標(biāo)原點(diǎn)作為pivot，旋轉(zhuǎn)方向為逆時針(CCW)。

旋轉(zhuǎn)矩陣的簡單推導(dǎo)驗證

旋轉(zhuǎn)矩陣的工作原理

取方形右下角{1, 0}，旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)為{cosθ, sinθ}，得出矩陣中 A = cosθ，C = sinθ；
相應(yīng)的，取左上角{0, 1}，旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為(-sinθ, cosθ)，得出矩陣中 B = -sinθ，D = cosθ。

二維旋轉(zhuǎn)矩陣

到這里其實已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了線性變換的共性，即[目標(biāo)坐標(biāo)] = [矩陣]*[當(dāng)前坐標(biāo)]

線性變換公式

以上都是解決圍繞原點(diǎn)的問題，假如要實現(xiàn)如下的位移變換呢？

在 x 和 y 方向上位移t

此時回顧一下線性變換矩陣

\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} a&b\\ c&d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\ y \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} a*x + b*y\\ c*x + d*y \end{matrix} \right] \

會發(fā)現(xiàn)無論在任何情況下，都無法得到以上位移變換，也就是說，位移變換并不是線性變換！

位移變換是線性變換和位移向量共同作用的結(jié)果

那么有沒有辦法依然能夠通過 [單一矩陣]*[坐標(biāo)] 的形式來同時描述位移變換呢？有！這里我們要引入齊次坐標(biāo)。

齊次坐標(biāo) w

齊次坐標(biāo)的目的主要是合并矩陣運(yùn)算中的乘法和加法，表示為p' =M*p的形式。即它提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間中的一個點(diǎn)集從一個坐標(biāo)系變換到另一個坐標(biāo)系的有效方法。
結(jié)合之前的案例，相當(dāng)于在原本2*2的矩陣上再增加一個維度變?yōu)?*3，返回結(jié)果如下

返回結(jié)果正是想要的位移變換

這時候考慮到向量的平移是不會變的，所以點(diǎn)的平移和向量的平移要區(qū)別對待，即

簡單理解，當(dāng)齊次坐標(biāo)補(bǔ)位值為1，則為向量，0則為點(diǎn)。

含有齊次坐標(biāo)的運(yùn)算法則

如果出現(xiàn)兩個點(diǎn)相加為2，則/2進(jìn)行歸一化處理，返回值為笛卡爾坐標(biāo)系中的中點(diǎn)坐標(biāo)。

那么，我們常規(guī)意義上的仿射變換就可以統(tǒng)一用如下矩陣來表示：

仿射變換轉(zhuǎn)變?yōu)榈刃У凝R次坐標(biāo)矩陣

所以，這里就可以解釋為什么要用4*4的矩陣來描述三維空間內(nèi)的轉(zhuǎn)換了。

如何解讀矩陣？

二維矩陣增加齊次坐標(biāo)后的解讀

逆變換

逆變換工作原理

簡單的理解，逆變換就像是逆向動力學(xué)，而求逆矩陣的方法也很簡單，矩陣和逆矩陣相乘結(jié)果為單位矩陣。

M*M^-1= $\left[ \begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix} \right]$

矩陣變換次序很重要?。?！

先平移后旋轉(zhuǎn)VS先旋轉(zhuǎn)后平移

由于旋轉(zhuǎn)矩陣始終是以原點(diǎn)為軸心，先平移后旋轉(zhuǎn)會出現(xiàn)不合理的位移，所以矩陣一定是先旋轉(zhuǎn)，后平移。

另外，由于行列式特殊的計算方式，矩陣相乘是不滿足交換律的。但是！多矩陣相乘可以添加在左側(cè)，如下

多矩陣相乘

從這個角度看，矩陣的結(jié)合律其實就相當(dāng)于左乘，復(fù)雜的矩陣變換就可以變成矩陣變換互相作用*坐標(biāo)

矩陣結(jié)合率

一個思考

如何讓一個物體圍繞一個特定的點(diǎn)來旋轉(zhuǎn)？？

圍繞特定點(diǎn)的矩陣旋轉(zhuǎn)原理

核心是要拆分運(yùn)動，首先使用位移矩陣挪到原點(diǎn)，然后作用旋轉(zhuǎn)矩陣，最后再用反向位移矩陣恢復(fù)坐標(biāo)c，完成！
整個過程中的核心是對旋轉(zhuǎn)點(diǎn)c的定義。

相應(yīng)的，在三維坐標(biāo)中添加齊次坐標(biāo)后就是我們常說的4*4矩陣了，作用方式同上述二維空間變換。

三維空間中的4*4矩陣

一個思考！

了解到旋轉(zhuǎn)矩陣的使用方法后，此時如果有圖像逆時針旋轉(zhuǎn)θ角，則為
R_θ= $\left( \begin{matrix} cosθ&-sinθ\\ sinθ&cosθ \end{matrix} \right)$

那么旋轉(zhuǎn)-θ呢？（畫個圖看一下就能推出來了）
R_-θ= $\left( \begin{matrix} cosθ&sinθ\\ -sinθ&cosθ \end{matrix} \right)$

此時觀察兩個矩陣之間的關(guān)系，得出旋轉(zhuǎn)-θ的矩陣就是旋轉(zhuǎn)θ的轉(zhuǎn)置（行列對換）
R_-θ = R_θ^T

另，根據(jù)定義，旋轉(zhuǎn)-θ的和旋轉(zhuǎn)θ應(yīng)該是互逆的，也就是
R_-θ = R_θ^-1
所以得出最終結(jié)論====>

旋轉(zhuǎn)矩陣的逆 = 旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)置

R_θ^-1 = R_θ^T

也就是常說的正交矩陣。

三維呢？

類似的，在三維狀態(tài)下的矩陣，也需要齊次坐標(biāo)

三維中的齊次坐標(biāo)

三維中的縮放和平移

然而在旋轉(zhuǎn)矩陣中，情況有所不同

Y軸旋轉(zhuǎn)有所不同

為什么R_y和其他兩個軸不一致？
因為在三維狀態(tài)下，按照右手螺旋定則，如果是X*Z，得到的是Y方向的反方向，所以需要取-θ。
剛剛在二維空間中已經(jīng)論證過了旋轉(zhuǎn)θ和-θ的轉(zhuǎn)置和互逆關(guān)系，所以Y軸旋轉(zhuǎn)需要求轉(zhuǎn)置矩陣。

傳說中的歐拉角旋轉(zhuǎn)

復(fù)雜旋轉(zhuǎn)的合成

然而，有一種特殊情況，是歐拉角的bug——Gimbal Lock（萬向節(jié)死鎖）。
簡單的理解，因為旋轉(zhuǎn)矩陣的計算方式是有次序的（通常是以zyx為順序而不是xyz），動態(tài)歐拉角會出現(xiàn)兩個旋轉(zhuǎn)軸在某個過程中重合的情況，此時就會有一個維度的消失。
在這個鏈接中有詳細(xì)且直觀的解釋https://v.youku.com/v_show/id_XNzkyOTIyMTI=.html
另，一種旋轉(zhuǎn)狀態(tài)可能對應(yīng)多種歐拉角甚至無數(shù)種。

雖然起點(diǎn)和結(jié)果相同，但是中間的插值計算導(dǎo)致了萬向節(jié)鎖死就會出現(xiàn)尷尬時刻

所以也就有了羅德里格斯旋轉(zhuǎn)公式

image.png

以及

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從零開始圖形學(xué) | Matrix的線性變換和位移變換

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線性變換包含我們常說的【縮放】【斜切】【旋轉(zhuǎn)】。

縮放矩陣

等比縮放的矩陣形式為

斜切矩陣

旋轉(zhuǎn)矩陣

需要注意的是，旋轉(zhuǎn)矩陣通常默認(rèn)都是以坐標(biāo)原點(diǎn)作為pivot，旋轉(zhuǎn)方向為逆時針(CCW)。

齊次坐標(biāo) w

如何解讀矩陣？

逆變換

矩陣變換次序很重要?。?！

一個思考

如何讓一個物體圍繞一個特定的點(diǎn)來旋轉(zhuǎn)？？

一個思考！

旋轉(zhuǎn)矩陣的逆 = 旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)置

三維呢？

傳說中的歐拉角旋轉(zhuǎn)

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線性變換包含我們常說的【縮放】【斜切】【旋轉(zhuǎn)】。

縮放矩陣

等比縮放的矩陣形式為

斜切矩陣

旋轉(zhuǎn)矩陣

需要注意的是，旋轉(zhuǎn)矩陣通常默認(rèn)都是以坐標(biāo)原點(diǎn)作為pivot，旋轉(zhuǎn)方向為逆時針(CCW)。

齊次坐標(biāo) w

如何解讀矩陣？

逆變換

矩陣變換次序很重要?。?！

一個思考

如何讓一個物體圍繞一個特定的點(diǎn)來旋轉(zhuǎn)？？

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旋轉(zhuǎn)矩陣的逆 = 旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)置

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