近日,讀完了《牛津通識讀本——數(shù)學(xué)》一書,感觸頗多.作者蒂莫西·高爾斯(Timothy Gowers)是1998年的菲爾茲獎得主,他對數(shù)學(xué)的深刻見解,解開了我多年的困惑.我曾在懷疑中裹足不前,遠(yuǎn)離了數(shù)學(xué),現(xiàn)在則懊惱不已.下面就結(jié)合高爾斯的觀點，隨便聊一下我的感想。
數(shù)學(xué)有什么用?
本科時,我曾吃驚地看到一個數(shù)學(xué)系大四女生在座談會上向老師提問:“我們學(xué)數(shù)學(xué)有什么用? ” 她顯然是在說,我能利用數(shù)學(xué)得到一個什么樣的工作?能賺大錢嗎?
高校教師向?qū)W生宣揚數(shù)學(xué)時,一般會強調(diào)數(shù)學(xué)在其他學(xué)科的應(yīng)用.比如說,做氣象預(yù)測,要懂微分方程;學(xué)好復(fù)變函數(shù)吧,工程領(lǐng)域都在用.或者是秀一下數(shù)學(xué)藝術(shù).比如,幻燈片上放著諸如Julia集之類的分形圖片,學(xué)生看罷,驚嘆之余,低頭繼續(xù)摳手機(jī).實在不行了,老師會說:“考研、出國總要用到數(shù)學(xué)吧?” 但幾年過去了,還是有學(xué)生問:“數(shù)學(xué)有什么用?” 如此悲哀…
癥結(jié)在哪里?
原因是大家對數(shù)學(xué)的態(tài)度差異太大.數(shù)學(xué)科學(xué)在教師眼中,是一個偉大的理論體系,幾乎滲透所有其他自然科學(xué)，有用到給他們提供了一個飯碗;而在這些提問題的學(xué)生眼里,數(shù)學(xué)只不過跟藍(lán)翔技校的挖掘機(jī)一樣,學(xué)完去找份對口工作.這部分學(xué)生,關(guān)注的是數(shù)學(xué)兌換人民幣的能力.但數(shù)學(xué),尤其是如數(shù)論這樣的純數(shù)學(xué),并不直接具備這樣的能力.顯然, 不會說解一個微分題,天上就掉下100塊錢,再做個積分題,又掉100塊錢.
與之相反,中國又有很多的數(shù)學(xué)“民科”,空費大量的時間,試圖解決哥德巴赫猜想（雖然未必是數(shù)學(xué)界最關(guān)注的）.學(xué)生的不熱情與民科的熱情,反差如此之大.前者不具備專業(yè)知識,卻打了雞血般地?zé)嶂?后者正在學(xué)習(xí)專業(yè)的數(shù)學(xué),卻如鬧離婚的夫妻那般冷漠.
除了態(tài)度問題，還有一個問題：有些學(xué)生是在學(xué)數(shù)學(xué)嗎？我曾見人背誦了一夜的定理，在第二天的期末考試中取得了良好成績。之后忘得一干二凈。這種學(xué)生在數(shù)學(xué)系并不少見。這很可能是因為試題過于簡單，以致于考察的根本不是數(shù)學(xué)思維能力，而是記憶能力。既然考察的內(nèi)容不多，只需要短期記憶就可以了。數(shù)學(xué)思維能力中非常重要的一點是發(fā)現(xiàn)隱含模式的能力。別人看不到的規(guī)律，你可以看到；別人解決不了的問題，你可以解決。工作生活中，切中要害，快刀斬亂麻。這些取得良好成績的人畢業(yè)后，根本沒有意識到，他們學(xué)到的并不是數(shù)學(xué)思維能力，因此抱怨數(shù)學(xué)沒用。
我認(rèn)為,重視數(shù)學(xué)的人,自然明白做數(shù)學(xué)的意義,或因數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用,或因數(shù)學(xué)的純粹之美.他們的熱情,加上接受的專業(yè)教育,很可能使他們成為優(yōu)秀的數(shù)學(xué)工作者.這些人是真正應(yīng)該受到鼓舞從事數(shù)學(xué)研究的人.對于想要從事技術(shù)型工作的人，打一個良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)也是大有裨益的，不在于學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，而在于鍛煉的思維能力。而認(rèn)為數(shù)學(xué)沒用的人,應(yīng)該是想找一份的工作去的.這些人應(yīng)該及早做好職業(yè)規(guī)劃,鍛煉相關(guān)技能,而不應(yīng)該糾結(jié)于數(shù)學(xué).若數(shù)學(xué)能對所從事的工作有所幫助,那自然更好了.
數(shù)學(xué)滾出高考?
今年夏天,有人在新浪微博上發(fā)起一個話題:數(shù)學(xué)滾出高考?結(jié)果7成以上的網(wǎng)友表示贊成.
為什么有那么多人如此討厭數(shù)學(xué)?
高爾斯在書中這樣解釋:
很可能并不是因為數(shù)學(xué)很無聊,而是數(shù)學(xué)課的經(jīng)歷很乏味.這一點更容易理解.因為數(shù)學(xué)總是持續(xù)在自身的基礎(chǔ)上構(gòu)建,所以學(xué)習(xí)時的步步跟進(jìn)就顯得很重要.
比方說,如果你不擅長兩位數(shù)以上的乘法,那你很可能不會對乘法分配率有良好的直覺.這樣,你就會對計算打開括號(x+2)(x+3)感到不適應(yīng),于是接下來你就不能很好地理解二次方程,因而也無法理解黃金分割比了(由一個二次方程解出).
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時的步步跟進(jìn)不僅僅是保持技術(shù)熟練度而已.數(shù)學(xué)中常常會引入重要的新思想,新思想會比舊思想更加復(fù)雜,每一個新思想的引入都有可能把我們甩在后面.
沒有作好準(zhǔn)備來進(jìn)行必要的概念飛躍的人,一旦遇到這些新思想時,就會對其后建立在新思想基礎(chǔ)上的一切數(shù)學(xué)感到并不牢靠.久而久之,他們就會習(xí)慣于對數(shù)學(xué)老師所說的東西僅僅一知半解,日后再錯過幾次飛躍,恐怕連一知半解也做不到了.同時他們又看到班上其他同學(xué)能夠輕而易舉地跟上課程.因此就不難理解,為什么對許多人來講數(shù)學(xué)課成了一種煎熬.
大學(xué)數(shù)學(xué)系的基本課程是數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù),基礎(chǔ)課沒學(xué)好,后續(xù)的微分方程、泛函分析之類的就不必多言.數(shù)學(xué)系的兩極分化就是這樣產(chǎn)生的.
所以說,這些贊成數(shù)學(xué)滾出高考的人, 甚至在中學(xué)已經(jīng)落伍了，他們大聲叫囂，只不過是為自己的無能找一個臺階下.就像之前的我一樣,表面看不起數(shù)學(xué),實則因為自己的落后.
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以上兩節(jié),不同的人讀完可能有不同的感受.你可能覺得反正不再學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了,完全無所謂,這沒錯.你也可能像我一樣,經(jīng)歷重重打擊,仍有一絲喜愛.如果你對數(shù)學(xué)抱有極大的興趣,則不妨繼續(xù)閱讀以下兩節(jié),這將有助于你打消一些可能存在的疑慮.
數(shù)學(xué)年齡
有人說,我的年齡大了,還能不能做數(shù)學(xué)?
這個問題,我曾經(jīng)問過我的一個老師.我對老師抱怨:我已經(jīng)20歲出頭了,是不是太老了?老師哈哈大笑:你覺得自己老了,那讓我情何以堪?
是的,想學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),沒必要非得是一名天才.的確有一些人,他們在20多歲已經(jīng)作出了極其卓越的成果.伽羅瓦(Variste Galois)與阿貝爾(Abel)并稱為現(xiàn)代群論的創(chuàng)始人,他死于一場令人唏噓的決斗,年僅21歲.這些耀眼的明星,是我們無法企及的.高爾斯作為一個成熟的數(shù)學(xué)家,給出了他的意見:
的確有一部分?jǐn)?shù)學(xué)家在20來歲的時候做出了他們最杰出的工作,但絕大多數(shù)人都認(rèn)為,他們的知識水平和專業(yè)素質(zhì)終其一生都在穩(wěn)健地提高,在許多年里,這種專業(yè)水平的增長都能夠彌補“原生”腦力的任何衰退.
這些超乎尋常的人并不總是最成功的數(shù)學(xué)研究者.如果你想要解決某個問題,而之前嘗試過的數(shù)學(xué)家都以失敗告終,那么你需要具備種種素質(zhì),在這其中天賦既不是必要的也不是充分的.但他肯定需要非凡的勇氣、堅定和耐心,對他人完成的艱難工作的廣泛了解,在正確的時間專攻正確領(lǐng)域的運氣,以及杰出的戰(zhàn)略性眼光.
上面所說的最后一條素質(zhì),從根本上要比驚人的大腦運轉(zhuǎn)速度更加重要.數(shù)學(xué)中絕大多數(shù)影響深遠(yuǎn)的貢獻(xiàn)是由“烏龜”們而不是“兔子”們做出的.隨著數(shù)學(xué)家的成長，他們都會逐漸學(xué)會這個行當(dāng)里的各種把戲，部分來自于其他數(shù)學(xué)家的工作，部分來自于自己對這個問題長時間的思考。是否能將他們的專長用于解決極其困難的問題，則在很大程度上決定于細(xì)致的規(guī)劃：選取一些可能會結(jié)出豐碩成果的問題，知道什么時候應(yīng)該放棄一條思路（相當(dāng)困難的判斷），能夠先勾勒出論證問題的大框架繼而再時不時地向里面填充細(xì)節(jié)。這就需要對數(shù)學(xué)有相當(dāng)成熟的把握，這絕不與天賦相矛盾，但也并不總是會伴隨著天賦。
我覺得，高爾斯是說，天賦、年齡確實比較重要，但并不是必要的。如果你愿意賭，并有足夠的勇氣，自然不必太在意自己的資質(zhì)和年齡。說不定你就是下一個懷爾斯呢。（我先聲明，不對這段話負(fù)責(zé):)）
數(shù)學(xué)研究的進(jìn)行
如果說數(shù)學(xué)研究中有什么比較神秘的話，那并不是困難問題的存在——實際上，要創(chuàng)造出奇難無比的問題很容易——而是居然有足夠的問題恰好有相當(dāng)?shù)碾y度，從而釣住數(shù)以千計的數(shù)學(xué)家。要實現(xiàn)這一點，這些問題必然得有挑戰(zhàn)性，但同時也必須讓人們看到有可能解決的一線希望。
我個人認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是這樣。需要做一些有挑戰(zhàn)性又在能力范圍內(nèi)的題目。從這一點來說，參加數(shù)學(xué)競賽是很有意義的。有人認(rèn)為，中學(xué)奧數(shù)的難題，可以輕易地用大學(xué)數(shù)學(xué)解決。但不要忘了，在解決奧數(shù)題的過程中，可能把初等數(shù)學(xué)用到了極致。學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)也是如此。有朝一日做數(shù)學(xué)研究，前方荒蕪一片，這種能力就派上用場了。
那么這是不是意味著，做數(shù)學(xué)研究一定要解決什么猜想嗎？這倒未必。解決某個猜想固然重要，也會給你帶來名氣甚至是金錢。但本質(zhì)上說，新的數(shù)學(xué)理論和方法更重要，這也是人們期望通過解決猜想得到的。
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好吧，這次的讀后感先到此為止，還有許多話題沒有涉及，比如計算機(jī)證明、數(shù)學(xué)與黑客、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的裂痕等，以后再說。有時間的話，我會把《數(shù)學(xué)》一書的主要觀點整理一下，寫成一篇短文。當(dāng)然，如果你閱讀過程中感到不適，千萬不要忘了，我不過是在胡扯而已。
