為了方便理解舉個(gè)栗子：如果兩地的距離是500公里，駕車走完這500公里耗時(shí)5小時(shí)，那么在某一時(shí)刻，你的速度必定會(huì)達(dá)到平均速度100公里/小時(shí)。
上述問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言：f(x)是距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，那么一定存在：
f’(c)就是c時(shí)刻的瞬時(shí)速度。前提條件是f(x)在[a, b]上連續(xù)，f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且 a < c < b。這就是拉格朗日中值定理的通俗定義。
中值定理的幾何意義如下圖所示：
在曲線的兩點(diǎn)間做一條割線，割線的斜率就是(f(b)-f(a))/(b-a)， f’(c)是與割線平行的一條切線，與曲線相切于c點(diǎn)。
需要注意的是中值定理的前提條件，下面的曲線不滿足中值定理：
函數(shù)雖然是連續(xù)的，但在x=c點(diǎn)處不可導(dǎo)，中值定理要求函數(shù)在定義域范圍內(nèi)全部可導(dǎo)。
ps1；“中值”指的是區(qū)間（a，b）的兩個(gè)端點(diǎn)所連直線的斜率，這個(gè)定理就是說如果在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導(dǎo)，那么總有那么一個(gè)值能夠使已知曲線的斜率和直線斜率相等，其他的斜率都會(huì)比這個(gè)大或者小。事實(shí)上如果你看過羅爾定理，那么你就會(huì)更理解這個(gè)中值的意義了，在那個(gè)定理中，中值指的是斜率為0。
ps2；如果函數(shù)f(x)滿足在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立。其中ξ就是中值.
