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1. 對稱性加密與非對稱性加密

假設(shè)一個形象理解的場景：

考試時，超模君通過小天給學(xué)渣表妹傳遞答案

對稱性加密
非對稱性加密

加密和解密規(guī)則：

考試前超模君找到表妹，給了她一張紙片，紙片上有20行數(shù)，每行有4個數(shù)字，4個數(shù)字為亂序的1、2、3、4（如下圖所示）

超模君考試時傳遞的小紙條中第一個數(shù)字X1表示紙片中X1行里的第x1個數(shù)字，第二個數(shù)字X2開始表示下一行中的第X2個數(shù)。例如，超模君的紙條上數(shù)字為2123，那么根據(jù)上面的紙片從第二行開始找數(shù)字，得到答案2、4、2、2（下圖所示）

非對稱性加密與對稱性加密最大的區(qū)別就在于非對稱性加密擁有兩把鑰匙，分別為私匙和公匙，其中只有公匙會傳播出去，而私匙只會在自己手中，不會傳播到外界

2. RSA加密算法

2.1. 加密解密原理

RSA算法是1977年由三位麻省理工學(xué)院教授——羅納德·李維斯特（Ron Rivest）、阿迪·薩莫爾（Adi Shamir）和倫納德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出。RSA就是他們?nèi)诵帐祥_頭字母拼在一起組成的

RSA算法過程：

如何得到公匙 $e$ 和匙 $d$

(1) 找出兩個質(zhì)數(shù)，一個是 $p$ ，另一個是 $q$

(2) 做一個乘法： $n=p\times q$

(3) 取一個函數(shù)： $\psi(n)=(p-1)\times(q-1)$

(4) 找出公匙 $e$ 和匙 $d$

$\begin{cases}1<e<\psi(n) \\ e \text{和}\, \psi(n) \text{需要互質(zhì)} \\ e·d\,\text{除以}\,\psi(n)\text{余數(shù)為}\,1 \end{cases}$
如何加密和解密

假設(shè)傳輸?shù)男畔⒌臄?shù)字為 $m$ ，接下來我們就可以得到加密公式：

$c=m^e \% n$

其中 $\%$ 為取余運算

c就是我們發(fā)送出去的加密后的數(shù)字

再來看看解密的公式：

$m=c^d\%n$

這個余數(shù)就是我們傳輸?shù)男畔ⅰ猰

舉個例子：

(1) 找出兩個質(zhì)數(shù)，一個是7，另一個是13

(2) $n=p\times q=7 \times 13=91$

(3) $\psi(n)=(p-1)\times(q-1)=6 \times 12=72$

(4) 找出公匙 $e$ 和匙 $d$ ： $\begin{cases}e=5 \\ d=29\end{cases}$

(5) 假設(shè)我們要加密的數(shù)字是 $m=4$

(6) 加密： $m^e \div n=4^5 \div 91...23$

(7) 解密： $c^d \div n=23^29 \div 91...4$

2.2. 安全性分析

為什么RSA算法是安全的（目前來說）？

在傳輸?shù)倪^程中， $e$ （公匙）、 $n$ （質(zhì)數(shù)乘積）、 $c$ （余數(shù)）是可以被黑客竊聽到的，但參考上面加密公式可以知道 $d$ （私匙）和 $\psi(n)$ 沒有參與加密過程，所以竊聽者并不知道 $d$ 和 $\psi(n)$

那么竊聽者能不能通過e、n、c算出私匙d呢？

$\begin{cases} (e · d)\,\%\,\psi(n)=1 & (1)\\ \psi(n) = (p-1)(q-1) & (2)\\ n=p·q & (3) \end{cases}$

看看用這3個公式黑客能不能算出私匙d：

假設(shè)黑客已經(jīng)監(jiān)聽到了：

$e=5,\quad c=23,\quad n=p·q=91$

根據(jù)公式(1)知：

$5·d\,\%\,\psi(n)=1$

要想求出 $d$ 就得知道 $\psi(n)$ ，而 $\psi(n) = (p-1)(q-1)$

因此要想知道 $\psi(n)$ ，就得知道 $p$ 和 $q$ ，而黑客已經(jīng)知道了

$n=p·q=91$

所以只需要對 $n$ 進行質(zhì)因式分解，可以得到

$p=7,\quad q=13$