隨機(jī)變量之和的統(tǒng)計(jì)量

用隨機(jī)變量 X 表示每天的銷量，其期望為 \mathbb{E}X，方差為 \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X-\mathbb{E}X)^2。

考慮 n 天的總銷量 Y。

  • 方案一：認(rèn)為每天銷量都一樣，這顯然是不恰當(dāng)?shù)摹?br> 令 Y=nX，則
    \begin{split} \mathrm{Var}(Y) &=\mathrm{Var}(nX)\\ &=\mathbb{E}[nX-\mathbb{E} (nX)]^2\\ &=\mathbb{E}[nX-n\mathbb{E}X]^2\\ &=\mathbb{E}[n(X-\mathbb{E}X)]^2\\ &=n^2\mathbb{E}(X-\mathbb{E}X)^2\\ &=n^2\mathrm{Var}(X) \end{split}

  • 方案二：每天的銷量不一樣，這才是更合理的假設(shè)。
    令 Y=\sum_{i=1}^nX_i，則
    \begin{split} \mathrm{Var}(Y) &= \mathrm{Var}\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)\\ &=\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^nX_i-\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)\right]^2\\ &=\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^nX_i-\sum_{i=1}^n\mathbb{E}X_i\right]^2\\ &=\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n(X_i-\mathbb{E}X_i)\right]^2\\ &=\sum_{i=1}^n\mathbb{E}[X_i-\mathbb{E}X_i]^2+\sum_{i\neq j}\mathbb{E}[(X_i-\mathbb{E}X_i)(X_j-\mathbb{E} X_j)]\\ &=\sum_{i=1}^n\mathrm{Var}(X_i) + \sum_{i\neq j}\mathrm{Cov}(X_i, X_j) \end{split}
    由于 X_i 獨(dú)立同分布，故
    \begin{split} \mathrm{Var}(Y) &= \sum_{i=1}^n\mathrm{Var} (X_i)\\ &= \sum_{i=1}^n\mathrm{Var}(X)\\ &=n\mathrm{Var}(X) \end{split}

可以看到，如果采用錯(cuò)誤的定義來預(yù)估 n 天的總銷量，則方差會(huì)比真實(shí)的變大 n 倍，亦即標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)變大 \sqrt n 倍。

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