Slam筆記-相機(jī)模型與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

1. 物體在相機(jī)坐標(biāo)系下的 「真實(shí)坐標(biāo)」 到 「成像平面坐標(biāo)」 的轉(zhuǎn)換

下圖是針孔相機(jī)模型的示意圖：


設(shè)物體在相機(jī)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是 P_w = [X, Y, Z]^T ，根據(jù)相似三角形，有：
\frac{f}{Z}\ =\ \frac{X^{\ '}}{X}\ =\ \frac{Y^{\ '}}{Y}
將 X^{'}移動(dòng)到左側(cè)，有：
X^{'} = f \frac{X}{Z}, \ \ \ Y^{'} = f \frac{Y}{Z}
其中，[X^{'}, Y^{'}]^T 是相機(jī)坐標(biāo)系下，物體在成像平面的坐標(biāo)。

2. 成像平面的坐標(biāo) 到 像素坐標(biāo)系下的圖像坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化

在相機(jī)坐標(biāo)系下，坐標(biāo)的單位是米；在像素坐標(biāo)系下，坐標(biāo)的單位是像素。
通常我們把圖像的左上角作為坐標(biāo)系的原點(diǎn)。 所以同一個(gè)點(diǎn)，在相機(jī)坐標(biāo)系和像素坐標(biāo)系的坐標(biāo)相差了一個(gè)縮放和原點(diǎn)的平移。
我們?cè)O(shè) 在水平/垂直方向上的縮放比例是 α 和 β，水平移動(dòng)了 [c_x, c_y]^T，則物體的像素坐標(biāo) [μ, ν]^T 可以表示為：
μ = αX^{'} + c_x = αf\frac{X}{Z} + c_x
ν = αY^{'} + c_y = βf\frac{Y}{Z} + c_y
將 αf 設(shè)為 f_x, βf 設(shè)為 f_y，有：
μ = f_x\frac{X}{Z} + c_x
ν = f_y\frac{Y}{Z} + c_y

3. 歸一化坐標(biāo)

我們把相機(jī)坐標(biāo)的 P_w 投影到歸一化平面，得到歸一化坐標(biāo)：
P_c = [x, y, 1]^T = [\frac{X}{Z}, \frac{Y}{Z}, 1]
可得：
μ = f_x·x + c_x
ν = f_y·y + c_y

4. 畸變修正

由于相機(jī)存在徑向畸變和切向畸變，對(duì)于一個(gè)歸一化平面上的點(diǎn) [x, y]^T, 將其轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)的形式 [r, θ]^T，可以用以下公式得到修正后的坐標(biāo) [x_distorted, y_distorted]：
x_{distorted} = x(1 + k_1r^2 + k_2r^4 + k_3r^6) + 2p_1xy + p_2(r^2 + 2x^2)
y_{distorted} = y(1 + k_1r^2 + k_2r^4 + k_3r^6) + p_1(x^2 + 2y^2) + 2p_2xy

結(jié)合上面的公式，可以得到，像素坐標(biāo)與相機(jī)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化關(guān)系：
μ = f_x·x_{distorted} + c_x
ν = f_y·y_{distorted} + c_y

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