97操碰碰,国产91精品啪,91国产亚洲

功

可能用到的符號(hào)

$30^{\circ}$ , $\int_{0}^{10}(4+2x)dx?$

$30^{\circ}$, $\int_{0}^{10} (4+2x) dx$

知識(shí)點(diǎn)

功的定義與作用
- 功：力在空間上的累積效應(yīng)
- $W=\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{A}^{B}F(s)cos\theta (s)ds$
  微元過(guò)程: $dW=Fcos\theta (x)dx$
  $W=\int_{初態(tài)}^{末態(tài)}Fcos\theta(x)\cdot dx$
恒力的功
- $W=\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\vec{F}\cdot\int_{A}^{B}d\vec{r}=\vec{F}\cdot\Delta\vec{r}$
變力的功
- 直接積分法
- 動(dòng)能定理法
- 建模積分法
  - 1.指名一個(gè)元過(guò)程
    2.寫(xiě)出元功表達(dá)式，其中力 $F$ 和角度 $\theta$ 可能都是位置的函數(shù)
    3.對(duì)元功進(jìn)行定積分

例題

例1. 恒力與位移同向
某物體，收到沿著 $x$ 軸的恒力 $F=10$ 作用，并沿著 $x$ 軸正向移動(dòng)了 $\Delta x=5$ 的位移，則該力做功為( )

解答： $W=F\cdot\Delta {x}=50$

例2. 恒力與位移同向有固定夾角
某物體，收到沿著 $x$ 軸向上 $30^{\circ}$ 的恒力 $F=10$ 作用，并沿著 $x$ 軸正向移動(dòng)了 $\Delta x=5$ 的位移，則該力做功為( )

解答： $W=F\cdot\Delta {x}cos\theta$

例3. 變力：大小不變，夾角 $\theta$ 隨位移變化
某物體，收到大小恒定的力 $F=10$ 作用，且它與 $x$ 軸的夾角 $\theta(x)=x$ 。在該力作用下，物體從坐標(biāo)原點(diǎn)沿著 $x$ 軸正向移動(dòng)到 $x=5$ ，則該力做功為( )

解答： $W=\int_{0}^{5}Fcosx dx=\int_{0}^{5}10cosx dx$
$W=10sinx|_0^5=10sin5$

例4. 變力：方向不變，大小 $F?$ 隨位移變化
某質(zhì)點(diǎn)在力 $\vec{F}=(4+2x)\ \vec{i}?$ 的作用下沿 $x?$ 軸作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在從 $x=0?$ 移動(dòng)到 $x=10?$ 的過(guò)程中，力所做的功為( )

解答： $W=\int_{0}^{10}(4+2x)cos0 dx$
$W=\int_{0}^{10}(4+2x)dx=[x^2+4x]_0^{10}=140J$

例5. 變力：初末狀態(tài)知道，用動(dòng)能定理
質(zhì)量為 $m$ 的質(zhì)點(diǎn)在合外力 $\vec{F}=(4+2v)\ \vec{i}$ 的作用下沿 $x$ 軸作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在從 $v=0$ 移動(dòng)到 $v=10$ 的過(guò)程中，合外力所做的功為( ).

解答： $W=\intop_{0}^{10}(4+2v)dv=140$ ?
錯(cuò)誤;應(yīng)該是 $W=\intop_{0}^{10}(4+2v)dt$
過(guò)程太復(fù)雜，直接用動(dòng)能定理求解更方便：
$W=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2=50m$

作業(yè)
變力做功的常用方法：動(dòng)能定理。質(zhì)量為 $m=2$ 的質(zhì)點(diǎn)，在 $Oxy$ 坐標(biāo)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為 $x=5t$ ， $y=t^{2}$ ，從 $t=2$ 到 $t=4$ 這段時(shí)間內(nèi)，外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功為().

解答： $\vec{v}=5\vec{i}+2t\ \vec{j}$
$v=\sqrt{25+4t^2}$
當(dāng) $t=2$ 時(shí)， $v_1=\sqrt{41}$
當(dāng) $t=4$ 時(shí)， $v_2=\sqrt{89}$
由動(dòng)能定理得： $W=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2=48J$

作業(yè)
變力做功的常用方法：動(dòng)能定理。質(zhì)量 $m=1$ 的質(zhì)點(diǎn)在力 $\vec{F}=2t\ \vec{i}$ 的作用下，從靜止出發(fā)沿 $x$ 軸正向作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則前3秒內(nèi)該力所作的功為()。(動(dòng)量定理）

解答：由動(dòng)量定理 $Ft=m\Delta v$ 得：
$\Delta v=\frac{Ft}{m}$
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cvec%7BF%7D%3D2t%5C%20%5Cvec%7Bi%7D" alt="\vec{F}=2t\ \vec{i}" mathimg="1"> 所以 $F=2t$ 帶入得：
$\Delta v=\frac{2t^2}{m}=v_1-v_0$ $v_0= 0$
當(dāng) $t=3$ 時(shí)， $v_1=\frac{18}{1}=18m/s$
最后由動(dòng)能定理得： $W=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_2^2=162J$

作業(yè)
質(zhì)量 $m=2$ 的物體沿 $x$ 軸作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，所受合外力 $F=1+2x$ 。如果在 $x=0$ 處時(shí)速度 $v_{0}=\sqrt{5}$ ；求該物體運(yùn)動(dòng)到 $x=4$ 處時(shí)速度的大小( )。(動(dòng)能定理）

解答： $W=\int_{0}^{4}Fcos\theta dx=\int_{0}^{4}(1+2x)dx$
$W=[x^2+x]_0^4=20J$
再由動(dòng)能定理： $W=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
得： $v_1=5m/s$

例6. 建模積分法
一人從深度為 $H$ 的井中提水，起始時(shí)桶中裝有質(zhì)量為 $M$ 的水，桶的質(zhì)量為 $M_{0}$ kg，由于水桶漏水，每升高 $1$ 米要漏去質(zhì)量為 $a$ 的水。求水桶勻速緩慢地從井中提到井口人所作的功。
以井底為原點(diǎn)，向上為正方向建立 $x$ 軸。
第一步，關(guān)于積分微小過(guò)程的描述有
(1) 當(dāng)水桶位于 $x$ 位置時(shí)
(2) 當(dāng)水桶從 $x$ 位置上升到 $x+dx$ 的過(guò)程中。
第二步，元功 $F(x)dx$ 應(yīng)表達(dá)為
(3) $(M_{0}+M-xa)gdx$
(4) $(M_{0}+M+xa)dx$
第三步，定積分的寫(xiě)法為
(5) $\intop_{0}^{H}F(x)dx$
(6) $\intop_{M}^{0}F(x)dx?$
以上正確的是( )

解答：（1）（3）（5）

作業(yè)
一鏈條總長(zhǎng)為 $l$ ，質(zhì)量為 $m$ ，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的長(zhǎng)度為 $a$ .設(shè)鏈條與桌面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 $\mu$ 。令鏈條由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，則到鏈條剛離開(kāi)桌面的過(guò)程中，摩擦力對(duì)鏈條作了多少功？