離散時(shí)間周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)

離散復(fù)指數(shù)信號(hào)的重復(fù)性

由于e^{j(w_0+2\pi)n}=e^{j2\pi n}e^{jw_0n}=e^{jw_0n}，所以具有頻率w_0和w_0\pm2\pi, w_0\pm4\pi,...w_0\pm2k\pi的復(fù)指數(shù)信號(hào)完全一致

離散復(fù)指數(shù)信號(hào)的周期性

由于離散信號(hào)僅在整數(shù)點(diǎn)有值，要使e^{jw_0n}為周期信號(hào)，周期N必須為波形周期的整數(shù)倍，即N=m\frac{2\pi}{w_0}, m=1,2,...，此時(shí)的基波頻率w = \frac{w_0}{m}，w_0=\frac mN 2\pi

離散復(fù)指數(shù)信號(hào)的諧波

考慮一組成諧波關(guān)系的周期離散信號(hào)，其公共周期為N，基波頻率為\frac{2\pi}{N}
\phi_k[n] = e^{jk\frac{2\pi}{N}n}, k=0, \pm1, ...
考慮離散復(fù)指數(shù)信號(hào)的重復(fù)性，
\phi_{k+N}[n] = e^{j(k+N)\frac{2\pi}{N}n}=e^{jk\frac{2\pi}{N}n}e^{j2\pi n}=e^{jk\frac{2\pi}{N}n}=\phi_k[n]

離散周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)

考慮一個(gè)周期為N的離散周期信號(hào)，用諧波的線性組合來表示
x[n] = \sum_{k=<N>} a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n}
兩邊各乘e^{-jr\frac{2\pi}{N}n}，在周期內(nèi)求和得到：
\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jr\frac{2\pi}{N}n} = \sum_{n=<N>}\sum_{k=<N>}a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n}e^{-jr\frac{2\pi}{N}n} = \sum_{k=<N>}a_k\sum_{n=<N>}e^{j(k-r)\frac{2\pi}{N}n}
由于e^{j(k-r)\frac{2\pi}{N}n}=\left\{ \begin{aligned} N && r = k, k\pm N, k\pm 2N,...\\ 0 && other\\ \end{aligned} \right.
a_k = a_{k\pm N} = ... = \frac 1N \sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}

{\boxed{x[n] = \sum_{k=<N>} a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n}\\ a_k = a_{k\pm mN} = \frac 1N \sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}}}

numpy.fft

可以使用numpy.fft求傅里葉級(jí)數(shù)，但是要注意求和周期是從0開始，并且沒有\frac 1N系數(shù)。在求傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，僅需要輸入一個(gè)周期的信號(hào)。
a_k = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jk\frac{2\pi }{N}n}, k = 0, 1, ..., n-1

  • 例1：求信號(hào)x[n]=cos(w_0n)的傅里葉級(jí)數(shù)
    僅當(dāng)\frac{2\pi}{w_0}=\frac Nm為一有理數(shù)時(shí)，信號(hào)才是周期信號(hào)。
    x[n] = \frac 12 (e^{j\frac{2\pi m}{N}n} + e^{-j\frac{2\pi m}{N}n})，所以a_m = a_{-m} = \frac 12
    使用numpy.fft求解：

    image.png

  • 例2：求周期為N的方波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)
    在一個(gè)周期內(nèi)，-N1 \leq n \leq N1內(nèi)，x[n]=1
    求得一個(gè)周期內(nèi)的系數(shù)：
    a_0 = \frac{2N1+1}{N}
    a_k = \frac 1N \frac{sin[2\pi k(N1+\frac 12)/N]}{sin(\pi k/N)}

    image.png

使用numpy.fft求解：
若定義0\leq n < 2N1 + 1時(shí)，x[n]=1，此時(shí)相當(dāng)于上面輸入右移了3，可以使用傅里葉級(jí)數(shù)的時(shí)移性質(zhì)來還原：
x[n - n_0] => a_ke^{-jk\frac{2\pi}{N}n_0}

image.png

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