數(shù)算---最小生成樹

前言

上篇文章介紹了圖的相關(guān)基本概念，本篇我們將繼續(xù)探索圖的應(yīng)用。

基本概念

連通圖的生成樹：所謂一個(gè)連通圖的生成樹是一個(gè)極小的連通子圖，它含有圖中全部的n個(gè)頂點(diǎn)，但只足以構(gòu)成一棵樹的n-1條邊。
條件如下：

  1. 圖是連通圖。
  2. 圖中包含了n個(gè)頂點(diǎn)。
  3. 圖中邊的數(shù)量等于n-1條邊。
生成樹

上圖中圖1中有8個(gè)頂點(diǎn)和9條邊，圖2中有8個(gè)頂點(diǎn)7條邊，均滿足連通的條件，但是圖1不滿足n-1條邊的條件，則不是連通圖的生成樹。圖2則全滿足生成樹的所有條件。

面試題

上面連通圖的生成樹問題中，只需滿足上方三個(gè)條件即可，但如果給每條邊添加上權(quán)值，找出權(quán)值和最小的生成樹那就相對(duì)更復(fù)雜了。
下面是阿里的一道數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法題，假設(shè)目前N個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)連接的路徑不一樣，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)算法，快速找出能覆蓋所有頂點(diǎn)的最小成本的路徑。（類似于一個(gè)村莊的網(wǎng)絡(luò)布局，在成本最小的情況下全村通網(wǎng)）

那么就引出了最小生成樹的概念！
最小生成樹：把構(gòu)成連通網(wǎng)的最小代價(jià)的生成樹稱為最小生成樹。

普里姆[Prim]算法

思路：

  1. 定義兩個(gè)數(shù)組：adjvex數(shù)組用來保存相關(guān)頂點(diǎn)的下標(biāo)，lowcost保存頂點(diǎn)之間的權(quán)值。
  2. 初始化2個(gè)數(shù)組，從v0開始尋找最小生成樹，默認(rèn)v0時(shí)最小生成樹上第一個(gè)頂點(diǎn)。即lowcost數(shù)組默認(rèn)為鄰接矩陣第一行數(shù)據(jù)。
  3. 循環(huán)lowcost數(shù)組，根據(jù)權(quán)值大小，找到最小的權(quán)值對(duì)應(yīng)的下標(biāo)k，即頂點(diǎn)k。
  4. 更新lowcost數(shù)組。

  5. 比較頂點(diǎn)k相連的頂點(diǎn)權(quán)值與lowcost數(shù)組中相應(yīng)位置權(quán)值大小，取較小值。已經(jīng)存入最小生成樹的則不用管。


    鄰接矩陣

執(zhí)行過程：

  1. 比較lowcost數(shù)組中權(quán)重值，由于默認(rèn)V0已經(jīng)加入最小生成樹，則lowcost[0] = 0；10、11 分別為V0與V1、V5鏈接的權(quán)值，10更小，則此時(shí)k = 1。


    第一次執(zhí)行

  2. lowcost[1] = 0，表示V1加入最小樹，將與V1相連的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)值放進(jìn)lowcost數(shù)組中，接著比較數(shù)組中權(quán)值大小，此時(shí)為11，則k = 5，將與V5連接的頂點(diǎn)權(quán)值與lowcost數(shù)組相應(yīng)位置比較，小了的就替換，大了就不變，發(fā)現(xiàn)有V4、V6與V5相連，V5-V6權(quán)值17大于lowcost[6] = 16，則保持16不變，V5-V4權(quán)值26小于lowcost[4]最大值，則替換lowcost[4] = 26.


    第二次執(zhí)行

  3. 接著找出lowcost數(shù)組中最小權(quán)值12，此時(shí)k = 8，lowcost[8] = 0，表示V8添加到最小樹中，與V8相連的頂點(diǎn)有V1、V2、V3，V1已經(jīng)添加進(jìn)最小樹，則只需關(guān)注V2、V3，比較相應(yīng)的權(quán)值。


    第三次執(zhí)行

  4. 依照如上方式依次執(zhí)行得到如下最終結(jié)果：


    最終結(jié)果

    最終所有頂點(diǎn)都加入到最小樹中。最小路徑則為下圖中所有黑色粗線連線。


    最小生成樹

代碼實(shí)現(xiàn)

#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535

typedef int Status;    /* Status是函數(shù)的類型,其值是函數(shù)結(jié)果狀態(tài)代碼，如OK等 */

typedef struct
{
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
}MGraph;


/*9.1 創(chuàng)建鄰接矩陣*/
void CreateMGraph(MGraph *G)/* 構(gòu)件圖 */
{
    int i, j;
    
    /* printf("請(qǐng)輸入邊數(shù)和頂點(diǎn)數(shù):"); */
    G->numEdges=15;
    G->numVertexes=9;
    
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化圖 */
    {
        for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
        {
            if (i==j)
                G->arc[i][j]=0;
            else
                G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITYC;
        }
    }
    
    G->arc[0][1]=10;
    G->arc[0][5]=11;
    G->arc[1][2]=18;
    G->arc[1][8]=12;
    G->arc[1][6]=16;
    G->arc[2][8]=8;
    G->arc[2][3]=22;
    G->arc[3][8]=21;
    G->arc[3][6]=24;
    G->arc[3][7]=16;
    G->arc[3][4]=20;
    G->arc[4][7]=7;
    G->arc[4][5]=26;
    G->arc[5][6]=17;
    G->arc[6][7]=19;
    
    for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
    {
        for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
        {
            G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
        }
    }
    
}

/* Prim算法生成最小生成樹 */
void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
{
    int min, i, j, k;
    int sum = 0;
    /* 保存相關(guān)頂點(diǎn)下標(biāo) */
    int adjvex[MAXVEX];
    /* 保存相關(guān)頂點(diǎn)間邊的權(quán)值 */
    int lowcost[MAXVEX];
    
    /* 初始化第一個(gè)權(quán)值為0，即v0加入生成樹 */
    /* lowcost的值為0，在這里就是此下標(biāo)的頂點(diǎn)已經(jīng)加入生成樹 */
    lowcost[0] = 0;
    
    /* 初始化第一個(gè)頂點(diǎn)下標(biāo)為0 */
    adjvex[0] = 0;
    
    //1. 初始化
    for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)    /* 循環(huán)除下標(biāo)為0外的全部頂點(diǎn) */
    {
        lowcost[i] = G.arc[0][i];    /* 將v0頂點(diǎn)與之有邊的權(quán)值存入數(shù)組 */
        adjvex[i] = 0;                    /* 初始化都為v0的下標(biāo) */
    }
    
    //2. 循環(huán)除了下標(biāo)為0以外的全部頂點(diǎn), 找到lowcost數(shù)組中最小的頂點(diǎn)k
    for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)
    {
        /* 初始化最小權(quán)值為∞， */
        /* 通常設(shè)置為不可能的大數(shù)字如32767、65535等 */
        min = INFINITYC;
        
        j = 1;k = 0;
        while(j < G.numVertexes)    /* 循環(huán)全部頂點(diǎn) */
        {
            /* 如果權(quán)值不為0且權(quán)值小于min */
            if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min)
            {
                /* 則讓當(dāng)前權(quán)值成為最小值,更新min */
                min = lowcost[j];
                /* 將當(dāng)前最小值的下標(biāo)存入k */
                k = j;
            }
            j++;
        }
        
        /* 打印當(dāng)前頂點(diǎn)邊中權(quán)值最小的邊 */
        printf("(V%d, V%d)=%d\n", adjvex[k], k ,G.arc[adjvex[k]][k]);
        sum+=G.arc[adjvex[k]][k];
        
        /* 3.將當(dāng)前頂點(diǎn)的權(quán)值設(shè)置為0,表示此頂點(diǎn)已經(jīng)完成任務(wù) */
        lowcost[k] = 0;
        
        /* 循環(huán)所有頂點(diǎn),找到與頂點(diǎn)k 相連接的頂點(diǎn)
         1. 與頂點(diǎn)k 之間連接;
         2. 該結(jié)點(diǎn)沒有被加入到生成樹;
         3. 頂點(diǎn)k 與 頂點(diǎn)j 之間的權(quán)值 < 頂點(diǎn)j 與其他頂點(diǎn)的權(quán)值,則更新lowcost 數(shù)組;
         
         */
        for(j = 1; j < G.numVertexes; j++)
        {
            /* 如果下標(biāo)為k頂點(diǎn)各邊權(quán)值小于此前這些頂點(diǎn)未被加入生成樹權(quán)值 */
            if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j])
            {
                /* 將較小的權(quán)值存入lowcost相應(yīng)位置 */
                lowcost[j] = G.arc[k][j];
                /* 將下標(biāo)為k的頂點(diǎn)存入adjvex */
                adjvex[j] = k;
            }
        }
    }
    printf("sum = %d\n",sum);
}

int main(void)
{
    printf("Hello,最小生成樹_Prim算法\n");
    
    MGraph G;
    CreateMGraph(&G);
    MiniSpanTree_Prim(G);
    
    return 0;
    
}
克魯斯卡爾[Kruskal]算法

思路：

  1. 將鄰接矩陣轉(zhuǎn)化為邊表數(shù)組。
  2. 對(duì)邊表數(shù)組根據(jù)權(quán)值從小到大順序排序。
  3. 遍歷所有的邊，通過parent數(shù)組找到邊的連接信息，避免閉環(huán)問題。
  4. 如果不存在閉環(huán)問題，則加入到最小生成樹中，并修改parent數(shù)組。

執(zhí)行過程：

邊表數(shù)組

  1. begin = 4, end = 7, weight = 7 ，parent[4] = 0, n = 4, parent[7] = 0, m = 7, n != m ,所以此時(shí)parent[4] = 7。


  2. begin = 2, end = 8, weight = 8,n = 2, m = 8, 2 ！= 8，所以parent[2] = 8。


  3. begin = 0, end = 1, weight = 10, n = 0, m = 1, 0 != 1 , 所以parent[0] = 1.


  4. begin = 0, end = 5, weight = 11, n = 1, m = 5, 因?yàn)閜arent[0] = 1, parent[1] = 0, 所以n = 1, parent[5] = 0, 所以返回5，即m = 5, n != m， parent[1] = 5。


  5. begin = 1, end = 8, weight = 12, n = 5, m = 8, 因?yàn)閜arent[1] = 5,parent[5] = 0, 返回5，parent[8] = 0, 直接返回8，n != m，parent[5] = 8。


........
........

  1. begin = 5, end = 6, weight = 17, n = 6, m = 6, 因?yàn)閜arent[5] = 8, parent[8] = 6, 所以n = 6, parent[6] = 0, m = 6，n = m， 所以不用修改parent數(shù)組，因?yàn)閂5、V6會(huì)形成環(huán)路，所以不能將它們加入最小樹。
    .....
    .....
    .....
    最終parent數(shù)組為下面數(shù)組：



    此時(shí)，
    parent[0] = 1，V0，V1加入到最小樹。
    parent[1] = 5，V1，V5加入到最小樹。
    parent[2] = 8，V2，V8加入到最小樹。
    parent[3] = 7，V3，V7加入到最小樹。
    parent[4] = 7，V4，V7加入到最小樹。
    parent[5] = 8，V5，V8加入到最小樹。
    parent[6] = 7，V6，V7加入到最小樹。
    parent[8] = 6，V8，V6加入到最小樹。
    所以所有頂點(diǎn)都加入到最小樹中，所以的連線如下圖所示：


    最小生成樹

代碼實(shí)現(xiàn)

#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535

typedef int Status;
typedef struct
{
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

/* 對(duì)邊集數(shù)組Edge結(jié)構(gòu)的定義 */
typedef struct
{
    int begin;
    int end;
    int weight;
}Edge ;

/*9.1 創(chuàng)建鄰接矩陣*/
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
    int i, j;
    
    /* printf("請(qǐng)輸入邊數(shù)和頂點(diǎn)數(shù):"); */
    G->numEdges=15;
    G->numVertexes=9;
    
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化圖 */
    {
        for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
        {
            if (i==j)
                G->arc[i][j]=0;
            else
                G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITYC;
        }
    }
    
    G->arc[0][1]=10;
    G->arc[0][5]=11;
    G->arc[1][2]=18;
    G->arc[1][8]=12;
    G->arc[1][6]=16;
    G->arc[2][8]=8;
    G->arc[2][3]=22;
    G->arc[3][8]=21;
    G->arc[3][6]=24;
    G->arc[3][7]=16;
    G->arc[3][4]=20;
    G->arc[4][7]=7;
    G->arc[4][5]=26;
    G->arc[5][6]=17;
    G->arc[6][7]=19;
    
    for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
    {
        for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
        {
            G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
        }
    }
    
}


/* 交換權(quán)值以及頭和尾 */
void Swapn(Edge *edges,int i, int j)
{
    int tempValue;
    
    //交換edges[i].begin 和 edges[j].begin 的值
    tempValue = edges[i].begin;
    edges[i].begin = edges[j].begin;
    edges[j].begin = tempValue;
    
    //交換edges[i].end 和 edges[j].end 的值
    tempValue = edges[i].end;
    edges[i].end = edges[j].end;
    edges[j].end = tempValue;
    
    //交換edges[i].weight 和 edges[j].weight 的值
    tempValue = edges[i].weight;
    edges[i].weight = edges[j].weight;
    edges[j].weight = tempValue;
}

/* 對(duì)權(quán)值進(jìn)行排序 */
void sort(Edge edges[],MGraph *G)
{
    //對(duì)權(quán)值進(jìn)行排序(從小到大)
    int i, j;
    for ( i = 0; i < G->numEdges; i++)
    {
        for ( j = i + 1; j < G->numEdges; j++)
        {
            if (edges[i].weight > edges[j].weight)
            {
                Swapn(edges, i, j);
            }
        }
    }
    
    printf("邊集數(shù)組根據(jù)權(quán)值排序之后的為:\n");
    for (i = 0; i < G->numEdges; i++)
    {
        printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
    }
    
}

/* 查找連線頂點(diǎn)的尾部下標(biāo) */
//根據(jù)頂點(diǎn)f以及parent 數(shù)組,可以找到當(dāng)前頂點(diǎn)的尾部下標(biāo); 幫助我們判斷2點(diǎn)之間是否存在閉環(huán)問題;
int Find(int *parent, int f)
{
    while ( parent[f] > 0)
    {
        f = parent[f];
    }
    return f;
}

/* 生成最小生成樹 */
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
    int i, j, n, m;
    int sum = 0;
    int k = 0;
    /* 定義一數(shù)組用來判斷邊與邊是否形成環(huán)路
     用來記錄頂點(diǎn)間的連接關(guān)系. 通過它來防止最小生成樹產(chǎn)生閉環(huán);*/
    
    int parent[MAXVEX];
    /* 定義邊集數(shù)組,edge的結(jié)構(gòu)為begin,end,weight,均為整型 */
    Edge edges[MAXEDGE];
    
    /*1. 用來構(gòu)建邊集數(shù)組*/
    for ( i = 0; i < G.numVertexes-1; i++)
    {
        for (j = i + 1; j < G.numVertexes; j++)
        {
            //如果當(dāng)前路徑權(quán)值 != ∞
            if (G.arc[i][j]<INFINITYC)
            {
                //將路徑對(duì)應(yīng)的begin,end,weight 存儲(chǔ)到edges 邊集數(shù)組中.
                edges[k].begin = i;
                edges[k].end = j;
                edges[k].weight = G.arc[i][j];
                
                //邊集數(shù)組計(jì)算器k++;
                k++;
            }
        }
    }
    
    //2. 對(duì)邊集數(shù)組排序
    sort(edges, &G);
    
    
    //3.初始化parent 數(shù)組為0. 9個(gè)頂點(diǎn);
    // for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)
    for (i = 0; i < MAXVEX; i++)
        parent[i] = 0;
    
    //4. 計(jì)算最小生成樹
    printf("打印最小生成樹：\n");
    /* 循環(huán)每一條邊 G.numEdges 有15條邊*/
    for (i = 0; i < G.numEdges; i++)
    {
        //獲取begin,end 在parent 數(shù)組中的信息;
        //如果n = m ,將begin 和 end 連接,就會(huì)產(chǎn)生閉合的環(huán).
        n = Find(parent,edges[i].begin);
        m = Find(parent,edges[i].end);
        //printf("n = %d,m = %d\n",n,m);
        
        /* 假如n與m不等，說明此邊沒有與現(xiàn)有的生成樹形成環(huán)路 */
        if (n != m)
        {
            /* 將此邊的結(jié)尾頂點(diǎn)放入下標(biāo)為起點(diǎn)的parent中。 */
            /* 表示此頂點(diǎn)已經(jīng)在生成樹集合中 */
            parent[n] = m;
            
            /*打印最小生成樹路徑*/
            printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
            sum += edges[i].weight;
        }
    }
    
    printf("sum = %d\n",sum);
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    
    printf("Hello,最小生成樹_Kruskal算法\n");
    MGraph G;
    CreateMGraph(&G);
    MiniSpanTree_Kruskal(G);
    return 0;
}
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