多目標(biāo)求解會(huì)篩選出一個(gè)相對(duì)較優(yōu)的解的集合，在這個(gè)集合里就要用到pareto找出相對(duì)優(yōu)的解或者最優(yōu)解。
多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型一般可以寫成如下形式:
????????fig 2表示n個(gè)目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)是都使之達(dá)到最小。
? ? ? ? fig 3是其變量的約束集合，可以理解為變量的取值范圍，下面介紹具體的解之間的支配，占優(yōu)關(guān)系。
1：解A優(yōu)于解B（解A強(qiáng)帕累托支配解B）
? ? ? ? 假設(shè)現(xiàn)在有兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，解A對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值都比解B對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值好，則稱解A比解B優(yōu)越，也可以叫做解A強(qiáng)帕累托支配解B，舉個(gè)例子，就很容易懂了.
? ? ? ?下圖中代表的是兩個(gè)目標(biāo)的的解的情況，橫縱坐標(biāo)表示兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，E點(diǎn)表示的解所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)值都小于C，D兩個(gè)點(diǎn)表示的解所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，所以解E優(yōu)于解C,D.
2：解A無(wú)差別于解B（解A能帕累托支配解B）
????????同樣假設(shè)兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，解A對(duì)應(yīng)的一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)于解B對(duì)應(yīng)的一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，但是解A對(duì)應(yīng)的另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值要差于解B對(duì)應(yīng)的一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，則稱解A無(wú)差別于解B，也叫作解A能帕累托支配解B，舉個(gè)例子，還是上面的圖，點(diǎn)C和點(diǎn)D就是這種情況，C點(diǎn)在第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的值比D小，在第二個(gè)函數(shù)的值比D大。
3：最優(yōu)解
????????假設(shè)在設(shè)計(jì)空間中，解A對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)越其他任何解，則稱解A為最優(yōu)解，舉個(gè)例子，下圖的x1就是兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，使兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最小，但是前面也說(shuō)過，實(shí)際生活中這種解是不可能存在的。真要存在就好了，由此提出了帕累托最優(yōu)解.
4：帕累托最優(yōu)解
同樣假設(shè)兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，對(duì)于解A而言，在 變量空間 中找不到其他的解能夠優(yōu)于解A（注意這里的優(yōu)于一定要兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)值都優(yōu)于A對(duì)應(yīng)的函數(shù)值），那么解A就是帕累托最優(yōu)解.
????????舉個(gè)例子，下圖中應(yīng)該找不到比 x1 對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)都小的解了吧，即找不到一個(gè)解優(yōu)于 x1 了，同理也找不到比 x2 更優(yōu)的解了，所以這兩個(gè)解都是帕累托最優(yōu)解，實(shí)際上，x1-x2 這個(gè)范圍的解都是帕累托最優(yōu)解，不信自己慢慢想。因此對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問題而言，帕累托最優(yōu)解只是問題的一個(gè)可接受解，一般都存在多個(gè)帕累托最優(yōu)解，這個(gè)時(shí)候就需要人們自己決策了。
5：帕累托最優(yōu)前沿
還是看 剛才 那張圖 ，如下圖所示，更好的理解一下帕累托最優(yōu)解，實(shí)心點(diǎn)表示的解都是帕累托最優(yōu)解，所有的帕累托最優(yōu)解構(gòu)成帕累托最優(yōu)解集，這些解經(jīng)目標(biāo)函數(shù)映射構(gòu)成了該問題的Pareto最優(yōu)前沿或Pareto前沿面，說(shuō)人話，即帕累托最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值就是帕累托最優(yōu)前沿。
對(duì)于兩個(gè)目標(biāo)的問題，其Pareto最優(yōu)前沿通常是條線。而對(duì)于多個(gè)目標(biāo)，其Pareto最優(yōu)前沿通常是一個(gè)超曲面。
圖片來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)，侵刪。
