高等代數(shù)理論基礎(chǔ)59：若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)

若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)

若爾當(dāng)塊的初等因子

若爾當(dāng)塊J_0=\begin{pmatrix}\lambda_0&0&\cdots&0&0\\ 1&\lambda_0&\cdots&0&0\\ 0&1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&\lambda_0\end{pmatrix}

的初等因子為(\lambda-\lambda_0)^n

特征矩陣\lambda E-J_0=\begin{pmatrix}\lambda-\lambda_0&0&\cdots&0&0\\ -1&\lambda-\lambda_0&\cdots&0&0\\ 0&-1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&-1&\lambda-\lambda_0\end{pmatrix}?

顯然|\lambda E-J_0|=(\lambda-\lambda_0)^n

即\lambda E-J_0的n級(jí)行列式因子

由\lambda E-J_0有一個(gè)n-1級(jí)子式為

\begin{vmatrix}-1&\lambda-\lambda_0&\cdots&0&0\\ 0&-1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&-1\end{vmatrix}=(-1)^{n-1}

故它的n-1級(jí)行列式因子為1,從而它以下各級(jí)行列式因子全是1

故它的不變因子d_1(\lambda)=\cdots=d_{n-1}(\lambda)=1,d_n(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^n

由此可得\lambda E-J_0的初等因子為(\lambda-\lambda_0)^n

若爾當(dāng)形矩陣的初等因子

設(shè)J=\begin{pmatrix}J_1\\&J_2\\& &\ddots\\& & &J_s\end{pmatrix}為一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣

其中J_i=\begin{pmatrix}\lambda_i&0&\cdots&0&0\\ 1&\lambda_i&\cdots&0&0\\ 0&1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&\lambda_i\end{pmatrix}_{k_i\times k_i}(i=1,2,\cdots,s)

J_i的初等因子為(\lambda-\lambda_i)^{k_i}(i=1,2,\cdots,s),故\lambda E-J_i與\begin{pmatrix}1\\&1\\& &\ddots\\& & &1\\& & & &1\\& & & & &(\lambda-\lambda_i)^{k_i}\end{pmatrix}等價(jià)

故\lambda E-J=\begin{pmatrix}\lambda E_{k_1}-J_1\\&\lambda E_{k_2}-J_2\\& &\ddots\\& & &\lambda E_{k_s}-J_s\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1\\&\ddots\\& &1\\& & &(\lambda-\lambda_1)^{k_1}\\& & & &1\\& & & & &\ddots\\& & & & & &1\\& & & & & & &(\lambda-\lambda_2)^{k_2}\\& & & & & & & &1\\& & & & & & & & &\ddots\\& & & & & & & & & &1\\& & & & && & & & & &(\lambda-\lambda_s)^{k_s}\end{pmatrix}等價(jià)

故J的全部初等因子為

(\lambda-\lambda_1)^{k_1},(\lambda-\lambda_2)^{k_2},\cdots,(\lambda-\lambda_s)^{k_s}

即每個(gè)若爾當(dāng)形矩陣的全部初等因子由它的全部若爾當(dāng)塊的初等因子構(gòu)成

每個(gè)若爾當(dāng)塊完全被它的級(jí)數(shù)n與主對(duì)角線(xiàn)上元素\lambda_0刻畫(huà),而這兩個(gè)數(shù)都反映在它的初等因子(\lambda-\lambda_0)^n中,故若爾當(dāng)塊被它的初等因子唯一確定

若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng)塊排列的次序外被它的初等因子唯一確定

定理：每個(gè)n級(jí)復(fù)數(shù)矩陣A都與一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣相似,這個(gè)若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng)塊的排列次序外被矩陣A唯一確定,稱(chēng)為A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形

證明：

在V中任取一組基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n

設(shè)\mathscr{A}在這組基下的矩陣為A

則存在可逆矩陣T,使T^{-1}AT成若爾當(dāng)形矩陣

在由(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)T確定的基\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n下

線(xiàn)性變換\mathscr{A}的矩陣即T^{-1}AT

唯一性顯然成立\qquad\mathcal{Q.E.D}

注：若爾當(dāng)形矩陣包括對(duì)角矩陣,即由一級(jí)若爾當(dāng)塊構(gòu)成的若爾當(dāng)形矩陣

定理：復(fù)數(shù)矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充要條件為A的初等因子全為一次的

注：矩陣A的最小多項(xiàng)式即A的最后一個(gè)不變因子d_n(x)

定理：復(fù)數(shù)矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充要條件為A的不變因子都沒(méi)有重根

注：每個(gè)復(fù)數(shù)矩陣A都與一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣相似

可規(guī)定上三角形矩陣

\begin{pmatrix}\lambda_0&1&0&\cdots&0&0\\ 0&\lambda_0&1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&\lambda_0&1\end{pmatrix}為若爾當(dāng)塊

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