參考《計(jì)算機(jī)視覺——算法與應(yīng)用》

3D到2D投影

一、平行投影

1.正平行投影（正交投影）

正交投影簡(jiǎn)單舍棄三維坐標(biāo) $p$ 的 $z$ 分量來(lái)得到2D點(diǎn) $x$ ，

$x=[I_{2\times2}\vert 0]p$ ,寫成齊次坐標(biāo)可以寫作

$\bar{x} =\left[ \begin{matrix} 1& 0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&0&1 \end{matrix} \right]\bar{p}$ ，即此時(shí)我們舍棄 $z$ 分量但保留 $w$ 分量。

正交投影是當(dāng)長(zhǎng)焦距（望遠(yuǎn)）鏡頭成像時(shí)，當(dāng)物體自身深度與其到攝像機(jī)的距離相比很淺時(shí)的近似模型。在實(shí)踐中，世界坐標(biāo)（可能用米來(lái)度量）需要按比例縮放以適合圖像傳感器（物理上以毫米度量，最終以像素度量）。因?yàn)檫@個(gè)原因，歸一化的正交投影實(shí)際更常用，

$x=[sI_{2\times2}\vert 0]p$

在重建原理攝像機(jī)的物體3D形狀時(shí)，歸一的正交投影可以大大簡(jiǎn)化某些計(jì)算。例如姿態(tài)（攝像機(jī)的方向）可以用簡(jiǎn)單的最小二乘來(lái)估計(jì)。結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)可以用奇異值分解同時(shí)估計(jì)。

2.斜平行投影（類透視投影para-perspective）

物體點(diǎn)按照平行于到物體中心的視線投影到一個(gè)平行于物體平面的局部參考面，然后按照通常的投影方式投影到最終的圖像平面上，對(duì)應(yīng)于縮放，兩個(gè)投影的組合也就是仿射。

$\tilde{x} =\left[ \begin{matrix} a_{00}& a_{01}&a_{02}&a_{03}\\ a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ 0&0&0&1 \end{matrix} \right]\tilde{p}$ ，類透視投影提供了比歸一的正交投影更精確的投影模型，而不會(huì)出現(xiàn)每點(diǎn)透視的除法所增加的復(fù)雜性。

二、透視投影

計(jì)算機(jī)視覺和圖形學(xué)中常用的投影是3D透視投影。這里點(diǎn)映射到圖像平面是通過(guò)除以 $z$ 分量來(lái)實(shí)現(xiàn)的。使用非齊次坐標(biāo)可以寫為

$\tilde{x} =P_x(p) = \left[ \begin{matrix} x/z \\ y/z \\ 1\ \end{matrix}\right]$ ，在齊次坐標(biāo)下，投影具有簡(jiǎn)單的線性形式，

$\tilde{x} =\left[ \begin{matrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\end{matrix} \right]\tilde{p}$ ，即舍棄 $p$ 的 $w$ 分量。

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)系統(tǒng)中常見的一種形式是一個(gè)兩步投影。先將3D坐標(biāo)投影到范圍在

$(x,y,z)\in[-1,1]\times[-1,1]\times[0,1]$ 的規(guī)范化設(shè)備坐標(biāo)上，然后用視口變換，將這些坐標(biāo)縮放成整數(shù)的像素坐標(biāo)。該透視投影可以用如下形式表示

$\tilde{x}=\left[ \begin{matrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0& \frac{-z_{far}}{z_{range}} & \frac{z_{near}z_{far}}{z_{range}}\\0&0&1&0\end{matrix} \right]\tilde{p}$ ，其中 $z_{near},z_{far}$ 是 $z$ 的最近和最遠(yuǎn)裁剪面， $z_{range}=z_{far}-z_{near}$ ，相當(dāng)于z的歸一化操作。前兩行以焦距和橫縱比縮放的，以便可見光線映射到 $(x,y,z)\in[-1,1]$ ,保留第三行的原因是可見性運(yùn)算。