題目：（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3
來源：該題目由?Vanessa同學? ?發(fā)表于:2016-06-11 16:09 樂問樂答
說明：咋一看要求缺失，不過根據(jù)老師的經(jīng)驗，此題應該是要因式分解而不是多項式展開。
摘要：這類形如（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3因式分解的題型看上去很難，當年剛開始遇到這類題的時候也不會。好在，當時通過教輔看過類似的例題，看懂之后就明白了這類題的思路以及要考察的知識點和技能點。接下來，程老師將盡量還原當初學生的思維，一點一點引導出解題方法。最后再做個小小的總結(jié)和拓展，希望你能掌握此類方法，舉一反三。（這是培優(yōu)的題目，并不要求每個同學都會。但是很多教輔、練習冊或考試附加題當中有可能會遇到，會了總比不會好，對吧。）
觀察是思維的起點，先觀察題型
我們先來觀察這個式子有什么特征？
（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3
從“外貌”上看，這個式子前半部分長得不錯，如果把最后的-3去掉，那就是“帥哥”了，有了-3就是“屌絲”一枚。相信不只是我，你也能看到以下三點：
1.類似四個連續(xù)的自然數(shù)相乘的形式；
2.最后再減去了一個數(shù)
3.看上去原式差一點就因式分解完了，但是還要讓我因式分解/苦惱
然后，就看不出然后了。這三點相信大家都能看到，不過也正是這三點讓我們苦惱，該如何下手。
不會做，能不能先試試？
我們做過這樣的題目，設最小的一個自然數(shù)是a，那么連續(xù)的四個自然數(shù)就可以表示成a，a+1，a+2，a+3。
假設a=0，那么（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3=1*2*3*4-3=24-3=3（8-1）=3*7
假設a=1，那么（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3=2*3*4*5-3=120-3=3（40-1）=3*39
假設a=2，那么（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3=3*4*5*6-3=360-3=3（120-1）=3*119
......
好像有什么規(guī)律？
為了更好的發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通常我們會寫成列表的形式：
a=0→3*7
a=1→3*39=9*13
a=2→3*119=17*21
根據(jù)前三個，你預測一下
a=3→ 不知道/囧
我只知道，分解之后的兩個因數(shù)之間差4（7-3=4，13-9=4，21-17=4）
我還知道，此題是可以因式分解的，只是我不知道怎么用含字母a的式子表示出來。
學弱止步！建議前往【常規(guī)方法】學習。
學霸請繼續(xù)：
a=0→3*7=（0+3）（0+7）
a=1→3*39=9*13=（6+3）（6+7）=（1+5+3）（1+5+7）=（12+5*1+3）（12+5*1+7）
a=2→3*119=17*21=（14+3）（14+7）=（4+10+3）（4+10+7）=（22+5*2+3）（22+5*2+7）
（關(guān)于如何快速的找規(guī)律，以后會專題解析）
根據(jù)前三個，你預測一下
a=3→（32+5*3+3）（32+5*3+7）
根據(jù)這個，可以猜想出因式分解的結(jié)果
（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3=（a2+5a+3）（a2+5a+7）
根據(jù)十字相乘法的規(guī)則，每個因式不能在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解了，分解完畢。
寫過程，常規(guī)方法怎么做？
（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3
我們嘗試了代入數(shù)值找規(guī)律猜想的思路。接下來我們決定從代數(shù)式的特征上思考。
回顧一下這個代數(shù)式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，有印象吧（是很熟悉），這是十字相乘法的基本公式。接下來我們就是要用這個式子展開這個多項式。
第一步：先分組展開
（a+1）（a+4）=a2+5a+4
（a+2）（a+3）=a2+5a+6
為什么這么分組呢？因為展開之后都有a2+5a，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)都相同。
第二步：換元法+十字相乘法
接下來我們?yōu)榱藭鴮懛奖?，設a2+5a=x（換元）
原式=（a2+5a+4）（a2+5a+6）-3
=（x+4）（x+6）-3 …設a2+5a=x
=x2+10x+24-3 ? ? ? ? …繼續(xù)展開
=x2+10x+21 ? ? ? ? ? ?…合并常數(shù)項
=（x+3）（x+7） ? ?…十字相乘法因式分解
=（a2+5a+3）（a2+5a+7）…換回來x=a2+5a
結(jié)果都是因式乘積的形式，每個因式不能再因式分解，分解完畢。
我們能總結(jié)哪些經(jīng)驗？
1. 對形如（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3的多項式因式分解是可以的；（認為不可以，那是因為你不會）
2. 對形如（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3的多項式因式分解是有方法的；（完全展開再分解，難度很大，所以要找方法）
3. 對形如（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3的多項式因式分解至少有兩種方法；（還有其它方法，再探索）
4. 基本思路是先展開，再合并，中間用到了換元法和十字相乘法。
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不要光看了，動手試試，你真能做出來嗎？
哪題不會，下面留言，有機會老師專題解析。
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