數(shù)學(xué)世界觀（下）
本文包括以下內(nèi)容：
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)框架（第二部分）——第一部分請(qǐng)戳
奧數(shù)到底教了什么
數(shù)學(xué)之“術(shù)”，即數(shù)學(xué)模型。
數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)世界中很重要的一個(gè)部分。
很多人可能認(rèn)為這是非常專業(yè)的概念，但是大家可能沒(méi)想到，實(shí)際上我們從小學(xué)開(kāi)始就要接觸到數(shù)學(xué)模型。
例如，老師上課給我們講了一道題：小明走路去學(xué)校，距離是多少，速度是多少，問(wèn)要走多久？然后作業(yè)變成了火車從廣州開(kāi)到北京，距離是多少，速度是多少，問(wèn)要開(kāi)多久？
為什么從走路變成開(kāi)火車我們也會(huì)做？
沒(méi)錯(cuò)，因?yàn)椤?b>兩道題的數(shù)學(xué)模型是一樣的。
數(shù)學(xué)模型，就是把問(wèn)題背后的數(shù)學(xué)關(guān)系抽象出來(lái)，以便于我們用數(shù)學(xué)的方法解答它。
一、它可以幫助我們從特殊到普通地解決同一類型的問(wèn)題，也就是所謂的“舉一反三”。
很多家長(zhǎng)在輔導(dǎo)孩子學(xué)數(shù)學(xué)的過(guò)程，經(jīng)常會(huì)因?yàn)楹⒆硬粫?huì)“舉一反三”急得直跺腳：“稍微變一下就做不出來(lái)了，真笨！”
但是卻想不到什么好的方法去改善這個(gè)問(wèn)題，以為要依靠多做題成為“舉三反一”。
實(shí)際上，這是因?yàn)楹⒆記](méi)有掌握背后的數(shù)學(xué)模型。
哪怕是沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)模型概念小學(xué)生，在做題的時(shí)候都會(huì)有這種樸素的感覺(jué)——從一道題（特殊）總結(jié)背后的關(guān)系（普通），再用于下一道題（回到特殊）。
但是這種從特殊到普通的抽象方法，必須隨著年齡增長(zhǎng)才能逐漸掌握（通常在四年級(jí)左右開(kāi)始產(chǎn)生明確的抽象思維，在初一開(kāi)始成熟），同時(shí)需要被正確地引導(dǎo)和教育、不斷地練習(xí)才能掌握得更好。
（順便一提，這種能力屬于上一篇文章“數(shù)學(xué)之道”中討論的范疇）。
二、它可以幫助我們將復(fù)雜的問(wèn)題一步步變形簡(jiǎn)化直到解決，這是數(shù)學(xué)考試（尤其是高考）中解決壓軸題的必備能力。
這里我想講一個(gè)只有學(xué)理科才能get到的冷笑話：
有一個(gè)數(shù)學(xué)家受夠了數(shù)學(xué)，于是前去應(yīng)聘消防員。面試的時(shí)候，消防隊(duì)長(zhǎng)問(wèn)：
“假設(shè)貨棧起火了，您怎么辦？”
“我把消防栓接到軟管上，打開(kāi)水龍頭，把火澆滅?！?/p>
隊(duì)長(zhǎng)很滿意，又問(wèn)：
“假如您路過(guò)貨棧，它沒(méi)有起火，該怎么辦？”
數(shù)學(xué)家略一思考，“那我就把它點(diǎn)著。”
“太可怕了！”隊(duì)長(zhǎng)大吃一驚，“為什么？”
“那我就把問(wèn)題化簡(jiǎn)為一個(gè)我已經(jīng)解決了的問(wèn)題了”
你沒(méi)有看錯(cuò)，可能也完全笑不出來(lái)，
但是這就是數(shù)學(xué)家每天都在努力做的一件事：把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)或者多個(gè)“已經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)題”來(lái)解決它。
這里面，“遇到貨棧起火”就是一個(gè)模型，它代表一類已經(jīng)有固定的解決方法的問(wèn)題。
數(shù)學(xué)模型從虛無(wú)縹緲的“道”、高屋建瓴的“法”進(jìn)入到了具有實(shí)操性、實(shí)際指導(dǎo)我們解決問(wèn)題的“術(shù)”的層面。
它就像層層分岔、連接樹(shù)干（數(shù)學(xué)概念）和樹(shù)葉（數(shù)學(xué)問(wèn)題）之間的枝椏，起著延伸和傳遞的作用；借助數(shù)學(xué)模型，我們才可以將實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)解答連接起來(lái)，變成一道道精心設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)難題。
數(shù)學(xué)之“器”，即數(shù)學(xué)問(wèn)題。
具體而言，是指解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的手段和技巧。
對(duì)于應(yīng)試教育而言，解題就是終極目標(biāo)，在重要考試中交出一張滿分的答卷，不枉寒窗十年，刷題千遍。
因此，一直以來(lái)，數(shù)學(xué)被認(rèn)為是最適合用題海戰(zhàn)術(shù)的科目。
究其原因，可能有二：
一、解題是部分學(xué)生認(rèn)為通向數(shù)學(xué)的唯一途徑。
相比起歷史、政治等可以靠背書；語(yǔ)文、英語(yǔ)可以靠閱讀；解題是大部分學(xué)生用來(lái)靠近那遙不可及的數(shù)學(xué)知識(shí)的救命稻草。
于是無(wú)數(shù)學(xué)子就掉進(jìn)了“做題——不會(huì)——聽(tīng)講解——似懂非懂——再做題——還不會(huì)”的夢(mèng)魘循環(huán)之中去。
二、解題也確實(shí)是數(shù)學(xué)通向部分人的唯一橋梁。
有人說(shuō)生活中唯一用到數(shù)學(xué)的時(shí)候，就是在市場(chǎng)買菜算價(jià)格。像立體幾何、微積分這些知識(shí)，除了出現(xiàn)在試卷上，與大部分人是一生無(wú)緣的。
所以很多人回想起數(shù)學(xué)，腦海里只剩下在題海中奮力撲騰，終于在高考完畢那一刻被海浪沖刷上岸，只留下口中海水苦澀的味道。
這也是很多人提倡“數(shù)學(xué)無(wú)用論”，認(rèn)為通過(guò)分科可以讓學(xué)生選擇盡早逃離數(shù)學(xué)“苦海”。
數(shù)學(xué)是否真的在生活中百無(wú)一用，我會(huì)有專門的篇幅進(jìn)行探討，這里只想分析刷題對(duì)提升數(shù)學(xué)的作用到底有多大。
題海戰(zhàn)術(shù)，練的乃數(shù)學(xué)之器
天天打球可以練球感，天天做題也能練出“題感”，對(duì)于常規(guī)題目的解法、計(jì)算形成條件反射。因此在0-70分范圍內(nèi)，題海戰(zhàn)術(shù)的效果非常顯著。
但道家云，以道御器，勿以器害道。有水平、有層次的數(shù)學(xué)試卷，一定是要求學(xué)生道、法、術(shù)、器融會(huì)貫通，信手拈來(lái)的。熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)之“術(shù)”，占15分；透徹理解數(shù)學(xué)之“法”，占10分；最后5分，必須全面掌握數(shù)學(xué)之“道”，加上天時(shí)地利人和三才合一，可遇不可求。
解題方法是數(shù)學(xué)的表象，有如樹(shù)葉之于大樹(shù)。樹(shù)之茂盛繁華，見(jiàn)之葉也，實(shí)則根也。解題能力是末，思考方法是本，學(xué)數(shù)學(xué)如果舍本逐末，最后唯一的結(jié)果只能是本末皆失了。
奧數(shù)課程和課內(nèi)數(shù)學(xué)區(qū)別在哪里呢？
讓我再舉一道低年級(jí)的奧數(shù)題為例：
圖中有多少根線段？
這道題目的答案與解法都很簡(jiǎn)單：
解法一（打槍法）：
根據(jù)線段左端點(diǎn)（箭頭起點(diǎn)）來(lái)分，從左到右三個(gè)起點(diǎn)分別可以連出3、2、1條線段，一共是3+2+1=6條線段。
解法二（基本線段法）：
根據(jù)每個(gè)線段由多少個(gè)基本線段（最短的線段）組成，可以分為三類，分別有3、2、1條，一共是3+2+1=6條線段。
那么，我們一起來(lái)看看，奧數(shù)課本編排這么一講，目的是什么呢？
首先，是領(lǐng)悟“道”，教數(shù)學(xué)思維。
上面兩種方法都用到了分類枚舉的思維，這是邏輯思維的一個(gè)體現(xiàn)。
分類講究不重不漏，在每個(gè)類別中枚舉又需要確定明確次序，兩個(gè)環(huán)節(jié)任何一個(gè)出了錯(cuò)誤，都很可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。
在講解這道題時(shí)，如果學(xué)生不是用上面兩個(gè)方法之一，或者數(shù)的次序不對(duì)（從藍(lán)色到紅色再到黃色，每個(gè)顏色從左到右），我都會(huì)尖銳的指出來(lái)——答案本身無(wú)足輕重，但背后的數(shù)學(xué)思想?yún)s是題目的精髓。
其次，是強(qiáng)調(diào)“法”，復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)概念。
初次接觸這道題的學(xué)生，常常直觀地認(rèn)為只有3條線段——根據(jù)線段的定義（兩個(gè)端點(diǎn)與之間的直線），線段之上是否有其他端點(diǎn)并不影響。
題目擴(kuò)寬了對(duì)線段的直觀認(rèn)識(shí)，同樣的情形還會(huì)用在數(shù)三角形、正方形以及其他題目。
因此，從定義出發(fā)，是檢驗(yàn)結(jié)果的唯一標(biāo)準(zhǔn)。
再次，是掌握“術(shù)”，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型。
學(xué)會(huì)了這道題的方法，可以如何“舉一反三”呢？
首先是增加線段的端點(diǎn)數(shù)：
圖中有多少根線段？
然后，是變換對(duì)象：
圖中有多少個(gè)三角形？
圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？
還可以徹底改頭換面：
圖中的點(diǎn)可以連多少條線？
甚至變成這樣：
4個(gè)小朋友每?jī)蓚€(gè)人之間握一次手，一共握了多少次手？
以上的題目，都可以套用同樣的數(shù)學(xué)模型，這才是舉一反三。
最后，才是訓(xùn)練“器”，記住解題方法。
再次遇到同類型的問(wèn)題，可以列出算式，正確算出答案的能力，對(duì)于奧數(shù)課來(lái)說(shuō)，只是無(wú)心之得，順便使然。
那我們課內(nèi)的數(shù)學(xué)老師，是怎樣教這道題的呢？
一、根據(jù)教案，選擇兩種解法的一種，在課上進(jìn)行講解（目前采用打槍法的居多，因?yàn)橐子谟洃?，但是從?shù)學(xué)思維的層面，基本線段法的思想泛用性更強(qiáng)）；
二、讓同學(xué)們記住1+2+3+……的式子，并掌握端點(diǎn)和式子的關(guān)系；
三、讓同學(xué)們了解數(shù)三角形、數(shù)長(zhǎng)方形也是同樣的方法，以便應(yīng)付題型變化；
四、布置數(shù)線段、數(shù)三角形、數(shù)長(zhǎng)方形各一道，數(shù)字變化一下，作為練習(xí)鞏固。
簡(jiǎn)而言之，奧數(shù)教學(xué)和課內(nèi)數(shù)學(xué)的方法和目標(biāo)區(qū)別在于：
奧數(shù)是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)之“道”，扎根數(shù)學(xué)之“法”，活用數(shù)學(xué)之“術(shù)”，落腳數(shù)學(xué)之“器”，目標(biāo)是培養(yǎng)具有良好數(shù)學(xué)素質(zhì)的人才，并將數(shù)學(xué)的思維和方法滲透到各個(gè)方面；
課內(nèi)數(shù)學(xué)是避而不談“道”，死記硬背“法”，狹隘理解“術(shù)”，反復(fù)練習(xí)“器”，目標(biāo)是完成既定的教學(xué)內(nèi)容，做對(duì)教學(xué)大綱內(nèi)的所有題目。
結(jié)論
奧數(shù)教育的設(shè)計(jì)，是為了培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維，訓(xùn)練扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美，數(shù)學(xué)之妙，絕非簡(jiǎn)單的超前搶跑，也不是追求刁鉆偏門。
從之前的一些小例子，希望讀者也能感覺(jué)到數(shù)學(xué)的一題多解、舉一反三、融會(huì)貫通、深入淺出。
雖然現(xiàn)在不少的教育機(jī)構(gòu)熱衷于用老套的課內(nèi)數(shù)學(xué)教育方法來(lái)教奧數(shù)題，旨在機(jī)械式地打造出一批會(huì)解數(shù)學(xué)題的“尖子生”，其方式和結(jié)果都慘不忍睹。
但瑕不掩瑜，奧數(shù)教育依然保留了它一部分的本質(zhì)——如果不是將“道法術(shù)器”一套基本功練下來(lái)，很快會(huì)后繼乏力，絕不可能進(jìn)入到高層次的奧數(shù)學(xué)習(xí)之中。
所以，學(xué)習(xí)奧數(shù)——當(dāng)然，不是等同于上奧數(shù)課、做奧數(shù)題、躋身追求奧賽升學(xué)的隊(duì)伍——對(duì)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)和整體素質(zhì)的培養(yǎng)是相當(dāng)有益的，無(wú)論是泛泛而學(xué)還是深入鉆研，都會(huì)有所收獲。
但是，如果目標(biāo)錯(cuò)了，繼而方法也錯(cuò)了，最終南轅北轍，恐怕就會(huì)變成“奧數(shù)吃人論”的又一名受害者了。
文 / 珊爸@不嚴(yán)肅育兒（ID：T-reading）
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