謝惠民數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義參考答案001
謝惠民數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義參考答案002
謝惠民數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義參考答案003
謝惠民數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義參考答案004
謝惠民數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義參考答案下冊(cè)13.1.2
謝惠民數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義參考答案13.2.5

謝惠民數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義13.1.2 思考題參考答案

記Archilles每次到達(dá)烏龜出發(fā)點(diǎn)所需時(shí)間為 $a_n$ ,則有 $a_{n+1} = a_n \cdot \dfrac{0.1}{10} = 10^{-2} a_n,a_1 = 100$ .Archilles趕上烏龜所需時(shí)間為
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=\dfrac{100}{1-10^{-2}}=\dfrac{10000}{99}$
1. 若 $\sum a_n$ 與 $\sum b_n$ 均收斂
  - 由極限四則運(yùn)算知 $\sum (a_n + b_n)$ 收斂
  - $\sum a_nb_n$ 不一定收斂,如 $a_n = b_n = \dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$
  - $\sum \dfrac{a_n}{b_n}$ 不一定收斂,如 $a_n = \dfrac{1}{n^{2}},b_n = \dfrac{1}{n^{3}}$
2. 若 $\sum a_n$ 與 $\sum b_n$ 均發(fā)散
  - $\sum (a_n + b_n)$ 不一定發(fā)散,如 $a_{n}=n, b_{n}=\mp n$
  - $\sum a_nb_n$ 不一定發(fā)散,如 $a_n = b_n = \dfrac{1}{n}$
  - $\sum \dfrac{a_n}{b_n}$ 不一定發(fā)散,如 $a_n = 1, b_n = n^{2}$
3. 若 $\sum a_n$ 與 $\sum b_n$ 均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)且收斂
  - 結(jié)論不變
  - $\sum a_nb_n$ 收斂,因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂通項(xiàng)必有界,設(shè) $a_n < M$ ,則 $\sum a_nb_n <M\sum b_n$ 由比較判別法知 $\sum a_nb_n$ 收斂
  - 結(jié)論不變
4. 若 $\sum a_n$ 與 $\sum b_n$ 均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)且發(fā)散
  - $\sum (a_n + b_n)$ 發(fā)散.因?yàn)?img class="math-block" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Csum%20(a_n%20%2B%20b_n)%3E%5Csum%20a_n%20%5Crightarrow%20%2B%5Cinfty" alt="\sum (a_n + b_n)>\sum a_n \rightarrow +\infty" mathimg="1"> $\sum (a_n - b_n)$ 不一定發(fā)散,如 $a_n = b_n = n$
  - 結(jié)論不變
  - 結(jié)論不變
對(duì)于 $\sum a_n$ 與 $\sum b_n$ 均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)
1. $\sum a_n$ 與 $\sum b_n$ 均收斂
  - $\sum \min \{a_n,b_n \}$ 收斂,這是因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmin%20%5C%7Ba_n%2Cb_n%20%5C%7D%20%5Cleqslant%20a_n" alt="\min \{a_n,b_n \} \leqslant a_n" mathimg="1">
  - $\sum \max \left\{a_n,b_n \right\}$ 收斂,這是因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmax%20%5C%7Ba_n%2Cb_n%20%5C%7D%20%3C%20a_n%20%2B%20b_n" alt="\max \{a_n,b_n \} < a_n + b_n" mathimg="1">
2. $\sum a_n$ 與 $\sum b_n$ 均發(fā)散
  - $\sum \min \{a_n,b_n \}$ 不一定發(fā)散,如
    $a_{n}=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{n^{2}}, n=2 k-1 \\ n, n=2 k \end{array}\right.$
    $b_{n}=\left\{\begin{array}{l} n, n=2 k-1 \\ \frac{1}{n^{2}}, n=2 k \end{array}\right.$
  - $\sum \max\{a_n,b_n \}$ 發(fā)散.因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmax%20%5C%7Ba_%7Bn%7D%2C%20b_%7Bn%7D%20%5C%7D%20%5Cgeqslant%20a_%7Bn%7D" alt="\max \{a_{n}, b_{n} \} \geqslant a_{n}" mathimg="1">
  若 $\sum a_{n}$ 與 $\sum b_{n}$ 為一般級(jí)數(shù)
  1. $\sum a_n$ 與 $\sum b_n$ 均收斂
    - $\sum \min \{a_n,b_n \}$ 不一定收斂,如 $a_n = \dfrac{(-1)^{n}}{n} = -b_n$
    - $\sum \max\{a_n,b_n \}$ 不一定收斂,反例同上
  2. $\sum a_n$ 與 $\sum b_n$ 均發(fā)散
    - $\sum \min \{a_n,b_n \}$ 不一定發(fā)散,返利不變
    - $\sum \max\{a_n,b_n \}$ 不一定發(fā)散,如
      $a_{n}=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{n^{2}} , n=2 k-1 \\ -n, n=2 k \end{array}\right.$
      $b_{n}=\left\{\begin{array}{l} -n, n=2 k-1 \\ \frac{1}{n^{2}}, n=2 k \end{array}\right.$
若 $\sum (a_n + a_{n+1})$ 收斂,無法推出 $\sum a_n$ 收斂,如取 $a_{n} = (-1)^{n}$ .若 $\sum a_n$ 是正項(xiàng)級(jí)數(shù),則可由 $\sum a_n \leqslant \sum (a_{n} +a_{n+1})$ 知 $\sum a_n$ 收斂.
只有當(dāng)原級(jí)數(shù)收斂時(shí),加括號(hào)才不改變?cè)?jí)數(shù)的收斂性.易證S是發(fā)散的,因此不可以隨意添括號(hào).對(duì)于該級(jí)數(shù)的Cesaro求和參見本章第二組參考題第20題(1).
注意到
$\lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}, \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n}=0$
故原級(jí)數(shù)收斂 $\Leftrightarrow \lim\limits _{n \to \infty} a_n = 0$
無法推出 $\sum a_n$ 收斂,如取調(diào)和級(jí)數(shù) $\sum a_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i}$
若 $\sum\limits_{n =1}^{\infty}a_n$ 與 $\sum\limits_{n =1}^{\infty}b_n$ 收斂,則 $\sum\limits_{n =1}^{\infty}c_n$ 也收斂,這是因?yàn)?br> $0 \leqslant c_{n}-a_{n} \leqslant b_{n}-a_{n} \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\left(c_{n}-a_{n}\right)<+\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}<+\infty$
但是若 $\sum\limits_{n =1}^{\infty}a_n$ 和 $\sum\limits_{n =1}^{\infty}b_n$ 發(fā)散,則無法推出 $\sum\limits_{n =1}^{\infty}c_n$ 也發(fā)散,如 $a_n = -1,b_n = 1, c_n = 0$
記原級(jí)數(shù)部分和為 $S_n$ ,新級(jí)數(shù)部分和為 $T_n$ ,注意到 $T_{2n} = S_{2n} \to S$ 與 $T_{2n+1} = S_{2n} + a_{2n+2} \to S$ ,因此 $T_n$ 也收斂.
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Csum%5Climits_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_n" alt="\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n" mathimg="1">收斂,故余項(xiàng) $R_n \to 0$ .如果始終存在 $a_N$ 不為0,則可推出始終存在 $R_N \geqslant 1$ ,矛盾.因此從某項(xiàng)開始 $a_n$ 都為0,即 $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}a_n$ 是有限和.