來(lái)源：《世界哲學(xué)》2015年第2期

導(dǎo)言

康德在《純粹理性批判》開篇就談到了算術(shù)與幾何命題的先天綜合特征，尤其對(duì)于幾何學(xué)來(lái)說(shuō)，其綜合基礎(chǔ)是作為純粹直觀形式的空間。但康德主要依賴單一的幾何學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)研究其本質(zhì)，并在相當(dāng)程度上受限于這種觀察，因此十九世紀(jì)射影幾何、仿射幾何及微分幾何等新型學(xué)科的出現(xiàn)，不僅給數(shù)學(xué)家提供了空前豐富的觀念素材，而且對(duì)康德的設(shè)想提出了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。一個(gè)直接的矛頭就是指向幾何學(xué)對(duì)空間直觀性的依賴：所謂的“直觀”真的是幾何學(xué)的本質(zhì)要素嗎？

自克萊因（Felix Klein）的埃爾朗根綱領(lǐng)提出20多年后，希爾伯特在19世紀(jì)末重新思考了傳統(tǒng)的歐氏幾何及其哲學(xué)基礎(chǔ)，但根本上離開了康德式進(jìn)路。他認(rèn)為，幾何學(xué)應(yīng)該與魏爾施特拉斯的分析學(xué)一樣有嚴(yán)格的基礎(chǔ)，但需要盡可能排除質(zhì)料性和直觀性的因素，幾何學(xué)的代數(shù)化并不是徹底的方法，空間對(duì)象的本質(zhì)不能僅按照種種運(yùn)動(dòng)變換來(lái)分析，而要以一種新的方式回到歐幾里德的道路上去，即用純粹的、形式的公理化方法來(lái)建立幾何學(xué)。這樣一來(lái)，幾何學(xué)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)的意義就發(fā)生了變化，在最基本的層次上，數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心特征不再是從某些直觀中被給予的對(duì)象出發(fā)建立體系，也并非籠統(tǒng)地用一種模式整合各類對(duì)象，而是從一開始就僅存在于某種抽象的關(guān)系之上?？傊?，希爾伯特認(rèn)為這種純粹的關(guān)系或結(jié)構(gòu)本身才是數(shù)學(xué)的真正基礎(chǔ)，而這些思想的明確表述出現(xiàn)在《幾何基礎(chǔ)》的第一版中。

弗雷格在看完《幾何基礎(chǔ)》之后，立即對(duì)這種新的公理化思想提出了自己的批評(píng)。在與希爾伯特通信中，他提出了三項(xiàng)質(zhì)疑：首先是公理化方法的實(shí)質(zhì)，其次是定義與公理的界限問(wèn)題，最后是關(guān)于系統(tǒng)一致性的證明。這三個(gè)方面互相關(guān)聯(lián)，且處于層進(jìn)的關(guān)系中，是雙方爭(zhēng)論的焦點(diǎn)，而公理化思想最終是否有效可行就取決于對(duì)這些問(wèn)題的理解。

一

弗雷格認(rèn)為，公理化方法要面對(duì)的首要問(wèn)題就是確定公理本身的性質(zhì)是什么。按照一種保守的理解，體系的公理是其他命題的源頭，它們是演繹的起點(diǎn)，同時(shí)也是命題為真的最終保證。為了達(dá)到辯護(hù)的結(jié)果，把某些命題論證為真的，我們就總要從一些基本的前提出發(fā)，而這些前提本身的真理性不能來(lái)自于論證或推理。問(wèn)題在于，作為演繹起點(diǎn)的原始命題一方面必須是“真的”，另一方面必須是“不可證明”的。那么它們的真來(lái)自哪里呢？不論是弗雷格還是希爾伯特都用康德的方式回答這個(gè)問(wèn)題，認(rèn)為幾何學(xué)命題的原始真理應(yīng)當(dāng)?shù)旎诳臻g直觀上。[1]在涉及到公理體系的基礎(chǔ)時(shí)，弗雷格同樣認(rèn)為，這些公理不能隨便選來(lái)，而是應(yīng)當(dāng)表明自身的真理性是顯然的。那么這種“顯然”從哪來(lái)呢？顯然它只能來(lái)自我們對(duì)幾何對(duì)象的直觀，而這一點(diǎn)實(shí)際上包含著更深刻的問(wèn)題。

希爾伯特在一定程度上繼承了克萊因的思想，因?yàn)閹缀螌W(xué)的統(tǒng)一化、甚至數(shù)學(xué)的統(tǒng)一化，都是雙方的目標(biāo)?？巳R因讓幾何學(xué)統(tǒng)一在群論下的觀點(diǎn)也并非是簡(jiǎn)單地把幾何代數(shù)化，而是根本上提出了數(shù)學(xué)領(lǐng)域各學(xué)科之間統(tǒng)一性和綜合性的思想，只不過(guò)這種思想并非建立在柏林學(xué)派對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的嚴(yán)格要求之上，而是直接來(lái)自數(shù)學(xué)實(shí)踐。以克萊因?yàn)榇淼姆枪砘M(jìn)路與希爾伯特倡導(dǎo)的公理化進(jìn)路有著基本區(qū)別，但是否公理化只是兩條路線的表面差異，希爾伯特還在更深的層面上洞察到了克萊因的問(wèn)題。兩位數(shù)學(xué)家都承認(rèn)直觀基礎(chǔ)是必不可少的，但問(wèn)題在于這是一種什么樣的直觀。在群論觀點(diǎn)下，空間事物本身的幾何性質(zhì)統(tǒng)一于代數(shù)方法下的基本條件是采取一種運(yùn)動(dòng)變換的觀點(diǎn)尋找不變量。對(duì)象僅在認(rèn)識(shí)者方面表現(xiàn)為處于時(shí)間直觀中的現(xiàn)象。希爾伯特恰恰在這個(gè)意義上反對(duì)克萊因，因?yàn)槟欠N觀點(diǎn)下的時(shí)間直觀是不可避免的引入因素，但幾何學(xué)在本質(zhì)上應(yīng)當(dāng)只是關(guān)于事物的空間性，是一種僅僅和位置、形態(tài)相關(guān)的存在，變化和運(yùn)動(dòng)在此毫無(wú)關(guān)聯(lián)。換言之，空間直觀是幾何學(xué)唯一的本質(zhì)，盡管幾何對(duì)象的被給予總是需要奠基于時(shí)間意識(shí)中，但就其自身的構(gòu)形來(lái)講，它們作為理想化的事物（理想的點(diǎn)線面）具有超時(shí)間性，時(shí)間直觀不屬于對(duì)象本質(zhì)。

《幾何基礎(chǔ)》中的看法甚至更進(jìn)一步，它已經(jīng)離開了對(duì)直觀性的關(guān)注而徹底轉(zhuǎn)向純粹形式的東西。雖然他未否認(rèn)空間直觀的奠基作用，但強(qiáng)調(diào)幾何學(xué)的核心要素或者說(shuō)公理化方法的實(shí)質(zhì)在于純粹形式上的系統(tǒng)統(tǒng)一性。即便是歐氏幾何的公理，盡管最初形成是由于對(duì)經(jīng)驗(yàn)事物的直觀與觀念化，但在新觀點(diǎn)下，甚至這一步也失去了本質(zhì)的地位。一切具體的東西、帶有經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)料的表述，都不再是關(guān)鍵。

弗雷格原則上同意希爾伯特對(duì)直觀的看法，但反對(duì)將之排除出公理的性質(zhì)。弗雷格認(rèn)為談?wù)摷兇庑问缴系南到y(tǒng)統(tǒng)一是空洞的，而希爾伯特在公理中表述的幾何對(duì)象缺乏定義，或者說(shuō)它們根本不是什么有意義的東西。在1899年12月27日給希爾伯特的信中，弗雷格寫道：“‘點(diǎn)’、‘線’、‘面’的含義都沒有給出，而是被假定為事先知道的東西……我們一開始在歐氏幾何的意義上理解‘點(diǎn)’，但接下來(lái)你又把數(shù)對(duì)也叫作‘點(diǎn)’……公理被迫負(fù)載了原本應(yīng)當(dāng)屬于定義的負(fù)擔(dān)?！盵2]弗雷格發(fā)現(xiàn)通常的理解在這里完全失效了，因?yàn)橐坏┯梅?hào)去替換它就會(huì)發(fā)現(xiàn)這根本不影響公理的表達(dá)。[3]如此一來(lái)，公理中的詞項(xiàng)就成了無(wú)意義的東西，命題究竟在講什么也就成了個(gè)謎。希爾伯特在兩天之后的回信中對(duì)此表明了態(tài)度：“我并不假定任何事先知道的東西，我把我的解釋視作對(duì)那些概念的定義……如果人們追求一個(gè)‘點(diǎn)’的其他定義，那么……他就在找永遠(yuǎn)找不到的東西，因?yàn)楸緛?lái)就什么都沒有?！盵4]

二

由此，弗雷格對(duì)希爾伯特的第二點(diǎn)指責(zé)——即后者混淆了定義與公理——就與一開始提出的質(zhì)疑結(jié)合起來(lái)了，因?yàn)榧偃缫粋€(gè)命題中的詞匯沒有得到定義，那么這個(gè)命題就沒有表達(dá)任何思想，也不會(huì)有真值，如此一來(lái)公理化方法的目標(biāo)就絲毫不明確。按照弗雷格在那封信中的理解，我們總是先用定義的方式賦予符號(hào)、表達(dá)式或語(yǔ)詞以意義，然后再“把定義變成一個(gè)自明的命題，讓它可以像公理一樣來(lái)使用”。[5]公理絕對(duì)不能是無(wú)真值的命題，毋寧說(shuō)它應(yīng)當(dāng)是一切演繹得到的真命題的先決條件。這種缺乏實(shí)質(zhì)的公理化根本不能成立，更不用說(shuō)拿公理去定義概念了。

但希爾伯特想的完全是另一回事，他認(rèn)為詞語(yǔ)的原始含義非但不成為問(wèn)題，而且含義本身也是非本質(zhì)的東西，原則上“必定總是可以用‘桌子’、‘椅子’、‘啤酒杯’來(lái)代替‘點(diǎn)’、‘直線’和‘平面’”。[6]公理化方法對(duì)于幾何學(xué)的意義已經(jīng)超越了單純的語(yǔ)義層面而轉(zhuǎn)向一種語(yǔ)形結(jié)構(gòu)自身的邏輯性，借此實(shí)際上改變了幾何學(xué)的原初意義，從空間中的理想對(duì)象轉(zhuǎn)向了更抽象更高階的關(guān)系性本身。數(shù)學(xué)對(duì)象的意義不再是自下而上地從直觀中被統(tǒng)覺的對(duì)象過(guò)渡到觀念客體，而是自上而下地直接從一種更普遍的觀點(diǎn)而特殊化，直觀的意義已經(jīng)不再作為保真條件，邏輯性才是唯一的重點(diǎn)。正如希爾伯特的助手貝爾奈斯（Paul Bernays）所言：“一個(gè)公理體系不再被看作關(guān)于一個(gè)主題事物的陳述系統(tǒng)，而是作為一種關(guān)系結(jié)構(gòu)的條件的體系……邏輯的依賴性從其自身出發(fā)得到研究，而在推理中，我們必須僅僅依賴符號(hào)的如下性質(zhì)，亦即它們要么得到了明確的假定，要么是邏輯地從假設(shè)與公理中得出來(lái)的?！盵7]

進(jìn)一步看，希爾伯特似乎完全沒有考慮弗雷格的涵義與指稱理論，還正面駁斥了弗雷格要求從詞語(yǔ)“定義”出發(fā)規(guī)定公理命題的“思想”的傳統(tǒng)進(jìn)路。前面已經(jīng)講過(guò)，按照弗雷格的想法，所謂“公理”就必須是通過(guò)有良好定義的（well-defined）詞語(yǔ)構(gòu)建起來(lái)的真命題，命題的真取決于對(duì)詞語(yǔ)意義和詞間關(guān)系的理解，而現(xiàn)在希爾伯特完全將基礎(chǔ)層面的東西抽空，那么命題也就不可能有任何真假可言?？墒牵柌仉m然反對(duì)用更原始的意義來(lái)填充公理詞項(xiàng)的內(nèi)容，卻仍然認(rèn)為詞項(xiàng)可以定義，而且定義恰恰是通過(guò)命題的語(yǔ)法關(guān)系來(lái)賦予的。舉例來(lái)說(shuō)，正如弗雷格也注意到的那樣，三個(gè)點(diǎn)A、B、C在一條直線上的話，那么所謂“B在A和C之間”其實(shí)沒有任何直觀含義的假象，一旦撥去偽裝，這句話完全就可以寫成“B pat A nam C”，而希爾伯特的順序公理即公理II 1[8]就可以寫成“如果B pat A nam C，那么B pat C nam A”。這兩個(gè)關(guān)聯(lián)詞pat和nam完全不需要與日常含義相比，它們可以僅僅表達(dá)一種抽象甚至空洞的連接關(guān)系。[9]但是這種關(guān)系并非可有可無(wú)，因?yàn)樵~項(xiàng)A、B、C的含義已經(jīng)在這種關(guān)系中得到了確定，盡管關(guān)聯(lián)詞完全是形式的，尚未被進(jìn)一步解釋，但它們指示了詞項(xiàng)及命題的形式本質(zhì)。然而對(duì)弗雷格來(lái)講，此關(guān)系絕沒有表達(dá)任何真理，也不能指望它會(huì)對(duì)詞項(xiàng)說(shuō)出些什么，這種所謂的“公理”并不是偽命題[10]，因?yàn)樗旧淼闹干娌糠植]有涵義與指稱，也沒有留出空位，而只是徹頭徹尾的偽公理。希爾伯特所講的“關(guān)系”原本應(yīng)當(dāng)是一個(gè)多元函數(shù)，其變?cè)菍Ｃ麑?duì)象，但現(xiàn)在這種偽公理把概念放在其下，自身表達(dá)出了關(guān)于這種概念的概念，或者說(shuō)一個(gè)第二層次的（second level）概念。因此這里就出現(xiàn)了兩個(gè)基本的問(wèn)題：首先是數(shù)學(xué)公理按其性質(zhì)被迫涉及到二階的情況，它對(duì)于一階的概念（即關(guān)系）有所斷言，因而自身已經(jīng)不是平凡的數(shù)學(xué)命題了。其次，它所表達(dá)的真理仍然必須通過(guò)對(duì)一階的關(guān)系的考察而得到確定，而這種確定的可能性在希爾伯特的公理中付諸闕如，因?yàn)楹笳邠?jù)說(shuō)要反過(guò)來(lái)用更高層次的關(guān)系去定義下級(jí)概念，那么命題的真值當(dāng)然是懸而未決的。

就此點(diǎn)爭(zhēng)論而言，兩人的分歧主要在公理與定義二者對(duì)真值的關(guān)系上：弗雷格認(rèn)為只能從基本的定義與真值確定的角度出發(fā)才能談得上有“公理”，但希爾伯特從一開始就反對(duì)把傳統(tǒng)的真理觀套用在公理化方法中，因?yàn)榻?jīng)典意義上的“公理”和“公理化”視角下的系統(tǒng)觀念是完全不同的，對(duì)公理化方法來(lái)講，比真理觀更重要的是合法性的保證。盡管合法性顯然是傳統(tǒng)真理論的題中之義，但當(dāng)前的問(wèn)題是，數(shù)學(xué)意義上的真理是否只需要涉及一個(gè)較小的區(qū)域，或者說(shuō)要求一種不那么強(qiáng)的保證。這就需要在弗雷格對(duì)系統(tǒng)一致性證明的批評(píng)中繼續(xù)討論了。

三

對(duì)于第三個(gè)問(wèn)題，也就是希爾伯特要求的命題真與系統(tǒng)一致性的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在弗雷格于1899年底寫給希爾伯特的那封信里就已經(jīng)表示，他“把公理看作不是通過(guò)證明得來(lái)的真命題……而由公理的真可以推出它們互相之間不矛盾。因此根本不需要進(jìn)一步的證明”。[11]前面說(shuō)過(guò)，弗雷格認(rèn)為幾何學(xué)公理的真值由最初的空間直觀保證，而希爾伯特雖然在最基本的意義上同意直觀對(duì)于幾何學(xué)的貢獻(xiàn)，但涉及到公理的核心特點(diǎn)時(shí)，他恰恰認(rèn)為直觀并不是第一要義。并非所有從直觀經(jīng)驗(yàn)中得來(lái)的真命題都可以稱為公理，也不是說(shuō)自身的真不需要邏輯證明的命題就是公理，而是只有那些處于體系中并成為其他命題的邏輯基礎(chǔ)的原初命題才是公理。

換言之，這個(gè)問(wèn)題的焦點(diǎn)集中在命題的真值究竟是建立在語(yǔ)義學(xué)上還是語(yǔ)法學(xué)上，是單獨(dú)的語(yǔ)義先行還是整體的語(yǔ)法結(jié)構(gòu)先行。弗雷格的立場(chǎng)很清楚：公理按其語(yǔ)義構(gòu)造方式來(lái)說(shuō)就是先天為真的，并且立即可以得出體系本身的一致性。希爾伯特則認(rèn)為，不能像弗雷格那樣去考慮傳統(tǒng)的語(yǔ)義學(xué)對(duì)于單個(gè)命題之真的保證，而應(yīng)當(dāng)從語(yǔ)法學(xué)的角度談?wù)撎幱谙到y(tǒng)整體之中的公理意義。這首先體現(xiàn)在他對(duì)數(shù)學(xué)系統(tǒng)性的強(qiáng)調(diào)：即這種系統(tǒng)一致性才是命題真值的唯一保證，假如一個(gè)命題不能在系統(tǒng)內(nèi)證明為假（即它的否命題得證），而且也不與系統(tǒng)內(nèi)任何命題矛盾，那它就是“真”的。希爾伯特認(rèn)為數(shù)學(xué)命題不同于一般命題，前者的意義只有在公理化以后才完全呈現(xiàn)出來(lái)，原先的直觀也許奠基了公理命題的可理解性，但這是在語(yǔ)義層面看來(lái)才是如此，就語(yǔ)法層面而論，命題中對(duì)象本身的意義不需要牽涉形式之外的任何解釋。公理首先是形式的確定性，其次才談得上命題在各種解釋模型中的真假，語(yǔ)法的一致性與完備性要先行于語(yǔ)義上的真值和一致性問(wèn)題。

從更深的層次來(lái)講，對(duì)于語(yǔ)義和語(yǔ)法的各執(zhí)一詞實(shí)際上反映了弗雷格和希爾伯特對(duì)數(shù)學(xué)命題之可理解性的兩種截然不同的態(tài)度。什么叫“理解”數(shù)學(xué)命題？在弗雷格看來(lái)，無(wú)論什么命題，要對(duì)它作出整體的理解或者說(shuō)使它有意義，都必須對(duì)詞項(xiàng)先行作出賦義，沒有賦義就沒有意義。但希爾伯特認(rèn)為命題的意義不只有一種理解方式，因?yàn)槊}并不只有一種類型。我們可以說(shuō)命題具有某種意義，但這并不必然意味著只有一種方式來(lái)確定意義，更不要求必須以一種已知的素樸的方式去先行賦義。對(duì)命題意義之理解的傳統(tǒng)做法不適用于數(shù)學(xué)命題，因?yàn)楹笳呤且环N本質(zhì)上只能先存在于體系當(dāng)中而后才具有意義的特殊事物。

進(jìn)而言之，既然弗雷格一開始就把普通命題與數(shù)學(xué)命題等而視之，從既有的真命題出發(fā)建立數(shù)學(xué)系統(tǒng)，因此必然不會(huì)遇到數(shù)學(xué)對(duì)象的存在性問(wèn)題和系統(tǒng)的一致性問(wèn)題。按弗雷格的想法，希爾伯特對(duì)系統(tǒng)一致性的討論是多此一舉：我們已經(jīng)知道公理是真的了，那一致性還能有什么問(wèn)題？但希爾伯特反其道而行之，他的體系中除了公理之“真”以外還附加了數(shù)學(xué)對(duì)象的“存在”之論斷，這個(gè)觀點(diǎn)揭示了更深刻的哲學(xué)分歧，我們或可以稱之為形式主義和數(shù)學(xué)柏拉圖主義之間的分歧。

由于論題所限，本文無(wú)法深入這個(gè)話題，但可以說(shuō)，十九世紀(jì)后半葉許多大數(shù)學(xué)家都相信數(shù)學(xué)對(duì)象與數(shù)學(xué)概念都應(yīng)該以嚴(yán)格的方式給出定義，并分析地建立起整套理論。然而這些人對(duì)于數(shù)學(xué)的對(duì)象究竟是什么東西，它們是否存在以及如何存在，有著不同看法。希爾伯特作為繼承分析學(xué)派精神的人固然也認(rèn)為數(shù)學(xué)概念應(yīng)當(dāng)?shù)玫匠浞侄x，數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)與對(duì)象區(qū)域有明確的關(guān)系，但這并不必然導(dǎo)致人們需要贊同某種柏拉圖主義?？巳R因綱領(lǐng)的成功經(jīng)驗(yàn)告訴我們數(shù)學(xué)研究有其獨(dú)特的整體視角，在與特定區(qū)域關(guān)聯(lián)時(shí)，人們完全可以獨(dú)立把握諸區(qū)域的共同本質(zhì)而不用首先關(guān)心每個(gè)區(qū)域?qū)ο笞陨硖赜械拇嬖诜绞?。因此形式主義的研究分離了數(shù)學(xué)對(duì)象的本體論與數(shù)學(xué)研究的方法論，也否定了傳統(tǒng)上本體論先行的做法，甚至反過(guò)來(lái)讓數(shù)學(xué)方法來(lái)決定其對(duì)象的存在性質(zhì)?？墒且磺蟹椒ǘ加袃擅嫘?，當(dāng)希爾伯特反對(duì)弗雷格等人從傳統(tǒng)哲學(xué)出發(fā)的觀點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)其公理化的革命性特點(diǎn)時(shí)，也意味著數(shù)學(xué)形式已經(jīng)遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與認(rèn)識(shí)問(wèn)題了，高度形式化的數(shù)學(xué)真的可以與理解無(wú)關(guān)嗎？也許胡塞爾的看法會(huì)給提供某些啟發(fā)。
　
四

希爾伯特一方面認(rèn)為幾何學(xué)終究還是關(guān)于空間直觀的邏輯分析，[12]另一方面又始終堅(jiān)持公理化的優(yōu)點(diǎn)就是保持幾何學(xué)的邏輯性和純粹性，避免一切直觀內(nèi)容的混雜，[13]因此他對(duì)公理化幾何與空間直觀的關(guān)系究竟持什么態(tài)度還需要更詳細(xì)的說(shuō)明，可惜他本人沒有給出專題論述。而對(duì)我們來(lái)講，這里更重要的問(wèn)題或許是：一般而言，幾何與直觀經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系到底是什么。胡塞爾雖然在公理化問(wèn)題上支持希爾伯特的觀點(diǎn)，[14]但他也看出了公理化幾何與經(jīng)典幾何的本質(zhì)差異，也就是說(shuō)公理化的洞見并非集中在對(duì)幾何關(guān)系的直觀上，而是在特殊的超幾何的關(guān)系上，更關(guān)注普遍的、“范疇的”東西。[15]即使我們最終總是在談?wù)撃撤N空間性，這里也仍然存在多義的空間概念，比如直觀的空間并非幾何學(xué)的空間，后者作為范疇對(duì)象需要一種更原初的被給予物來(lái)奠基，同時(shí)還要說(shuō)明如何奠基。[16]毫無(wú)疑問(wèn)，幾何學(xué)的這種奠基性質(zhì)不僅為現(xiàn)象學(xué)所重視，同時(shí)也是弗雷格與希爾伯特都注意到的情形，只是因?yàn)槟承┰騼扇硕紱]有繼續(xù)推進(jìn)這個(gè)研究。但反過(guò)來(lái)講，正因?yàn)樗麄儗?duì)奠基性問(wèn)題的分析不夠徹底，才導(dǎo)致了彼此在對(duì)數(shù)學(xué)命題的理解問(wèn)題上呈現(xiàn)出一種特有的“二律背反”。

簡(jiǎn)言之，弗雷格看到了命題具有意義的條件在于對(duì)其詞項(xiàng)內(nèi)容的先行賦義，這一點(diǎn)正如胡塞爾在《邏輯研究》第二卷一開始表明的那樣，賦義行為是含義表達(dá)的基本條件。但前者理所當(dāng)然地認(rèn)為這種賦義就是語(yǔ)義層面上的關(guān)系，從已知的含義到數(shù)學(xué)對(duì)象的定義之間有一條直接的道路，是邏輯的、客觀的。胡塞爾的批評(píng)則基于如下思路：已知的、素樸的意義對(duì)于建構(gòu)觀念對(duì)象的確具有基本的作用，但這種作用是以作為素材的奠基方式實(shí)現(xiàn)的，觀念對(duì)象的產(chǎn)生根本上依賴于一種意向性和范疇化的成就，而不是單純的邏輯定義，賦義活動(dòng)不能簡(jiǎn)化為語(yǔ)義的東西。而希爾伯特看到了數(shù)學(xué)命題的特殊性，即一種系統(tǒng)和語(yǔ)法先行的特征，但之所以無(wú)法說(shuō)服弗雷格，是因?yàn)榍罢叩膹?qiáng)調(diào)在客觀上弱化了意義起源的事實(shí)方面，即便數(shù)學(xué)對(duì)象的意義依賴于系統(tǒng)性，但畢竟仍具有一層和現(xiàn)實(shí)連接的關(guān)系。對(duì)于這層關(guān)系的重視恰恰是構(gòu)造數(shù)學(xué)對(duì)象之可理解性的關(guān)鍵。雖然希爾伯特畢竟承認(rèn)經(jīng)驗(yàn)中的點(diǎn)、線、面是直觀起源，可是他完全把這些直觀起源作為數(shù)學(xué)產(chǎn)生的非本質(zhì)要素，當(dāng)一種偶然的事實(shí)處理。而在現(xiàn)象學(xué)看來(lái)，這些經(jīng)驗(yàn)恰恰不是什么權(quán)宜之計(jì)或可有可無(wú)的東西，而是極為本質(zhì)性的奠基因素，對(duì)幾何學(xué)甚至整個(gè)數(shù)學(xué)的意義分析只能從這個(gè)角度出發(fā)。

胡塞爾發(fā)現(xiàn)直觀內(nèi)容的給予和形式科學(xué)的建立之間存在著一種基本距離，這并不是埃爾朗根綱領(lǐng)或公理化思想獨(dú)有的，因?yàn)楝F(xiàn)代的數(shù)學(xué)采取的新視角無(wú)非是一種更徹底更抽象的步驟，而早在這種方法實(shí)行之前，古希臘人就從大地測(cè)量術(shù)（geo-metria）走到了歐幾里德的科學(xué)，這已讓幾何有了最根本的東西。要說(shuō)明這點(diǎn)，就必須闡明兩個(gè)基本問(wèn)題：首先是我們?nèi)绾慰赡馨褞缀螌?duì)象把握為一種先天（a priori）的、本質(zhì)的東西，它雖然的確通過(guò)更原始的偶然的經(jīng)驗(yàn)素材構(gòu)成，但其自身具有一種必然且確定的性質(zhì)；其次是為何最初的幾何學(xué)是這種結(jié)構(gòu)而不是別的樣子。這兩個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于在追問(wèn)幾何學(xué)在主體意識(shí)中的發(fā)生條件，也就是它的必要條件與充分條件。簡(jiǎn)言之，胡塞爾的思路大致如下：

通過(guò)對(duì)日常經(jīng)驗(yàn)中的空間客體作構(gòu)造分析，我們發(fā)現(xiàn)平時(shí)所熟悉的事物從一開始就已經(jīng)包含了一種幾何態(tài)度。一些大型客體諸如房子、山川、海洋等等，本質(zhì)上不同于小物體，因?yàn)樗鼈兌疾皇侵苯语@現(xiàn)給我們的東西，無(wú)法在一個(gè)場(chǎng)景中得到統(tǒng)覺，而是必須通過(guò)一系列連續(xù)的直觀綜合活動(dòng)組成。這些綜合活動(dòng)最終得以統(tǒng)一依賴于一種先行的同一性意識(shí)，也就是將需要綜合的客體觀念本身作為直觀空間中的界限，把在綜合活動(dòng)中的部分意識(shí)現(xiàn)象認(rèn)定為屬于同一個(gè)事物整體。因此直觀的部分空間性本身就包含有對(duì)象的觀念性意義（對(duì)象作為空間形體）和邏輯意義（部分與整體的關(guān)聯(lián)），從而它們的整體，亦即可經(jīng)驗(yàn)到的全部空間，才可能被觀念化為一種單一的空間總體。從直觀空間到幾何空間正是觀念化活動(dòng)的徹底結(jié)果，正如希爾伯特所言，此時(shí)的直觀部分需要完全讓位于一種只能單純理解但已經(jīng)無(wú)法直觀地被給予的內(nèi)容了。我們?cè)诓糠挚臻g直觀中得到的點(diǎn)、線、面的概念屬于奠基于經(jīng)驗(yàn)性直觀上的范疇化活動(dòng)的結(jié)果，但這種范疇化或觀念化最初并不具有幾何學(xué)意義。真正的幾何學(xué)觀念化（Ideation）是一種更高級(jí)的理想化（Idealization）過(guò)程，[17]它所確定的是一個(gè)比普通觀念更抽象也更精確的本質(zhì)，而理想化對(duì)象就是這種本質(zhì)的化身。此外，在經(jīng)驗(yàn)世界中我們所遭遇的部分直觀客體中間還包含著基本對(duì)象之間的構(gòu)形關(guān)系（morphological relations），對(duì)這種關(guān)系的理想化屬于另一種類型，它奠定了我們將幾何對(duì)象結(jié)合在邏輯關(guān)系中的基礎(chǔ)。兩種理想化合在一起才提供了幾何學(xué)公理基本要素。

除了對(duì)必要條件的解釋外，幾何學(xué)發(fā)生的充分條件也需要說(shuō)明，即它為何是如此而非別的形態(tài)。但這問(wèn)題不能只從邏輯的角度回答，而需借助幾何學(xué)發(fā)展的歷史來(lái)看。幾何觀念的每一步發(fā)展都由前一次觀念所奠基，比如從大地測(cè)量到三維歐氏幾何再到非歐幾何、拓?fù)鋵W(xué)等等，任何一次發(fā)展除了對(duì)幾何基礎(chǔ)的認(rèn)識(shí)改變之外，還同時(shí)受到它所關(guān)注的方向的限制。就歐氏幾何來(lái)講，它奠定在對(duì)生活世界的第一次理想化之上，因此人類的基本經(jīng)驗(yàn)使得幾何學(xué)必定要以與直觀最接近的方式實(shí)現(xiàn)出來(lái)。而在平行公理的疑難有所突破時(shí)，不同幾何學(xué)之間的差異也必定只體現(xiàn)在對(duì)這一公理的態(tài)度上。當(dāng)我們關(guān)注的焦點(diǎn)轉(zhuǎn)移到剛體運(yùn)動(dòng)中的不變量或守恒關(guān)系時(shí)，仿射幾何、射影幾何以及幾何與抽象代數(shù)的結(jié)合就是順理成章的結(jié)果了。從本質(zhì)學(xué)（Eidetik）的觀點(diǎn)看，幾何學(xué)每次有所突破的同時(shí)也都蘊(yùn)含著突破的限度和方向所受到的必然限制，高觀點(diǎn)下擴(kuò)展幾何學(xué)類型時(shí)，它們必定呈現(xiàn)為某些特定形態(tài)而不是其他樣子。直到希爾伯特的公理化，理想化方法達(dá)到了其頂點(diǎn)，因?yàn)橐磺匈|(zhì)料性的語(yǔ)義內(nèi)容都被抽象掉，數(shù)學(xué)的形式本質(zhì)或結(jié)構(gòu)本質(zhì)成為其唯一特征，而最終的可理解性也不是傳統(tǒng)意義上的了，特定區(qū)域的數(shù)學(xué)需要上升為更高階的理論，新的研究需要具備最高的普遍性，它包含了低階理論本身的全部可能性。
　
五

胡塞爾在1900年前后對(duì)公理化問(wèn)題的研究結(jié)果構(gòu)成了他流形論（Mannigfaltigkeitslehre）思想的主干。雖然關(guān)于數(shù)學(xué)哲學(xué)的基本問(wèn)題上他傾向于希爾伯特的進(jìn)路，但對(duì)于邏輯學(xué)和本質(zhì)學(xué)的深入思考使得他在整個(gè)哲學(xué)領(lǐng)域推進(jìn)并擴(kuò)展了這種思想。在《邏輯研究》第一卷中，胡塞爾明確提出了純粹邏輯學(xué)的三步計(jì)劃：首先是純粹概念的完整理論，其次要研究概念之間關(guān)系的規(guī)律并發(fā)展成一門系統(tǒng)的理論，而最終的大全形態(tài)是關(guān)于理論的理論，它“探討理論所具有的關(guān)系規(guī)律的本質(zhì)類型”。[18]胡塞爾在十九世紀(jì)末意識(shí)到幾何中的“流形”（Mannigfaltigkeit）概念對(duì)自己的邏輯學(xué)與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究也有重大意義，將其引入現(xiàn)象學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)的計(jì)劃中，并把關(guān)于一切可能的理論全體所作的分析稱為“流形論”。。他認(rèn)為，邏輯學(xué)及數(shù)學(xué)的對(duì)象根本上是某種語(yǔ)法形式，其任務(wù)就是考察這些純形式之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。胡塞爾的“流形論”有兩種基本含義：作為綱領(lǐng)的流形論應(yīng)當(dāng)涵蓋所有本體論，刻劃一切可能本質(zhì)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系；而作為某種局部理論形態(tài)的流形論則是考察從對(duì)象中直觀到的諸本質(zhì)之間的高階關(guān)系，這種關(guān)系不僅限定了事態(tài)的所有可能情形，而且也規(guī)定著這些事態(tài)到底是什么，因?yàn)樗顷P(guān)于對(duì)象之所是的本質(zhì)學(xué)。[19]這兩種含義在希爾伯特的公理化方法中都能找到，如在幾何學(xué)這種局部理論上，新視角并不關(guān)注幾何元素自身的空間屬性，而是關(guān)心一些純形式關(guān)系，不是從已定義的對(duì)象出發(fā)建立關(guān)系，而是用本質(zhì)關(guān)系去規(guī)定對(duì)象的區(qū)域與內(nèi)涵。只不過(guò)這種規(guī)定并不是直接指出來(lái)的，因?yàn)閷?duì)象沒有在指示的（ostensive）意義上得到確定，毋寧說(shuō)一開始被確定的就是由無(wú)內(nèi)涵概念構(gòu)成的整個(gè)類。胡塞爾雖然認(rèn)為流形論與公理化方法之間有明顯的共同點(diǎn)，但對(duì)于哲學(xué)家來(lái)講，更重要的是去論證各種數(shù)學(xué)觀念形態(tài)之間的生成關(guān)系，這樣才能為新方法找到合理辯護(hù)。[20]

在早年的算術(shù)哲學(xué)研究中，胡塞爾就把數(shù)的概念放在代數(shù)學(xué)思想的生成背景中看待，他看到算術(shù)的發(fā)展有三個(gè)基本的步驟。一開始的算術(shù)只是一種技術(shù)操作，大家只管擺弄具體的數(shù)字而不去關(guān)心更多的東西。后來(lái)通過(guò)一種最初的理想化，人們逐漸有了普遍的數(shù)的觀念，把自然數(shù)作為一個(gè)類，而將具體數(shù)字置于其下，并給出了數(shù)系的一些法則。到了近代，更一般的算術(shù)又以字母代數(shù)的方法反映了對(duì)關(guān)系意義的洞見，從而以諸如a+b=b+a的形式把算式中最本質(zhì)的東西表達(dá)出來(lái)，此時(shí)無(wú)論是具體的數(shù)系還是規(guī)則都不再重要，核心問(wèn)題是如何用純形式的方法來(lái)表示一般對(duì)象之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)——這正是抽象代數(shù)的根本思想。胡塞爾從本質(zhì)角度刻劃的算術(shù)觀念史也適用于其他數(shù)學(xué)分支乃至整個(gè)數(shù)學(xué)，尤其當(dāng)公理化或流形論思想成為主導(dǎo)路線時(shí)，這就更明顯。最初的數(shù)學(xué)局限在一種確定的對(duì)象性里，這些對(duì)象被認(rèn)為是絕對(duì)實(shí)在的、超越于我們之外的東西，這就是數(shù)學(xué)柏拉圖主義的立場(chǎng)。但在所謂的“游戲規(guī)則的數(shù)學(xué)”觀點(diǎn)下，數(shù)學(xué)對(duì)象被剝?nèi)チ税乩瓐D式的素樸本體論意味。算術(shù)的本質(zhì)是一種有規(guī)則的游戲運(yùn)算，就和下棋一樣，棋盤與棋子的一切物理性質(zhì)和文化意味都不重要，它們唯一的存在方式就是去符合規(guī)則賦予它們的游戲含義。不過(guò)正是在這樣的游戲觀點(diǎn)下，胡塞爾提出了“理論形式”（Theorienform）的觀點(diǎn)，它不是關(guān)于事實(shí)對(duì)象的理論，而是關(guān)于各種理論可能形態(tài)的元理論，通過(guò)一系列元描述來(lái)規(guī)定所要談?wù)摰母鞣N理論無(wú)論如何都具有的共同本質(zhì)。在《形式邏輯與先驗(yàn)邏輯》中，胡塞爾把最初的分析學(xué)視為某種初步的流形論，因?yàn)樗仓铝τ趯?shí)數(shù)系的公理化。這種“數(shù)學(xué)分析本身，或者說(shuō)一種嚴(yán)格的流形論”，[21]是對(duì)運(yùn)算性質(zhì)的游戲數(shù)學(xué)來(lái)講更高的觀點(diǎn)，它可以導(dǎo)向一種更全面的流形論或理論形式，即通過(guò)各種公理形式來(lái)定義流形的形式。

數(shù)學(xué)的游戲觀點(diǎn)與流形觀點(diǎn)互補(bǔ)，它們從分別對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)和數(shù)學(xué)活動(dòng)自身的性質(zhì)作了說(shuō)明。流形思想表明數(shù)學(xué)研究作為理想化與直觀活動(dòng)的結(jié)合是如何一步步發(fā)展起來(lái)的，它在人的心智和意向性當(dāng)中如何生根發(fā)芽；[22]而游戲思想的確立使得胡塞爾對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的存在意義作出了和希爾伯特類似的斷言——這里需要立即補(bǔ)充的是，胡塞爾雖然認(rèn)為數(shù)學(xué)公理只要不矛盾，推出的東西就是存在的，但這種東西也僅僅在公理體系中或流形論的觀點(diǎn)下才“存在”，[23]我們既不能把這種特定的存在概念外推向一般觀念對(duì)象如顏色、空間或靈魂、上帝等等，也不能認(rèn)為這種存在的意義不需要來(lái)源或構(gòu)造就直接可以理解。存在意義的確有其發(fā)生過(guò)程，其在當(dāng)下的隱而不顯就是意義構(gòu)成物的積淀狀態(tài)（sedimentation），它總是已經(jīng)存在于新觀念的語(yǔ)言之中，即便這些語(yǔ)言已經(jīng)不再指稱原來(lái)東西了。意義的沉淀與復(fù)活表現(xiàn)在幾何學(xué)領(lǐng)域，“就是用語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)的幾何學(xué)構(gòu)成物的自明性的改變?！盵24]這種積淀證明了我們的觀念科學(xué)或自然科學(xué)與本原的生活世界有基本的關(guān)聯(lián)：理想化的過(guò)程總是在不斷消除其與生活世界的聯(lián)系，一方面用普遍的理想化的結(jié)構(gòu)統(tǒng)治我們的經(jīng)驗(yàn)世界內(nèi)諸事物，另一方面始終聲稱絕對(duì)的、本質(zhì)的存在只是那個(gè)高度抽象的結(jié)構(gòu)；可是，普遍的結(jié)構(gòu)與流形論的思想本身都有其意向性基礎(chǔ)，在理想化的進(jìn)程中，原始意義沒有也不可能被徹底抹消，我們?cè)绞琴N近事情本身的發(fā)展過(guò)程，就越是能看到，為何在排除直觀性與經(jīng)驗(yàn)性以后我們還能理解那種理想化的科學(xué)對(duì)象。因此，胡塞爾所選擇的路線雖然更偏向希爾伯特，甚至在許多地方與哥廷根學(xué)派高度一致，但對(duì)幾何學(xué)意義的現(xiàn)象學(xué)考察也確證了弗雷格當(dāng)初的質(zhì)疑很有道理，后者洞察到了公理化方法背后的哲學(xué)疑難。
　
[1] Gottlob Frege, Philosophicaland Mathematical Correspondence. Basil Blackwell,Oxford, 1980. p.37.

[2] Ibid. p.35.

[3] 在1914年的手稿里他也詳細(xì)地說(shuō)明了這一點(diǎn)，參見弗雷格，《弗雷格哲學(xué)論著選輯》，王路譯，北京：商務(wù)印書館，2006，第313-315頁(yè)。

[4] Gottlob Frege, Philosophicaland Mathematical Correspondence. p.39.

[5] Ibid.p.36.

[6] Stewart Shapiro, “Categories, Structures, and the Frege-HilbertControversy”, in Logicism, Intuitionism,and Formalism, ed. by Stem Lindstr?m et al., Springer,Dordrecht, 2009, p.437.

[7] Ibid.

[8] 它的原始表述參見希爾伯特，《幾何基礎(chǔ)》，江澤涵，朱鼎勛譯，北京：科學(xué)出版社，1987，第3頁(yè)。

[9] 弗雷格，《弗雷格哲學(xué)論著選輯》，王路譯，北京：商務(wù)印書館，2006，第314頁(yè)。

[10] 關(guān)于Frege意義上的命題與偽命題之異同的一個(gè)清晰說(shuō)明，參見GottlobFrege, On the Foundations of Geometry andFormal Theories of Arithmetic, Yale University Press, London, 1971,pp.xxxiv-xxxvi.

[11] Gottlob Frege, Philosophicaland Mathematical Correspondence. p.37. 弗雷格似乎從未改變這種觀點(diǎn)，見弗雷格，《弗雷格哲學(xué)論著選輯》，王路譯，北京：商務(wù)印書館，2006，第252頁(yè)。

[12] Ibid.p.106.

[13] Rene Jagnow, “Edmund Husserl on the Applicability of FormalGeometry”, in Intuition and the AxiomaticMethod, ed. by Emily Carson and Renate Huber. Springer,Dordrecht, 2006. p.67.

[14] Edmund Husserl, Philosophie derArithmetik, Husserliana Band XII, Martinus Nijhoff, Den Haag, 1970,S.444-451.

[15] Edmund Husserl, EarlyWritings in the Philosophy of Logic and Mathematics, Collected Works,Volume V, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1994, p.486.

[16] 本文因篇幅所限不能深入這個(gè)論題。

[17] 胡塞爾，《邏輯研究》（第二卷第一部分），倪梁康譯，上海：上海譯文出版社，2006年，第276頁(yè)。

[18] 胡塞爾，《邏輯研究（第一卷）》，倪梁康譯，上海：上海譯文出版社，1994年，第211-219頁(yè)。

[19] 胡塞爾有時(shí)也擴(kuò)展“流形”的內(nèi)涵，將之應(yīng)用于在流變中保持統(tǒng)一的質(zhì)料對(duì)象上。

[20] Edmund Husserl, Formale undTranszendentale Logik, Husserliana Band XVII, Martinus Nijhoff, 1974, S.82-85. 關(guān)于兩人之間對(duì)形式系統(tǒng)完備性概念的論述比較，參見Stefania Centrone, Logic andPhilosophy of Mathematics in the Early Husserl, Springer, Dordrecht, 2010,pp. 176-179. 需要注意的是，胡塞爾本人并不同意將幾何學(xué)變成純形式的語(yǔ)法學(xué)或形式本體論，因?yàn)閹缀螌?duì)象的內(nèi)涵是空間對(duì)象，因此其科學(xué)只能是一種質(zhì)料本體論。

[21] Edmund Husserl, Formale undTranszendentale Logik. S.104.

[22] 需要指出，哥德爾也認(rèn)為胡塞爾的這個(gè)觀點(diǎn)就是數(shù)學(xué)中的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)所表明的情況。參見王浩，《邏輯之旅》，邢滔滔等譯，杭州：浙江大學(xué)出版社2009年版，第七章及以下。

[23] 關(guān)于胡塞爾對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象存在問(wèn)題的流形論理解，參見Edmund Husserl, Philosophieder Arithmetik. S. 430-444.

[24]胡塞爾，《歐洲科學(xué)危機(jī)與超越論的現(xiàn)象學(xué)》，第437頁(yè)。