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定義7.1 $a,b$ 是整數(shù) $a\ne 0$ ，若存在整數(shù) $k$ 使 $b=ka$ ，則稱整數(shù) $a$ 能整除整數(shù) $b$ ，或稱 $b$ 能被 $a$ 整除，記作： $a\mid b$ 。否則，稱整數(shù) $a$ 不能整除整數(shù) $b$ ，或稱 $b$ 不能被 $a$ 整除，記作： $a\nmid b$ 。
請根據(jù)以上定義判斷以下每對數(shù)是否整除：

表7.1.1

題7.2 以下說法是否正確：
(1) 一個(gè)數(shù)同時(shí)能被3與7整除，它一定能被21整除。
(2)一個(gè)數(shù)同時(shí)能被6與9整除，它一定能被54整除。

定義7.3 $a,b$ 是整數(shù)且 $a>0$ ，如果存在整數(shù) $q,r$ ，滿足 $0\le r<a$ 且 $b=qa+r$ ，則稱 $r$ 為 $b$ 除以 $a$ 的余數(shù)，記作 $r=b\%a$ 。其中 $q$ 為商。
根據(jù)以上定義，求：
(1) $89188\%17$
(2) $3^{2022}\%10$
(3) $(3^{2022}+2^{2022})\%5$

題7.4 證明：
(1) 3個(gè)除以5余3的整數(shù)相乘，其積除以5余2。
(2) 一個(gè)整數(shù)的平方，除以4不能余2。
證明 (1) 設(shè)這三個(gè)數(shù)為 $x,y,z$ ，根據(jù)題意，存在 $a,b,c\in \mathbb Z$ ，滿足：
$x=5a+3\\ y=5b+3\\ z=5c+3$
所以， $xyz=(5a+3)(5b+3)(5c+3)=(25ab+15a+15b+9)(5c+3)\\ =125abc+75ab+75bc+75ca+45a+45b+45c+27\\ =5(25abc+5ab+5bc+5ca+9a+9b+9c+5)+2$
所以， $xyz\%5=2$
(2) 討論奇偶性：(a) 如果此數(shù)為偶數(shù)，它的平方被4除余0；(b)如果此數(shù)是奇數(shù)，它的平方被4除余1。綜上，任意的整數(shù)的平方被4除不余2。

定理7.5 $a,b,c\in \mathbb Z,c|a,c|b$ ，那么對于任意的整數(shù) $m,n$ ，有 $c|(ma+nb)$
證明因?yàn)? $a,b,c\in \mathbb Z,c|a,c|b$ ，所以存在 $k_1,k_2$ 滿足：
$a=k_1c\\b=k_2c$
所以 $ma+nb=mk_1c+nk_2c=(mk_1+nk_2)c$
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=mk_1%2Bnk_2%5Cin%20%5Cmathbb%20Z" alt="mk_1+nk_2\in \mathbb Z" mathimg="1">，所以 $c|(ma+nb)$
$\blacksquare$

題7.6 對于任意的整數(shù) $x$ ，若 $2|x^2$ ，那么 $2|x$ 。
證明以下使用反證法：
假設(shè)命題不成立，則 $x$ 是奇數(shù)，即存在整數(shù) $k$ ，使 $x=2k+1$ ，所以：
$x^2=(2k+1)^2\\ =4k^2+4k+1\\ =2(2k^2+2k)+1$
可見 $x^2 \%2 =1$ ，與條件矛盾。所以假設(shè)不成立，命題成立。 $\blacksquare$

題7.7 $n\in \mathbb Z$ ，證明：
(1) $6|n(n+1)(n+2)$
(2) $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$ 是平方數(shù)。
證明 (1) $n,n+1,n+2$ 中，必有一個(gè)偶數(shù)，所以2|n(n+1)(n+2);
$n,n+1,n+2$ 中，必有一個(gè)是3的倍數(shù)，所以3|n(n+1)(n+2)。
綜上， $6|n(n+1)(n+2)$ 。

(2) $n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$

評注7.8 題7.7(2)的思路如下：
令 $b_n=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=a_n^2$ ，可以驗(yàn)證：
$b_1=5^2\\ b_2=11^2\\ b_3=19^2\\ b_4=29^2\\...$
所以， $a_1=5,a_2=11=a_1+6,a_3=19=a_2+8,...,a_n=a_{n-1}+2(n+1)$ ，所以：
$a_2-a_1=6\\ a_3-a_2=8\\ ...\\$

題7.9 (1) 1000之內(nèi)，能被3整除的正整數(shù)有多少個(gè)?
(2) 2022之內(nèi)的正整數(shù)中，既是8的倍數(shù)，又是18的正倍數(shù)有多少個(gè)？
(3) 2022之內(nèi)的正整數(shù)中，3的倍數(shù)、8的倍數(shù)、18的倍數(shù)共有多少個(gè)？
解 (1) $\frac{1000}3 = 333....1$ ，所以1000之內(nèi)，能被3整除的正整數(shù)有333個(gè)。
(2) $[8,18]=72$ ，且 $2022/72=28...6$ ，所以它們共同的倍數(shù)有28個(gè)。
(3) 根據(jù)容斥原理計(jì)算：
$\lfloor2022/3\rfloor+\lfloor2022/8\rfloor+\lfloor2022/18\rfloor-\lfloor2022/[3,8]\rfloor-\lfloor2022/[8,18]\rfloor-\lfloor2022/[18,3]\rfloor+\lfloor2022/[3,8,18]\rfloor\\ =674+252+112-84-28-112+28=842$
所以，滿足條件的整數(shù)有 $842$ 個(gè)。
$\blacksquare$

題7.10 9000的所有因數(shù)有_________個(gè)，它們的和是___________
解 $9000=2^3\times 3^2\times 5^3$ ，所以，它的因數(shù)有 $4\times 3\times 4=48$ 個(gè)，其和為 $(1+2+4+8)(1+3+9)(1+5+25+125)=15\times 13\times 156=30420$
$\blacksquare$

定理7.11 整除有如下性質(zhì)：
(1) $a|b,b|c\rightarrow a|c$
(2) $a|b,a|c\rightarrow\forall m,n\in \mathbb Z,a|(mb+nc)$
解 (1) 由條件得，存在整數(shù) $k_1,k_2$ ，滿足 $b=k_1a,c=k_2b$ ，所以 $c=k_1k_2a$ ，所以 $a|c$ 。
(2) 由條件得，存在整數(shù) $k_1,k_2$ ，滿足 $b=k_1a,c=k_2a$ ，所以 $mb+nc=mk_1a+nk_2a=(mk_1+nk_2)a\\$
所以 $,a|(mb+nc)$
$\blacksquare$
定義7.12 記 $(a,b)$ 是 $a,b$ 的最大公約數(shù)， $[a,b]$ 是 $a,b$ 的最小公倍數(shù)。
(30,45)=_____,[30,45]=_____, $(30,45)\times[30,45]$ =_____, $30\times45$ =_____

定義7.13 如果 $a,b$ 的最大公約數(shù)是1，那么稱 $a,b$ 為互質(zhì)數(shù)。

定理7.14
(1) $(a,b)=d$ ，則自然數(shù) $n$ 是 $a,b$ 的公約數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng) $n|d$
(2) $[a,b]=m$ ，則自然數(shù) $n$ 是 $a,b$ 的公倍數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng) $m|n$

定理7.15 $a,b$ 是整數(shù)， $(a,b)=d$ 當(dāng)且僅當(dāng) $\left(\frac{a}d,\fracd\right)=1$
證明 (1)先證必要性：假設(shè)命題不成立，則設(shè) $\left(\frac{a}d,\fracd\right)=d'>1$ 。則存在 $q_1,q_2\in \mathbb Z$ ，滿足 $\frac{a}d=q_1d'\\\fracd=q_2d'$
即得 $a=q_1dd',b=q_2dd'$ ，所以 $(a,b)\ge dd'>d$ 矛盾。所以假設(shè)不成立，命題成立。
(2) 再證充分性：假設(shè)命題不成立，則存在比 $d$ 大的公約數(shù) $d'=kd$ ，其中 $k\in \mathbb Z,k>1$ 。此時(shí)又有 $k_1,k_2\in \mathbb Z$ 滿足： $a=k_1d'=k_1kd\\b=k_2d'=k_2kd$
于是： $\left(\frac{a}d,\fracd\right)=(k_1k,k_2k)\ge k>1$ 矛盾。所以假設(shè)不成立，命題成立。
$\blacksquare$

定理7.16 $a,b$ 是整數(shù)， $[a,b]=m$ 當(dāng)且僅當(dāng) $\left(\frac{m}a,\frac{m}b\right)=1$
證明 (1)先證必要性：假設(shè)命題不成立，設(shè) $\left(\frac{m}a,\frac{m}b\right)=d>1\\$
于是存在 $k_1,k_2\in \mathbb Z$ ，滿足： $m=k_1da=k_2db$
令 $m'=m/d\in \mathbb Z_+$ ，則 $m'=k_1a=k_2b$ ，即 $m'$ 是 $a,b$ 的公倍數(shù)且小于 $m$ ，矛盾。所以假設(shè)不成立，命題成立。
(2)再證充分性：假設(shè)命題不成立，則令 $[a,b]=m'$ ，則存在 $k\in\mathbb Z,k>1,m=km'$
另 $\exists k_1,k_2\in \mathbb Z,m'=k_1a=k_2b$ ，所以 $m=kk_1a=kk_2b$ ，于是： $\left(\frac{m}a,\frac{m}b\right)=(kk_1,kk_2)\ge k>1\\$ 矛盾。所以假設(shè)不成立，命題成立。
$\blacksquare$

定理7.17 $(a,b)[a,b]=ab$
證明設(shè) $(a,b)=d$ ，則存在整數(shù) $k_1,k_2$ ，滿足 $a=k_1d\\b=k_2d\\(k_1,k_2)=1$
所以 $\tag{7.17.1}ab=k_1k_2d^2$
另外，令 $m=k_1k_2d$ ，則 $k_1=\frac{m}b,k_2=\frac{m}a$ ，所以 $\left(\frac{m}a,\frac{m}b\right)=(k_1,k_2)=1\\$
根據(jù)定理7.16得 $m=[a,b]$ ，再由(7.17.1)得 $(a,b)[a,b]=ab$ 。
$\blacksquare$

推論 $a,b$ 互素， $[a,b]=ab$

題7.18 求以下各數(shù)的所有因數(shù)：
(1) $468$ 的所有因數(shù)：________________________
(2) $37^{3}$ 的所有因數(shù)：________________________
(3) $3^2 19^4$ 的所有因數(shù)：________________________
(4) $15^2 20^3$ 的所有因數(shù)：________________________
解 (3) 因?yàn)?,19都是因數(shù)，所以 $3^2 19^4$ 的所有因數(shù)是下式展開后不合并的各項(xiàng)： $(1+3+3^2 )(1+19+19^2+19^3+19^4)=1+19+19^2+19^3+19^4\\+3+3\times19+3\times19^2+3\times19^3+3\times19^4\\+3^2+3^2\times19+3^2\times19^2+3^2\times19^3+3^2\times19^4$
所以，其因數(shù)有： $1,19,19^2,19^3,19^4,\\3,3\times19,3\times19^2,3\times19^3,3\times19^4,\\3^2,3^2\times19,3^2\times19^2,3^2\times19^3,3^2\times19^4$

題7.19 求以下各組數(shù)的所有公因數(shù)：
(1) $170,68$ 的所有公因數(shù)：________________________
(2) $2^3 5^{10},2^{20}5^2$ 的所有公因數(shù)：________________________
(3) $2^3 3^4 5^8 20^3,630$ 的所有公因數(shù)：________________________